99桃園縣新進教師高中聯招
題目和答案請見附件 選擇題5.設\( \{ a_n \} \)為一數列，\( a_1=a_2=1 \)，\( a_3=a_4=2 \)，對任意正整數n，滿足\( a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3}\not\equiv 1 \)且\( a_n \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3} \cdot a_{n+4}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4} \)，則\( a_1+a_2+...+a_{200}= \)？
(A)320 (B)360 (C)400 (D)440 (E)480
[提示]
五個一循環1，1，2，2，2
8.\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \)，\( n>m>0 \)，則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9
已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)且\( 0<x<y \)，求滿足此式的整數數對\( (x,y) \)有幾組？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 組。
(92台南縣國中聯招，初中數學競賽教程P32)
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842
非選擇題
三、照相機三角架的三隻腳架長度皆為75cm，三隻腳架和地面接觸點為A，B，C，已知\( \overline{AB}=50cm \)，\( \overline{BC}=40cm \)，\( \overline{CA}=30cm \)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少cm？
有一個三角架，三隻腳的長度都是150，三隻腳的著地點為A，B，C且\( \overline{AB}=70 \)，\( \overline{BC}=80 \)，\( \overline{CA}=90 \)，則腳架頂端P離地面的高度為？
[url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA503.swf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA503.swf[/url] 請問單選第4題應該如何算
我算是2/9.......居然沒有這選項 應該算錯了....
s=1/12*1/6 / (1-27/36)=1/18
ans=1/18 / (1-27/36)=2*9
非選擇題三 可視為求三角錐的高
但改成70 80 90 不知改怎麼算
請問各位老師 可以給點提示嗎 謝謝 4.看不懂題義XD
abc/4R ＝ 三角形面積
可求出外接圓半經R＝21[font=新細明體][size=12pt]√5[/size][/font] 單選四
投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
丟出點數和 4點的機率 \(\displaystyle \frac{3}{36}\) 7點的機率 \(\displaystyle \frac{6}{36}\)
題目要4點比7點早出現 所以說 如果只擲一次 就是第一次就4點
如果擲兩次 第一次一定不是4或7 這樣的機率是 \(\displaystyle 1- \frac{3}{36}-\frac{6}{36}=\frac{27}{36} \) 第二次一定是4點
所以機率變成 \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}*\frac{3}{4}+\frac{1}{6}*\left( \frac{3}{4} \right)^2+...\) 無窮等比級數
113.5.1補充
同時擲兩粒公正骰子，求點數和為 5 比點數和為 7 先出現的機率為何？[u] [/u]
(113新竹高中，[url]https://math.pro/db/thread-3856-1-1.html[/url])
非選3
照相機三角架的三隻腳架長度皆為\(75cm\)，三隻腳架和地面接觸點為\(A,B,C\)，已知\(\overline{AB}=50cm\)，\(\overline{BC}=40cm\)，\(\overline{CA}=30cm\)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少\(cm\)？
[提示]
他會是外心正上方去算 可以請問一下非選一二題怎麼算嗎?
謝謝
非選四我先把y作標左移一單位，B點再旋轉(順逆各一解)30度得D點，
再用對角線互相平分性質得C點，最後x作標再減1即答案(兩解)，
不知道有沒有更好的方法?
@答案打不出來 [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-6-7 02:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2134&ptid=949][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以請問一下非選一二題怎麼算嗎?
謝謝
非選四我先把y作標左移一單位，B點再旋轉(順逆各一解)30度得D點，
再用對角線互相平分性質得C點，最後x作標再減1即答案(兩解)，
不知道有沒有更好的方法?
@答案打不出來 ... [/quote]
已知菱形\(ABCD\)的相鄰兩頂點之座標為\(A(-1,0)\)，\(B(2,5)\)且\(\angle BAD=30^{\circ}\)，求\(C\)點的座標為何？
[提示]
AB向量旋轉150度再加B點座標
可以請問一下，選擇題2、6、7，與非選一二題怎麼算嗎? 謝謝
選擇71點到10點的10張撲克牌隨機均分給\(A,B\)兩人各5張，則\(B\)之點數和小於等於18的機率(\(Pr(B\)之點數和\(\le18)\))最接近以下那個數？
(A)0.028 (B)0.051 (C)0.082 (D)0.11 (E)0.181
[解答]
直接列因為A拿多少不重要 直接考慮B拿到的牌
所以說考慮B可拿到的最大牌
最大8的情況 剩下 1,2,3,4
最大7 可以是 1,2,3,4 1,2,3,5
6 可以是 1,2,3,4 1,2,3,5 1,2,4,5
所以機率 \(\displaystyle{\frac {7}{C^{10}_{5}}}=0.028\)
回復 8# Jacob 的帖子
選擇6設\(f(x),g(x)\)的微分在每一處存在，且對所有實數\(x\)，\(f(x)>g'(x)\)，則\(y=f(x)\)的圖形
(A)交於一點，且只交於一點
(B)不相交
(C)最多能有一個交點
(D)可能有多於一個交點
(E)在交點有公切線
[解答]
\(\displaystyle f'(x)-g'(x)>0\)
表示\(\displaystyle f(x)-g(x)\)是嚴格遞增函數
那嚴格遞增函數最多有一個根
選擇2
設\(a,b\)均為大於2的整數，已知\(\displaystyle \frac{3b-1}{a}\)和\(\displaystyle \frac{3a-1}{b}\)均為整數，求\(a\)的所有可能值之和為何？
(A)12 (B)15 (C)18 (D)24 (E)27
[解答]
直接參考
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1522[/url] 謝謝 iamcfg 的解說。
回復 5# iamcfg 的帖子
不好意思 您單選4的解法應該錯誤了！應該是\(\displaystyle \frac{3}{36}+\frac{27}{36}\times\frac{3}{36}+\frac{27}{36}\times\frac{27}{36}\times\frac{3}{36}+\ldots=\frac{1}{3}\) 請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
各位老師看法如何? 想請問多選題13的(A)和(D)給5點不就給5個方程式,可以解5個未知數,為何不是唯一解
(B)為何是唯一解
(E)只給2個條件,為何是唯一解,不是還有開口大小嗎?
