請問第六題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何? [/quote]
假設AB=AC
重心為G
那麼GB=GC=4
三角形GBC面積最大在角BGC=90度的時候，此時面積為(GBC)=8
(ABC)=3*(GBC)=24 同時間有三個人回文，解題還慢了一步，我還是補充資料就好了
6.已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何？
若一等腰三角形的底邊上的高等於18cm，腰上的中線等於15cm。則這個等腰三角形的面積等於？
(初中數學競賽指導)
已知直角三角形的周長為\( 2+\sqrt{6} \)，斜邊上的中線長為1，求這個三角形的面積？
雖然解題沒用到重心，但條件也有中線，故放在一起
101.1.10補充
有一個直角三角形，斜邊上的中線長為1，周長為\( 2+\sqrt{6} \)，求此三角形的面積為？
(100卓蘭實驗高中，[url]https://math.pro/db/thread-1165-1-1.html[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-10 06:08 PM 編輯 [/i]] 國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 6 題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為 \(6\)，求三角形面積的最大值為何？
解答：
設底邊長為 \(2a\)，與底邊垂直之高長為 \(b\)，
則腰長為 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，
由三角形的中線定理，可得 \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+(2a)^2=2\left(\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2+6^2\right)\)，
整理可得 \(9a^2+b^2=144\)（或是，如下圖，套用畢氏定理亦可得此式，感謝 bugmens 提供此想法。）
[align=center][img]http://img163.imageshack.us/img163/6263/90459596.png[/img]
[/align]
由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{9a^2+b^2}{2}\geq\sqrt{9a^2\cdot b^2}\Leftrightarrow 72\geq 3ab\Leftrightarrow 24\geq \frac{2a\cdot b}{2}\)
所以，此三角的最大面積為 \(24\)。（此時，\(a=2\sqrt{2}\)，\(b=6\sqrt{2}\)。） 另外請教一下第三題，有想過要中線定理，也想利用ACE面積是ACD面積兩倍，然後用1/2absin去算，但就是算不出來!!
回復 24# waitpub 的帖子
國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）第 3 題：如下圖， \(\triangle ABC,\, \angle C=90^\circ,\, \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB},\, \angle ACD=\alpha,\, \angle DCE=\beta,\, \angle ECD=\gamma\)，
求 \(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}=?\)
[align=center][img]http://img688.imageshack.us/img688/9793/76410234.png[/img]
[/align]
解答：
\(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{AC}\cdot \overline{BC}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{AC}\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}\overline{CE}\cdot \overline{BC}\sin\gamma}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{CE}\sin\beta}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\triangle ACD\mbox{面積}\cdot \triangle BCE\mbox{面積}}{\triangle CDE\mbox{面積}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}\cdot \frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{3}\) 謝謝老師們的解說! 請教各位老師填充第三題最小值已求出
Q點我自己算是( (6-√3)/11, (2√3-1)/11 )
跟答案差很多~~不曉得是不是我算錯還是觀念有誤
謝謝!! [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-13 01:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2033&ptid=937][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？
解答： ... [/quote]
[i]weiye大您好!![/i]
謝謝您提供這麼好的方法!!
還想請教這邊P點(也就是費馬點)的實際座標，該如何下手?完全沒頭緒...
感謝回答~
想到了可以讓C點旋轉60度得D點座標
又因為B-P-D在同一條線上，所以可以做出P點的參數式
再利用向量PA、向量PB所夾120度可得P
但是這樣一來數字變的很複雜...有沒有其他的好方法呢?
[[i] 本帖最後由 icesnow1129 於 2011-5-19 04:05 PM 編輯 [/i]]
回復 28# icesnow1129 的帖子
分別以 \(A, B\) 為中心，將 \(C\) 分別以逆時針、順時針旋轉 \(60^\circ\)，設旋轉後的兩點分別為 \(D\) 與 \(F\)，
則 \(\overline{AF}\) 與 \(\overline{BD}\) 的交點即為 \(P\) 點。 第一題的解答打錯了，應該是3的立方根<x<27。
回復 30# waitpub 的帖子
感謝，馬上修正打字錯誤～ ^__^ 請問填充第十題如何解？回復 32# loui315 的帖子
填充第 10 題把圓心畫出來，然後把圓補起來，
看起來就如下圖，
[img]http://img35.imageshack.us/img35/5089/qqqut.png[/img]
用畢氏定理可求得 \(\overline{O_1O_2}\)，
進而求得直角三角形 \(\triangle AO_1O_2\) 的高 \(\overline{AB}\)，
可得 \(\overline{AP}\) 之值，
再求的 \(\angle AO_1P, \angle AO_2P\) 之值，
再來應該問題不大了。^__^
請教第1題
我令\(logx=k\)但解不出\(0<x<1\)的這個範圍
盼請賜教
感激不盡
回復 34# WAYNE10000 的帖子
國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）第 1 題：求不等式 \(\displaystyle \log_3 x + \log_x 3<\frac{10}{3}\) 的解。
解答：
令 \(k=\log_3 x,\)
則 \(\displaystyle k+\frac{1}{k}<\frac{10}{3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow k+\frac{1}{k}-\frac{10}{3}<0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{3k^2+3-10k}{3k}<0\)
\(\Rightarrow (3k^2+3-10k)(3k)<0\)
\(\Rightarrow (3k-1)(k-3)(3k)<0\)
\(\displaystyle \Rightarrow k<0\) 或 \(\displaystyle \frac{1}{3}<k<3\)
\(\Rightarrow \log_3 x<0\) 或 \(\displaystyle \frac{1}{3}<\log_3 x<3\)
\(\Rightarrow 0<x<1\) 或 \(\displaystyle \sqrt[3]{3}<x<27\)
回復 19# weiye 的帖子
請問第4題，「北緯 所在的平面方程式」，這句話是甚麼意思(被文字限制住了)，感謝。回復 36# mathca 的帖子
北緯 θ 度的橫切面方程式回復 37# thepiano 的帖子
稍微理解之後，莫非他不是放在傳統三維座標上---> e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) 為基底而是放在其他 類似斜坐標上(應該是把座標軸旋轉一定角度吧？)
不然傳統座標上，比如說北緯60度，形成的就是 z=常數 的平面(截面是圓)，
應該是這樣吧？
回復 38# mathca 的帖子
本討論串 19# 有站長大的解答回復 39# thepiano 的帖子
摁，感謝。之前因看不懂題目描述，所以提問。頁:
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