99桃園縣現職教師高中聯招
請見附件2010.5.26
感謝Joy091指正,複選第8題答案為(A) 填充題
1.已知大於或等於正整數n的整數都可以表成\( 5a+14b+21c \)的形式，其中a,b,c為正整數，則n的最小值為？
對於大於n所有自然數均可表示為\( 6a+9b+20c \)，其中a,b,c為非負整數，求最小的正整數n=？
(98北一女，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid2077]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid2077[/url])
2010.12.10補充
假設小翔有無限多顆5克砝碼和13克砝碼，但他發現沒辦法組合出n克重量(\( n \in N \))，求n的最大值為
(RA148.swf)
公式：當正整數\( a,b \)互質時，不能用\( a,b \)組合出的最大正整數為\( ab-a-b \)
計算題
5.已知\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5}) \)乘開後，依升冪排列可以寫成
\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5})=1+b_1 x^{a_1}+b_2 x^{a_2}+b_3 x^{a_3}+...+b_{63} x^{a_{63}} \)，
其中\( \langle\ a_n \rangle\ \)，\( \langle\ b_n \rangle\ \)是兩個正整數的數列，且\( 1=a_1<a_2<a_3<...<a_{63} \)。
(1)試求\( a_{25} \)及\( b_{25} \)之值。
(2)試求\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63} \)及\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63} \)。
[提示]
(1)
25的二進位為11001
\( \matrix{243 & 81 & 27 & 9 & 3 & 1 \cr & 1 & 1 & 0 & 0 & 1} \)
\( a_{25}=109 \)，\( b_{25}=64 \)
(2)
\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63}=(243+81+27+9+3+1) \times 32=11648 \)
\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63}=(1+4)^6-1=12564 \)
其他相關題目請見
(我的教甄準備之路 多項式連乘)
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045[/url]
2010.5.18
感謝weiye提醒
\( (243+81+27+9+3+1) \times 32 \)應為11648
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-12-10 10:06 PM 編輯 [/i]] 請問bugman老師
這二進位怎麼看
有點迷網?請不吝告知
謝謝
還有計算第二題怎麼解
沒頭緒阿
回復 2# bugmens 的帖子
想請教以下這個部分a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢? [quote]原帖由 [i]milkie1013[/i] 於 2010-5-19 07:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2052&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢? [/quote]
為什麼你會覺得需要減 1 呢？
\(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\) 〝由 \(1,3,3^2,\cdots 3^5\) 任取 \(1,2,3,4,5,6\) 個數字之和〞的和
其中 \(1,3,3^2,\cdots, 3^5\) 各會被加 \(2^{6-1}=32\) 次，
所以， \(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\left(1+3+3^2+\cdots+3^5\right)\times 2^5=11648.\) 喔~有個地方剛剛搞錯了><"
懂了~謝啦!!! 想請教大家(非選一):
已知大於或等於正整數n的整數都可以表成 5a+14b+21c 的形式，其中a,b,c為正整數，則n的最小值為？
以及 (非選六):
設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。 (10分)
謝謝大家
回復 7# milkie1013 的帖子
(非選一)首先 (a,b,c)=(1,1,1) 時, 5+14+21=40
故40,45,50,55,... (5k) 可被表示出來
考慮40+14=54, 得到(5k+4)在54之後可被表示
考慮40+21=61, 得到(5k+1)在61之後可被表示
考慮40+14+14=68, 得到(5k+3)在68之後可被表示
考慮40+14+14+14=82, 得到(5k+2)在82之後可被表示 (82也可以從40+21+21看出)
所以82之後都能被表示
回溯82之前第一個不能被表示的是77 (=5k+2)
所以本題答案是78
回復 7# milkie1013 的帖子
(非選六):設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。
若AB與CD平行，作一線同時垂直AB與CD，並交於兩點F與G，過線段FG的中點作直線平行AB並交圓於M,N，
則線段MN即為所求。
若不平行，延長兩線段之後交於F，作角AFD的分角線，將E對此分角線作對稱點E'，連接FE'之直線交圓於M,N，
則線段MN即為所求。
以下將用" d(E,AB)表示點E到直線AB的距離" 說明:
題目欲找到P，使得 d(P,AB):d(P,CD)=CD:AB
由於AC垂直BD，故有d(E,AB):d(E,CD)=AB:CD (ABE與DCE相似)
藉由鏡射，就有d(E',AB):d(E',CD)=CD:AB