還有非選擇題A部分第一題答案是否為C>D>B>A和第二題不會,謝謝 第 13 題：
設\(f(x)\)為一最高次係數為1的四次多項式，下列那一組條件保證存在唯一的\(f(x)\)滿足該條件(可複選)：
(A)\(f(0)=0,f(\pm1)=\pm1,f(\pm2)=\pm2\)
(B)\(f(0)=0,f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\)
(C)\(f(\sqrt{x})=x^2+x+1,x>0\)
(D)\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{n+1},n=1,2,3,4,5\)
(E)\(f(x)\)在\(\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)達到相同的極值0
[解答]
(A) 令 \(H(x)=f(x)-x\) ，則
因為 \(f(x)\) 為四次式，所以 \(H(x)\) 亦為四次式
因為 \(H(0)=H(1)=H(-1)=H(2)=H(-2)=0\)
由因式定理，可得 \(H(x)\) 有因式 \(x, (x-1), (x+1), (x-2), (x+2)\)
顯然與 \(H(x)\) 為四次式相矛盾。
(B) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，
由 \(f(1)=0, f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\)，
可解得 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}, c=\frac{-3}{2},d=\frac{-3}{2}, e=\frac{3}{2}\)
（如果不想解最後的聯立方程式，就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。）
(C) \(f(x)=x^4+x^2+1\)
(D) 四個未知數，卻有五個方程式，有可能會過猶不及，
前四個方程式解出來的，帶入第五個方程式卻矛盾，
是又不想真的去解那五個方程式，
所以以下就借用一下 iamcfg 在 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477[/url] 的方法，
[img]http://i.imgur.com/8MXej.jpg[/img]
最後一個數不是 \(4!\)，很好～此四次方程式的首項係數不會是 \(1\)。
(E) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，
由 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0\)，
可解得 \(\displaystyle b=0, c=-1,d=0, e=\frac{1}{4}.\) 提供(D)選項的解法
令\( g(x)=(x+1)f(x)-1 \)，且\( g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0 \)
令\( g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(x+1)f(x)-1 \)
得\( \displaystyle f(x)=\frac{k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1}{x+1} \)
但\( f(x) \)為四次多項式，所以\( x+1 \)要能整除\( k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1 \)
\( k(-1-1)(-1-2)(-1-3)(-1-4)(-1-5)+1=0 \)，\( \displaystyle k=\frac{1}{720} \)
最高係數應為\( \displaystyle \frac{1}{720} \) 感謝瑋岳老師和 bugmens老師,看見板上兩位老師和其他老師的功力如此強,教書十多年的我真的需要好好練練題目和思考數學,另外,iamcfg老師寫在99大安高工的內容,我上去查過,也試算過,還是看不出來,可否幫忙在解釋一下f(x+h)-f(x)的意義,另外,非選擇題的第一部分[color=red]相關系數[/color]大小是否為[color=red]C>D>B>A[/color]
第二題我已有查到網路上的解釋,謝謝
回復 17# kittyyaya 的帖子
若 \(\displaystyle f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，則\(\displaystyle f(x+1)-f(x)=\left(a_n\left(x+1\right)^n+a_{n-1}\left(x+1\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(x+1\right)+a_0\right) - \left(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\right)\)
\(\displaystyle =a_n\left(\left(x+1\right)^n-x^n\right)+a_{n-1}\left(\left(x+1\right)^{n-1}-x^{n-1}\right)+\cdots+a_1\left(\left(x+1\right)-x\right)\)
（請自行把 \((x+1)^n, (x+1)^{n-1} \cdots\) 用二項式定理展開）
\(\displaystyle =a_n\left(nx^{n-1}+\cdots\right)+a_{n-1}\left(\left(n-1\right)x^{n-2}\cdots\right)+\cdots\)
\(\displaystyle =n\cdot a_nx^{n-1}+\cdots\)
可以發現 \(f(x+1)-f(x)\) 次方數會減一，且首項係數會多乘上 \(n\)（蝦咪～跟微分很像～嗯～）
所以，若 \(f(x)\) 是四次式，做了 \(4\) 階的差分之後，
會變成常數，且該常數是 \(f(x)\) 的首項係數乘上 \(4!\)。
相關係數那題可能要等待統計達人囉～：Ｐ
我是"覺得"
A > B≒D（ B 與 D 似是經 \(x,y\) 軸伸縮變換可互換）
且
C > B≒D
至於 A 與 C，
不知誰大...
難道要真找一堆數據來算看看？ :P
等待統計達人囉～：Ｐ 請問非選第二題 : 求實數a的範圍怎麼做? 請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
有沒有那位板大比較確定答案?
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