99彰化女中(部分題目)
以下資料供以後的考生參考：初試最低錄取分數 46分
58,54,54,50,46,46
40~44分 15人
30~39分 27人
20~29分 38人
10~19分 8人
0~ 9分 4人
缺考 1人
共計 99 人
請各位網友直接寫題號來討論
101.2.11補充
將題目重新打字，檔案需要LibreOffice才能開啟 1.兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)？(請化為最簡分數)
[出處，93高中數學能力競賽 第二區筆試二試題]
\( \displaystyle a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2004}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2004}) \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+...+\frac{1}{2004} \)
頭尾相加
\( \displaystyle a=\frac{3007}{1003 \times 2004}+\frac{3007}{1004 \times 2003}+...+\frac{3007}{1503 \times 1504} \)
\( \displaystyle a=3007 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)
\( \displaystyle b= \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504}\Bigg)\;+\Bigg(\; \frac{1}{1504 \times 1503}+\frac{1}{1505 \times 1502}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \Bigg)\; \)
\( \displaystyle b=2 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)
111.4.25補充
已知\(\displaystyle p=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2021\times 2022}\)，
\(\displaystyle q=\frac{1}{1012\times 2022}+\frac{1}{1013\times 2021}+\frac{1}{1014\times 2020}+\ldots+\frac{1}{2022\times 1012}\)，試求\(\displaystyle \frac{p}{q}\)之值=[u] [/u]。
(111臺南一中，[url]https://math.pro/db/thread-3635-1-1.html[/url])
5.橢圓\( \displaystyle \frac{(x-21)^2}{21}+\frac{(y-100)^2}{100}=2100 \)在第一、二、三、四象限內的面積依次為\( R_1 \)、\( R_2 \)、\( R_3 \)、\( R_4 \)，則\( R_1-R_2+R_3-R_4= \)？
[提示]
高中數學101 P238，高中數學101修訂版 P240有這題
中心在\( (x_0,y_0) \)，\( R_1-R_2+R_3-R_4=4 |\ x_0 y_0 |\ \)
7.如下圖，正三角形△ABC，若D,E,F將三邊分成\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=2 : (n-2) \)；
(其中\( n>4 \))，且\( \overline{AD} \)，\( \overline{BE} \)，\( \overline{CF} \)相交所成的△PQR的面積是△ABC的\( \displaystyle \frac{1}{7} \)，則n值為？
如右圖，△ABC中，D，E，F分別為三邊之三等分點，\( \overline{AD} \)，\( \overline{BE} \)，\( \overline{CF} \)兩兩分別交於P，Q，R，△PQR和△ABC面積比為何？
(97大安高工)
這題答案就是1:7，2: (n-2)=1:2，n=6
假如沒背到這題答案的話，原本的方法是
\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=1:t \)
\( \displaystyle △ABQ=\frac{1+t}{1+t+t^2}△ABD \)，\( \displaystyle △ABD=\frac{t}{1+t}△ABC \)得\( \displaystyle △ABQ=\frac{t}{1+t+t^2}△ABC \)
最後可得到\( \displaystyle △PQR=\frac{1-2t+t^2}{1+t+t^2}△ABC \)，得\( t=2 \)
以上的解法出自 國際數學奧林匹克大陸隊訓練教材 P136
101.2.11補充資料
已知：如圖6-7，△ABC中P、Q分別為邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)上的點，且\( \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=\frac{1}{2} \)，\( \overline{BQ} \)與\( \overline{AP} \)相交於D。試探討圖中
(1)線段與線段之間的關係；
(2)△ABD、△BPD、△AQD和四邊形PCQD各面積之間的關係；
(3)上述諸三角形和四邊形的面積同△ABC的面積之間的關係。
[attach]932[/attach]
101.12.18
補充另外一種解法
宋釗宜，難解數學破題
[attach]1479[/attach]
102.9.20補充
若\( \displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{m}{n} \)則有
(3)\( AF:FD: DP=(m^2+mn): (n^2-m^2):m^2 \)
感謝thepiano解題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&p=9976[/url]
102.11.20補充
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid9415[/url]
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=22355[/img]
105.5.20補充
任意給定一個三角形\(ABC\)，已知\(P、Q、R\)分別為\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)三邊上的三點，且\(\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{BQ}:\overline{QC}=\overline{CR}:\overline{RA}=2:1\)，若\(\overline{CP},\overline{AQ},\overline{BR}\)兩兩交於點\(A',B',C'\)。求\(\Delta A'B'C'\)與\(\Delta ABC\)的面積比。
(建中通訊解題 第92期)
111.1.11補充
在三角形\(ABC\)的三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上依次取\(D\)、\(E\)、\(F\)點，且使\(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2\)，令\(\overline{AD}\)與\(\overline{CF}\)交於\(P\)點，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AD}\)交於\(Q\)點，\(\overline{CF}\)與\(\overline{BE}\)交於\(R\)點，求\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)的面積比。
(106羅東高中，[url]https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html[/url])
在(圖一)中，\(\displaystyle \overline{TQ}=\frac{1}{2}\overline{ST}\)，\(\displaystyle \overline{UR}=\frac{1}{3}\overline{TU}\)，\(\displaystyle \overline{SP}=\frac{1}{4}\overline{SU}\)。已知\(\Delta STU\)的面積是1。則\(\Delta PQR\)的面積為[u] [/u]。
(98嘉義高中，[url]https://math.pro/db/thread-2417-1-1.html[/url])
8.x為實數時，若\( \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數，則常數a之範圍為？
(93高中數學能力競賽 雲嘉區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf 連結已失效
9.擲一公正骰子200次，若至少出現100次正面的機率為\( \displaystyle a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} \)，則數對\( (a,k)= \)？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41934 連結已失效
17.n是自然數，O為原點，平面π: \( x+ny+(n+2)z=1 \)與三坐標軸相交於點\( A_n \)，\( B_n \)，\( C_n \)，若\( V_n \)表四面體\( O-A_nB_nC_n \)的體積，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n= \)？
[提示]
高中數學101 P186，高中數學101修訂版 P187有這題
\( \displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{n}}+\frac{z}{\frac{1}{n+2}}=1 \)
\( \displaystyle A_n=(1,0,0) \)，\( \displaystyle B_n=(0,\frac{1}{n},0) \)，\( \displaystyle C_n=(0,0,\frac{1}{n+2}) \)
19.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為？
(99中正預校，[url=https://math.pro/db/thread-990-1-1.html]https://math.pro/db/thread-990-1-1.html[/url])
解答在[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p4039[/url]
想請教填充12
想請教一下關於填充第12題 (第13格)
除了用討論的之外
有沒有比較有系統的作法?