再用相似形的想法，就知道直線FE'上的每一點Q (F除外)，皆有d(Q,AB):d(Q,CD)=CD:AB
故線段MN即為所求。
(更完整的，用相似形說明所有解皆落在線段MN上)
另外，解答中複選第8題答案有誤，應將A,D更正為 A [quote]原帖由 [i]Joy091[/i] 於 2010-5-26 05:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2094&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(非選六):
設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。
若AB與CD平行，作一線同時垂直AB與C ... [/quote]
圓心O是顯然解，所以若AB//CD，過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F，連接FO即可，當然，文中所說的E'也是正確的
回復 10# 老王 的帖子
平行的情形我寫錯了，應該如老王所說"過O作AB的平行線" ! 請問一下第五題的第一題.二進位後要怎麼算出答案???不懂這之間的關係!!不好意思^^ \(\displaystyle a_{25}=1\times3^4+1\times3^3+0\times3^2+0\times3^1+1\times3^0=109\)\(\displaystyle b_{25}=4^{1+1+0+0+1}\) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2010-5-16 02:32 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2044&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[提示]
(1)
25的二進位為11001
[i]a[/i][size=3]25[/size]=109
... [/quote]
請問如何得知要使用2進位來觀察呢。
感覺是由觀察法得到
可是卻不是很直接
煩請各位老師解惑 謝謝 [quote]原帖由 [i]jisam[/i] 於 2010-5-31 08:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2120&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問如何得知要使用2進位來觀察呢。
感覺是由觀察法得到
可是卻不是很直接
煩請各位老師解惑 謝謝 [/quote]
如果對[url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_3_10/]組合數學的生成函數[/url]有感覺的話，
應該可以看出 \(x\) 的次方數就是〝由 \(1,3,3^2,3^3\cdots\) 每個數字至多只取一次之和〞的所有可能性，
所以各種取法可以對應到所有自然數的 \(2\) 進位的表示法.
而每取用一個 \(3^n\,(n\in N\cup\{0\})\)，\(x\) 的係數就會多乘一個 \(4.\)
回復 15# weiye 的帖子
謝謝weiye老師 待我細細品味 感謝 這一題的多選第10題,請問答案A符合所求嗎?不然公佈的答案怎麼沒有A? [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2010-6-19 04:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2222&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這一題的多選第10題,請問答案A符合所求嗎?
不然公佈的答案怎麼沒有A? [/quote]
多選第 10 題
在坐標平面上，點 \(A\) 的坐標是 \((2,0)\)，\(B\)是圓Ｃ：\(x^2+y^2+4x+6y+4=0\)上的點，則下列那些值可以是 \(\overline{AB}\) 的長度？
解答：
圓Ｃ：\(\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=3^2\) 得圓心 \(Q(-2,-3)\)，半徑 \(r=3\)
\(\overline{AQ}-r\leq\overline{AB}\leq\overline{AQ}+r\,\Rightarrow\, 2\leq\overline{AB}\leq8.\)
答案似乎要有 A 選項才是。 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2010-5-26 09:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2095&ptid=939][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
圓心O是顯然解，所以若AB//CD，過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F，連接FO即可，當然，文中所說的E'也是正確的 [/quote]
先謝謝weiye和bugments兩位老師幫我解釋99桃園新進教師問題,這邊想請問各位老師,為何不論AB是否平行CD,連接圓心O都可呢? 謝謝
回復 19# kittyyaya 的帖子
(非選6)1. ∠AEB=90° ⇒ AB弧 + CD弧 = 180° ⇒ ∠AOB 與 ∠COD 互補
⇒ ΔAOB 面積 = ΔCOD面積
2. 若 AB//CD，則過 O 作 AB 的平行線，其上任取一點 P，
P到AB直線的距離＝O到AB直線的距離，
P到CD直線的距離＝O到CD直線的距離。
3. 若 AB 不平行 CD，設 AB 直線與 CD 直線相交於 F，
則取 OF 直線上任意點 P，
因為 O到AB直線的距離：P到AB直線的距離到＝OF線段長：PF線段長，
且 O到CD直線的距離：P到CD直線的距離到＝OF線段長：PF線段長。
所以 P到AB直線的距離：P到CD直線的距離＝O到AB直線的距離：O到CD直線的距離。
由上述 1,2,3，以及同底等高的三角形會等面積，
所以，上述所取之 P 會滿足 ΔPAB 面積 = ΔPCD面積
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