99東山高中
為蒐集大多數學校的考題供後人參考，本試題題目與參考解答，經 ptt 的 demon 網友同意轉錄. 感謝. ^___^
因小弟重新排版修飾，如有打字錯誤，希望網友不吝告知，感謝.
請問一題
請問第6題 第 6 題：求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值.把完全平方展開，然後利用
1. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}100x \cdot C^{99}_{k-1}x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}=100x\times 1^{99}=100x\)
2. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}k^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}\left(k\left(k-1\right)+k\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)
\(\displaystyle=\sum^{100}_{k=1}k\left(k-1\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)
\(\displaystyle=\sum^{100}_{k=2}100\cdot99\cdot x^2 C^{98}_{k-2} x^{k-2}\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}100\cdot x C^{99}_{k-1} x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}\)
\(\displaystyle=100\cdot99 x^2\times 1^{98}+100x\times 1^{99}=9900x^2+100x\)
可得所求為 \(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{100}\cdot\left(100x\right)+\left(\frac{1}{100}\right)^2\cdot\left(9900x^2+100x\right)=\frac{399x^2+x}{100}.\)
註：如果對於中間的變化手法不熟悉，也可以參看看下面有相似手法的兩題：
1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
[url=https://math.pro/db/thread-62-1-5.html]https://math.pro/db/thread-62-1-5.html[/url]
2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
[url=https://math.pro/db/thread-401-1-5.html]https://math.pro/db/thread-401-1-5.html[/url]
3.
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322[/url] 可以請問板上的老師
第五題嗎?
我好像是用比較麻煩的方式處理
我令z2=a+bi z1=(a+1)+(b-2)i
然後再去處理
可是也一直沒有解出來
請板上老師賜教 第 5 題：
設 \(z_1,\, z_2\) 為複數，滿足 \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\)，且 \(z_1-z_2=1-2i\)，求 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}\) 之值.
解答：
令 \(z_1=r\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right),\; z_2=r\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)\)，則
由 \(z_1-z_2=1-2i\)，可得
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}r\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)&=&1\\r\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)&=&-2\end{array}\right.\)
將兩式相除，再用和差化積，可得 \(\displaystyle\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\) 之值，
再利用[url=http://www.google.com/search?q=%E5%88%87%E8%A1%A8%E5%BC%A6]切表弦[/url]公式（也有人稱萬能公式），可得 \(\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 與 \(\sin\left(\alpha+\beta\right)\) 之值，
故，可得 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}=\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\right|\cdot\left| z_2\right|}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right) \) 之值. 謝謝瑋岳老師
我懂了
看來我的方法太土法煉鋼了
感謝老師! 3.試求正整數n使得下式成立\( \displaystyle tan^{-1}\frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{4}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4} \)。
(2008AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2008[/url])
4.圓\( C_1 \)、\( C_2 \)、\( C_3 \)的圓心分別為\( (0,0) \)、\( (12,0) \)、\( (24,0) \)且其半徑分別為1、2、4，直線\( L_1 \)是\( C_1 \)與\( C_2 \)的內公切線，其斜率為正，直線\( L_2 \)是圓\( C_2 \)與\( C_3 \)的內公切線，其斜率為負，設直線\( L_1 \)、\( L_2 \)交於\( (x,y) \)，若\( x=p-q \sqrt{r} \)，其中p、q、r為正整數且r不能被任何質數的平方整除，求\( p+q+r \)？
(2006AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2006[/url])
6.\( \displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{100} (x- \frac{k}{100})^2 C_k^{100} x^k (1-x)^{100-k} \)，已知P(x)為二次多項式，求P(x)？
(98台大資工申請入學)
將原本99東山高中這題改為相減，答案\( \displaystyle \frac{x}{100}-\frac{x^2}{100} \)
請問第八題?
第 8 題\(P\left(ab-cd \mbox{ 是偶數}\Bigg|a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)\)
\(\displaystyle=\frac{n\left(ab-cd \mbox{ 是偶數且 }a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)}{n\left(a,b,c,d\mbox{ 至少有一奇數}\right)}\)
\(\displaystyle=\frac{n\left(ab \mbox{ 是偶且 }cd\mbox{ 是偶}\right)+n\left(ab\mbox{ 是奇且 }cd\mbox{ 是奇}\right)-n\left(a,b,c,d \mbox{ 都是偶數}\right)}{n(a,b,c,d至少有一奇數)}\)
\(\displaystyle=\frac{ \left(6\cdot 6-3\cdot3\right)\left(6\cdot 6-3\cdot 3\right)+3\cdot3\cdot3\cdot3-3\cdot3\cdot3\cdot3}{6^4-3^4}\)
\(\displaystyle=\frac{3}{5}\) 為什麼第9題我想到頭腦壞掉,都想不出來,
請大師指點迷津,3Q
回復 10# 阿光 的帖子
令 \(\displaystyle a_n=\frac{\left[10^n\times\sqrt{2}\right]}{10^n}\)，其中分子的 \([\,]\) 表示高斯符號，
則 \(a_n\) 即為無條件捨去法將 \(\sqrt{2}\) 取至小數點以下第 \(n\) 位之值，
易得 \(<a_n>\) 為有理數數列，且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)
此題的解答並不唯一，
也可以利用牛頓法求根的方法，
令 \(f(x)=x^2-2\)，則 \(f'(x)=2x\)
取 \(a_0=2\)，且令 \(\displaystyle a_n=a_{n-1}-\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})}\,,\forall n\in N\)
則 \(<a_n>\) 為有理數數列，且由 \(y=f(x)\) 的函數圖形可得 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)
回復 1# weiye 的帖子
能請問第7題怎麼做嗎？回復 12# casanova 的帖子
第 7 題：(a)
因為 \(M,B,C\) 三點不共線，
所以 \(MB\)向量不平行\(MC\) 向量
因為 \(H\) 位在 \(MBC\)平面上，
所以，存在實數 \(p,q\) 使得
\(MH\mbox{向量}=p\cdot MB\mbox{向量}+q\cdot MC\mbox{向量}\)
\(\Rightarrow OH\mbox{向量}-OM\mbox{向量}=p\left(OB\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)+q\left(OC\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)\)
\(\Rightarrow OH\mbox{向量}=\left(1-p-q\right)OM\mbox{向量}+p\cdot OB\mbox{向量}+q\cdot OC\mbox{向量}\)
令 \(x=1-p-q,y=p,z=q\)，
則 \(x+y+z=(1-p-q)+p+q=1.\)
(b)
因為 \(G\) 為 \(\triangle ABC\) 的重心，
所以 \(\displaystyle OG\mbox{向量}=\frac{1}{3} OA\mbox{向量}+\frac{1}{3} OB\mbox{向量}+\frac{1}{3} OC\mbox{向量}\)
因為 \(O,G,H\) 共線，所以令 \(OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}\)
則 \(\displaystyle OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)
\(\displaystyle =\frac{t}{3} (2\cdot OM\mbox{向量})+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)
由 (a)，可得 \(\displaystyle \frac{2t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}=1 \Rightarrow t=\frac{3}{4}\)
故，\(\displaystyle OH\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4} OA\mbox{向量}+\frac{1}{4} OB\mbox{向量}+\frac{1}{4} OC\mbox{向量}\)
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