或者是可以轉換成甚麼樣的思考模式來想這題呢??
先謝謝了! 請教一下第6題的解題思維 第 6 題
求兩橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) 與 \(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) 所圍區域的公共部份繞 \(x\) 軸旋轉一周所得體積為？
解答：
先求 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.\) 在第一象限的交點
（根據對稱的特性，也就是抓其中一個橢圓跟 \(x=y\) 直線在第一象限的交點），
解得交點為 \(\displaystyle\left(\frac{12}{5},\frac{12}{5}\right).\)
所求體積為 \(\displaystyle 2\left(\int_{0}^{\frac{12}{5}} \pi\cdot 9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)dx+\int_{\frac{12}{5}}^{3} \pi\cdot 16\left(1-\frac{x^2}{9}\right)dx\right)=\frac{208\pi}{5}.\)
回復 3# sweeta 的帖子
我已經知道怎麼寫比較有規律了^^ 想請教第8題
\(x\)為實數時，若\( \displaystyle \frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數，則常數\(a\)之範圍為[u] [/u]
令y=f(x)...整理出(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?
我算不出-2<a<0.這個答案ㄟ..還請知道的老師們不吝指教..謝謝~ [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2010-6-20 09:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2245&ptid=948][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教第8題...令y=f(x)...整理出
(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?我算不出-2 [/quote]
因為y為任意實數,所以f(y)>=0恆成立的條件
就是D<0
回復 1# bugmens 的帖子
想請教第18題，感謝。 [quote]原帖由 [i]may[/i] 於 2010-6-21 10:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2250&ptid=948][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請教第18題，感謝。 [/quote]
這是四個積分
分子分母各除以n^2....然後各分一個給前後兩個級數
就是積分.... [quote]原帖由 [i]may[/i] 於 2010-6-21 10:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2250&ptid=948][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教第18題，感謝。 [/quote]
第 18 題：
題目：求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)\left(^5+2^5+\cdots+n^5\right)}{\left(1^3+2^3+\cdots+n^3\right)\left(1^4+2^4+\cdots+n^4\right)}\) 之值。
解答：
\(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n^2+O(n)\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\)
\(\displaystyle 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^4+O(n^3)\)
\(\displaystyle 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\)
\(\displaystyle 1^5+2^5+\cdots+n^5=\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\)
所求 \(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{n^3}{3}\cdot\frac{n^6}{6}+O(n^7)}{\displaystyle\frac{n^4}{4}\cdot\frac{n^5}{5}+O(n^7)}=\frac{10}{9}.\) 可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝 [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-6-24 12:41 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2289&ptid=948][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝 [/quote]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p3916]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p3916[/url] 我想請問第三題跟第四題
我一直想用科西不等式解
但是都無法解出
可以請版上高手給點提示嗎
感謝 第 3 題：
解答：
令\(\angle ACB=\theta,\)
則 \(\angle ABC=60^\circ -\theta,\)
由正弦定理，可得
\(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AC}}{\sin\left(60^\circ-\theta\right)}=2\times 1\)
所以，\(\displaystyle 2\overline{AB}+3\overline{AC}=4\sin\theta+6\sin\left(60^\circ-\theta\right)\)
\(\displaystyle =4\sin\theta+6\left(\sin60^\circ\cos\theta-\cos60^\circ\sin\theta\right)\)
\(\displaystyle =\sin\theta+3\sqrt{3}\cos\theta\)
\(\displaystyle \leq\sqrt{1^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=2\sqrt{7}\)
故，所求最大值為 \(2\sqrt{7}.\)
ps. 如果想要知道當最大值發生時 \(\displaystyle \overline{AB}, \overline{AC}\) 各別為多少的話，
解題時可以改以疊合處理。 第 4 題：
由面積公式，可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = \sqrt{3}\Rightarrow bc=4\)
由餘弦定理，可得
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos60^\circ\)
\(=b^2+c^2-4\)
\(\geq2\sqrt{b^2\cdot c^2}-4\)
\(=4\)
\(\Rightarrow a\geq2\)（且當等號成立時，若且唯若 \(b=c\)）
所以，
\(a+b+c\geq a+2\sqrt{bc}=2+2\sqrt{4}=6\)
（且當等號成立時，若且唯若 \(a=2\) 且 \(b=c\)）
故，\(a+b+c\) 的最小值為 \(6\)。（且此時 \(a=b=c=2\)） 瑋岳老師謝謝您 請問第七題的 △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的? 請問第8題如何做?