請問第七題的 △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的? [/quote]
由孟氏定理（Menelaus' theorem），可知 \(\displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1\)，可得 \(AQ : QD\)
進一步得 \(AQ : AD\)，此即為 \(\triangle ABQ : \triangle ABD.\)
註：感謝 whymath 提醒我的小錯誤，已修正！^__^ 想請教第10題,謝謝
某冬天的早上，貝克街上的[u]福爾摩斯[/u]偵探在街頭發現一具流浪漢的屍體，[u]福爾摩斯[/u]在早上六點半時測量其體溫為13°C，而到早上七點半時，其體溫已降到11°C，若假設室外溫度約維持在10°C，且人體正常體溫為37°C，[u]福爾摩斯[/u]是個文武兼修的偵探，熟悉物理觀念，心想根據牛頓冷卻規律描述一個物體在常溫\(a\)°C環境下的溫度變化。如果物體的初始溫度是\(b\)°C，那麼經過\(t\)小時後的溫度是\(f(t)\)°C將滿足\( \displaystyle f(t)=a+(b-a)(\frac{1}{2})^{kt}\)，此常數\(k\)與物質的性質有關，[u]福爾摩斯[/u]據此定律推測出流浪漢死亡時間應為[u] [/u]
回復 22# 阿光 的帖子
第 10 題：設由死亡到凌晨六點半恰經過 \(t\) 小時，則
\(\displaystyle 13 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{kt}\) 且 \(\displaystyle 11 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{kt} = \frac{1}{9}\) 且 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}=\frac{1}{27}\)
兩式相除，可得 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow t=2\)
故，死亡時間應為凌晨四點半。 想請教12,13,14第2小題,15,19題的詳解要去哪裡找
thank you very much
回復 24# 阿光 的帖子
第12,13,14(2),15,19題： [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531[/url]可以找尋的地方有：這裡、美夢成真、PTT 數學版、google ...... ^__^
回復 20# mandy 的帖子
關於第 8 題，先前寫此題也碰到此麻煩，如 mandy 所說 首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"
而此題搞鬼的地方在於 \( f(x) \) 在二次式的解處可能沒有定義。
以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係
原本分子分母都是二次(以下)式，但透過平移 \( g(x)=f(x)-c \) 可將分子改成一次以下，但如果分子是常數，就沒有什麼好看的，所以
設 \( f(x)=\frac{\alpha x+\beta}{ax^{2}+bx+c}, D_{y}=(by-\alpha)^{2}-4ay(cy-\beta)\) , 且 \( a\alpha \neq0 \)，則有
(a) \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \).
證 若 \( y\neq0 \) 且 \( y\in f(\mathbb{R}) \)，則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 有實數解，因此 \( D_{y}\geq0 \) 。
若 \( y=0 \), \( D_{y}=\alpha^{2}\geq0\Rightarrow0 \)。因此 \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \) 。
(b) \( y\neq0,\, D_{y}>0\Rightarrow y\in f(\mathbb{R}) \)
證 若 \( D_{y}>0, y\neq 0 \)，則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 有兩相異實根。若 \( ax^{2}+bx+c=0 \)，則 \( \alpha x+\beta=0 \)。
而 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta \) 至多一共根，
因此當 \( D_{y}>0 \) 時，必存在 \( x \) 使得 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 且 \( ax^{2}+bx+c\neq0\Rightarrow f(x)=y \) 。
(c) \( \deg\left(\gcd(ax^{2}+bx+c,\alpha x+\beta)\right)=0\Leftrightarrow f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \)
證 由 (1) (2) 知，我們只須檢驗 \( D_{y}=0 \)、\( y=0 \) ，在兩集合的差異 ( \( D_y>0 \) 且 \( y\neq0 \) 同時屬於兩集合)。
假設左式成立，則 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta=0 \) 無共根。
同 (b) 論述可得 \( y\neq0 \) 且 \( D_{y}\geq0 \) 則 \( y\in f(\mathbb{R}) \) 。
易驗 \( D_{0}=\alpha^{2}\geq0 \) 且 \( f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 \) ，因此 \( f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。
假設左式不成立，則 \(ax^{2}+bx+c=0\) 和 \( \alpha x+\beta=0 \) 有共同根 \(-\frac{\beta}{\alpha}\) 。
若 \(D_{y}=0\), 且 \( f(x)=y \) ，注意方程式 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 之解必為 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \) (重根)，
因此 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)，但 \( f \) 在 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \) 無定義，故不存在 \( x \) ，使得 \( f(x)=y \) ，
同理 \(y =0 \) 時，亦不存在 \( x \) 使得 \( f(x)=0 \)
因此 \( f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。
---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子，之前有小瑕疵
回到原題，\( a=1 \) 顯然不合。而 \( a \neq 1 \)，計算判別式可得 \( -2 \leq a \leq 0 \)
檢查分子是否與分母互質即 \( a^2+2a \) 是否為 0 (因式定理)
故其解為 \( -2<a<0 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 [/i]] 想請教(22)題
第20題
設方程式\(x^3-3x^2+ax-b=0\)有三正根，則\(a\)的最大值為\(M\)，\(b\)的最大值為\(n\)，求數對\((a,b)=\)[u] [/u]。
回復 27# frombemask 的帖子
沒有第 22 題，我想你要問的應該是第 20 題（第 22 格）吧？第 20 題 thepiano 老師解過了，
可見 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p4039[/url] 請教第二題
我算出 答案是1/14
謝謝
由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)八隊作單淘汰賽，如附圖安排賽程，若此八隊的實力相當，則\(A\)、\(D\)兩隊在冠亞軍相遇的機率為[u] [/u]。
回復 29# arend 的帖子
填充第 2 題：可以參考 八神庵跟 thepiano 老師的解：
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=20#p4058[/url]
另，小弟的解法是：\(\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{28}.\)
說明：\(A\) 可以任選，\(D\) 需由剩下的七個位置選到與 \(A\) 不同分支的四個之一，剩下就是兩人必須各勝兩次。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-21 10:54 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9011&ptid=948][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 2 題：
可以參考 八神庵跟 thepiano 老師的解：
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=20#p4058[/url]
另，小弟的解法是：\(\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\) ... [/quote]
謝謝瑋岳老師 請教第16題
方向是\((3,3,-4)\)
怎麼求過點\((5,6,-6)\)
這兩直線\(L_1\)與\(L_2\)不是在同一平面?
