回復 19# mandy 的帖子
要有反函數 本身一定是個1-1函數所以當\(a=0 \) 必有反函數
若\(a>0\)或\(a<0\) 拿去微分 一定是遞增或遞減
所以最後的結果是 \(a\ge0\)
回復 1# bugmens 的帖子
選擇第一題由 thepiano 發表於 2010年 6月 15日, 12:59
第 1 題
設\(f(x)=x^{4-logx}\)且\(1\le x\le10000\)，當\(x=a\)時，\(f(x)\)有最大值\(b\)；當\(x=c\)時，\(f(x)\)有最小值\(d\)，則\(b+d=\)？
(A)10000 (B)10001 (C)20000 (D)20001 (E)20004
[解答]
logf(x) = (4 - logx)logx = -(logx)^2 + 4logx
f(x) = 10^[-(logx)^2 + 4logx] = 10^[-(logx - 2)^2 + 4]
易知
x = 100，logx = 2 時，f(x) 有最大值 10^4
x = 1 or 10000，logx = 0 or 4 時，f(x) 有最小值 1
c+d=10000+1=10001..........選(B)
回復 22# nanpolend 的帖子
由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27選擇第二題
設\(a,b\)均為大於2的整數，已知\(\displaystyle \frac{3b-1}{a}\)和\(\displaystyle \frac{3a-1}{b}\)均為整數，求\(a\)的所有可能值之和為何？
(A)12 (B)15 (C)18 (D)24 (E)27
[解答]
易知 a ≠ b
由於對稱，先設 a ＞ b
(3b - 1) / a ＜ (3a - 1) / a = 3 - 1/a ＜ 3
故(3b - 1) / a = 1 or (3b - 1) / a = 2
(1) 3b - 1 = a
(3a - 1) / b = (9b - 4) / b = 9 - 4/b 為整數
b = 4，a = 11(因為a,b都大於2)
(2) 3b - 1 = 2a
(3a - 1) / b = (9b/2 - 5/2) / b = (9b - 5) / (2b) = 4 + [(b - 5) / (2b)] 為整數
b = 5，a = 7(因為a,b都大於2)
由於對稱 a=4,5,7,11
所求 = 4 + 5 + 7 + 11=27.............. 選(E)
回復 23# nanpolend 的帖子
由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27選擇第 3 題
設方程式\(x^3+3x^2+px-q=0\)之三根成等差，而方程式\(x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0\)之三根成等比，求\(p^2+q^2=\)？
(A)10 (B)14 (C)18 (D)20 (E)24
[解答]
運用一元3次的根與係數關係
令x^3 + 3x^2 + px - q = 0 之三根為 a - d，a，a + d
x^3 + (1 - p)x^2 - (1 + q)x - 8 = 0 之三根為 b/r，b，br
a - d + a + a + d = -3
a = -1
p = 3 - d^2，q = d^2 - 1
p + q = 2..........(1)
b/r * b * br = 8
b = 2
p - 1 = 2/r + 2 + 2r
-(1 + q) = 4/r + 4r + 4 = 2(p - 1)
2p + q = 1........(2)
解(1)(2)得 p = -1，q = 3
p^2+q^2=10.........(A)
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選擇第 4 題投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
4點機率:3/36=1/12
7點機率:6/36=1/6
非4點非七點機率:1-1/12-1/6=3/4
第一次出4點+第二次出4點+第三次出4點+........
1/12+1/12*3/4+1/12(3/4)^2+........
無窮等比級數=1/12/(1-3/4)=1/3.........(B)
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選擇第 5題設\(\{\;a_n \}\;\)為一數列，\(a_1=a_2=1\)，\(a_3=a_4=2\)，對於任意正整數\(n\)，滿足\(a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\ne 1\)且\(a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\cdot a_{n+4}=a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\cdot a_{n+4}\)，則\(a_1+a_2+\ldots+a_{200}=\)？
(A)320 (B)360 (C)400 (D)440 (E)480
[解答]
a5=2,a6=1.......
代入可得1,1,2,2,2,1,1,2,2,2.....五循環
(1+1+2+2+2)*200/5=320...........(A)
回復 26# nanpolend 的帖子
選擇第 7題1點到10點的10張撲克牌隨機均分給\(A,B\)兩人各5張，則\(B\)之點數和小於等於18的機率(\(Pr(B\)之點數和\(\le18)\))最接近以下那個數？
(A)0.028 (B)0.051 (C)0.082 (D)0.11 (E)0.181
[解答]
樣本空間=C(10,5)=252
組合數=和18+和17+和16+和15
由小排到大的組合數(逐次+1)
和15:1,2.3,4,5
和16:1,2,3,5,6
和17:1,2,3,5,6
1,2,3,4,7
和18:1,2,4,5,6
1,2,3,5,7
1,2,3,4,8
共7組
機率=7/252=0.028(四捨五入).............(A)
回復 27# nanpolend 的帖子
選擇第8題\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \)，\( n>m>0 \)，則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9
[解答]
√ 2527=19 √ 7
√n + √ m= √ 19 √ 7
依序解為18 √ 7+ √ 7
17 √ 7+ 2√ 7
........