謝謝
回復 32# arend 的帖子
請教第15 題，很久以前不會，現在還是不會，其中有何玄機？ 第 15 題\(x,y,z,u,v,w\)為正整數，若
\( 1949(xyzuvw+xyzu+xyzw+xyvw+xuvw+zuvw+xy+xu+xw+zu+zw+vw+1)= \)
\( 2004(yzuvw+yzu+yzw+yvw+uvw+y+u+w) \)，
求\(x+y+z+u+v+w=\)[u] [/u]
[解答]
2004/1949 = (xyzuvw+ xyzu + xyzw + xyvw + xuvw + xy + xu + xw + zuvw + zu + zw + vw + 1) / (yzuvw+ yzu + yzw + yvw + uvw + y + u + w)
1 + 55/1949 = x + [(zuvw + zu + zw + vw + 1) / (yzuvw+ yzu + yzw + yvw + uvw + y + u + w)]
x = 1
1949/55 = 35 + 24/55 = y + [(uvw + u + w) / (zuvw + zu + zw + vw + 1)]
y = 35
......
z = 2，u = 3，v = 2，w = 3
回復 34# thepiano 的帖子
感謝太神了！原來正整數的條件要這樣用...我的思路完全在另一條平行線...
回復 34# thepiano 的帖子
真是漂亮的連分數。 :)[attach]1969[/attach]
回復 36# weiye 的帖子
漂亮到簡直犯規！回復 38# johncai 的帖子
(前文刪帖???)填7. 設 \( t =\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}} \)，\( \vec{BQ} = \alpha \vec{BC} + \beta \vec{BA} \)
由 CEA 共線，知 \( \alpha = \beta t \)...①
而 \( \vec{BC} = (1+t) \vec{BD} \)，又 DQA 共線，而得 \( (1+t)\alpha + \beta =1 \)...②
①②聯立，解得 \( \alpha = \frac{t}{1+t+t^2}, \beta = \frac{1}{1+t+t^2} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-23 09:33 PM 編輯 [/i]] 苦思很久的第8題，究竟 \(a\) 為何不為0, -2
發現其實是在算的過程中，漏了一個很大的條件...囧
\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a}=a+\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) 之值域為實數
\(\displaystyle \Leftrightarrow 設 y=\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) ，\(y\) 之值域為實數 (不作平移這步也沒差，計算也沒變簡單XD)
\(\Rightarrow yx^2+(y-1+a)x+ay+a^2-1=0\) (心中要掛記著 \(x^2+x+a\neq0\))
(1)若 \(y=0\)，則 \(a=1\) (代回原式顯然不合) 或
\(x=-1-a\) 且 \((-1-a)^2+(-1-a)+a\neq0\) (\(\leftarrow\) 剛剛掛記著的那件事！解得 \(a\neq 0 or -2\))
(由因式定理，上式也代表 \(y\) 的分子(一次式)不能被約去，被約去的話就造不出\(y=0\)了)
也就是 \(y=0\) 這個case在 \(x=-1-a\) 且 \(a\neq 0 or -2\) 時成立！
(2)若 \(y\neq0\)，由 \(x\in R\) 條件，利用判別式法可得 \(-2\leq a\leq 0\) (這步過程和大家一樣，不詳述)
因為 \(y\) 的值域是實數全體，case(1)(2)皆要有解，交集得 \(-2<a<0\)
其實是資質駑鈍XD，一開始沒看懂tsusy大的說明，寫完後總算有了些感覺
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2014-2-17 11:19 PM 編輯 [/i]]