10 √ 7+ 9√ 7 共9組..................(E)
回復 28# nanpolend 的帖子
選擇第9題甲乙丙丁四個嫌犯向警方招供：
甲說：案子是丙幹的
乙說：不是我幹的
丙說：案子是丁幹的
丁一聽丙的話，立刻說：丙說謊！
已知四人中有一人，且只有一人說實話，請找出案子是誰幹的。
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (E)非以上四者
[解答]
其中一個為真共有四種可能性
甲 T 乙 F 丙 F 丁 F ×
甲 F 乙 T 丙 F 丁 F ×
甲 F 乙 F 丙 T 丁 F ×
甲 F 乙 F 丙F 丁 T ○
乙做的.............(B)
回復 29# nanpolend 的帖子
選擇第10題袋中有3個紅球，7個黑球，自袋中隨機取出3個球，取法分別為下列兩種
(i)一次取一個，取後放回，(ii)一次取一個，取後不放回；求取到紅球個數的期望值？
(A)(i)答案為\(\displaystyle \frac{9}{10}\) (B)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{9}{10}\) (C)(i)答案為\(\displaystyle \frac{8}{10}\) (D)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{8}{10}\) (E)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{7}{10}\)
[解答]
3R7B
取後放回和取後不放回期望值應該一樣
以下為推導
取後放回
3/10*3=9/10
取後不放回
一個(3/10*7/9*6*/8*3)*1
二個(3/10*2/9*7/8*3)*2
三個(3/10*2/9*1/8)*3
共9/10
結果一樣選...................(A)(B)
回復 30# nanpolend 的帖子
選擇第11題對任意實數\(x,y\)均滿足\(f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\)，若\(f(1)=1\)，則
(A)\(f(0)=-1\) (B)\(f(0)=1\) (C)\(f(20)=229\) (D)\(f(30)=494\) (E)\(f(40)=859\)
[解答]
代入找遞回關係
a0 = -1
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 8
a4 = 13
an+1 = an + (n+2)
相加對消得 an=(n^2+3n-2)/2
將數值代入即得.......................(A)(C)(D)(E)
回復 31# nanpolend 的帖子
選擇第12題下若\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列敘述何者不正確
(A)若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)
(B)若\(AB=0\)，則\(BA=0\)
(C)若\(A,B\)均為對稱矩陣，則\((AB)^T=BA\)
(D)\((AB)^T=A^TB^T\)
(E)若\(A^2=B^2\)，則\(A=B\)或\(A=-B\)
[解答]
矩陣沒交換性
[url=http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%AC%E7%BD%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5]轉置矩陣性質[/url]選錯誤(A)(B)(D)(E)
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非選第四題已知菱形\(ABCD\)的相鄰兩頂點之座標為\(A(-1,0)\)，\(B(2,5)\)且\(\angle BAD=30^{\circ}\)，求\(C\)點的座標為何？
[解答]
轉貼昌爸 o 回覆於: 2011/6/27 上午 02:20:58
回復 33# nanpolend 的帖子
非選第三題照相機三角架的三隻腳架長度皆為\(75cm\)，三隻腳架和地面接觸點為\(A,B,C\)，已知\(\overline{AB}=50cm\)，\(\overline{BC}=40cm\)，\(\overline{CA}=30cm\)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少\(cm\)？
[解答]
(感謝waiye老師提示)
三角形公式，連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!5xXi2JuLERoQ9Wlo5SV0QSEp/article?mid=15858
三角形面積=abc/4R(面積以海龍公式求出)
R=25
以三角形的外接圓心往上拉皆垂直ABC平面
能有立體圖形更好理解
頂點到A,B,C皆等長
三角錐的高=√(75^2-25^2)=50√2
回復 17# kittyyaya 的帖子
以下每個圓點座標以\((x,y)\)代表，\(A\)是所有的點，\(B\)，\(C\)，\(D\)則是\(A\)中半數的點。以">"或"≈"(近似於)來代表\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)點集合在\(x-y\)平面之相關係數大小(例，\(A>B>C>D\)等)[解答]
一兩個月前，被問到非選的第一題，某人和我說，這題是他的殘念，之前一直都沒做出來
就認真的算了一下…
方法1：首先平移使中心為原點，新資料關係”幾乎”是 \( y_{i}^{\pm}=x_{i}^{\pm}\pm d, x_{i}^{\pm}=x_{i}, \bar{x}=\bar{y}=0\).
\( r=\frac{\sum y_{i}^{\pm}x_{i}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum(x_{i}\pm d)^{2}}}=\frac{2\sum_{i}x_{i}^{2}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}+Nd^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{Nd^{2}}{2\sum_{i}x_{i}^{2}}}} \)
也就是 \( \frac{\sum_{i}x_{i}^{2}}{N} \) 愈大 \( r \) 愈大。
也就是 \( x \) 變異係數愈大，\( r \) 愈大。所以 \( C>A>B \) 是沒有問題的。
而 \( D \) 和 \( A \) 則大概是 \( \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^{2}}{2n} \) 和 \( \frac{\sum_{k=1}^{n}(2k)^{2}}{n} \) 在比，所以是半斤八兩。
所以 \( C>A\approx D>B \)。
方法2：假設中間那條是迴歸線，去算迴歸線和資料的最小方差可以得到 \( 1-r^{2} \) 正比最小方差。
當然裡面還有一些參數。但是這樣做的好處是，因為資料接近線性關係，所以 \( r^{2} \) 接近 \( 1 \)，而 \( 1-r^{2} \) 接近 \( 0 \)。
所以 \( r \) 只要有些微變動，新舊 \( r \) 的比值接近 \( 1 \)，但 \( 1-r^{2} \) 的就不是了…
有興趣的人，可以用方法 2，驗證一下是不是一樣的結果…
方法2，是之前想的，很不直覺，有點久了，不知道算出來一不一樣？
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