99 屏北高中
屏北高中也公佈題目了，不過似乎是用直接掃描的，原始檔案有點大，
所以小弟又把它重新打過，
如有打錯字或數據打錯的話，希望網友能不吝告知，感謝。
另外，想看該校提供的原始題目的話，
可見 [url=http://www.scribd.com/doc/31199454/991%E6%95%99%E7%94%84%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E9%A1%8C%E7%9B%AE%E5%8F%8A%E7%AD%94%E6%A1%88#fullscreen:on]《點我》[/url] 3.假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
[提示]
費馬點，以AC為邊長作正三角形ACP，其中P點坐標為\( (-2 \sqrt{3},2) \)，求\( \overline{PB} \)就是最小值
關於費馬點的題目我比較喜歡這題
\( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx } \)，求\( x+y+z= \)？
3.如下圖，△ABC，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，∠ACD=α，∠DCE=β，∠ECD=γ，求\( \displaystyle \frac{sin α \cdot sin γ}{sin β}= \)？
(徐氏數學2A P2.5-8)
(我的教甄準備之路 面積法，有相同圖形的類似題目)
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112[/url]
8.△ABC中，\( ∠ABC=90^o \)，\( \overline{AB}=1 \)，若延長\( \overline{AC} \)到D，並使得\( \overline{AB}=\overline{CD}=1 \)，若\( ∠CBD=30^o \)，求\( \overline{AC} \)長。
(我的教甄準備之路 面積法，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112[/url])
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請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。 [quote]原帖由 [i]may[/i] 於 2010-5-12 09:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2025&ptid=937][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。 [/quote]
設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？
解答：
\( \displaystyle \left\{\ \matrix{3^2=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ \cr 4^2=y^2+z^2-2yz\cos120^\circ \cr 5^2=z^2+x^2-2zx\cos120^\circ }\right. \)
令 \(\triangle ABC\) 滿足 \(AB=4, AC=3, BC=5\)，
且 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部一點，滿足 \(PC=x, PA=y, PB=z, ∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120^\circ\)，
題目要求 \(x+y+z=PC+PA+PB.\)
將 \(\triangle CAP\) 以 \(A\) 點為中心，往外旋轉 \(60^\circ\) 得 \(\triangle DAQ\)，
則 \(CP=DQ, ∠ DQA=120^\circ\)。
在 \(\triangle APQ\) 中，因為 \(AP=AQ\) 且 \(∠ PAQ=60^\circ\)，
得 \(\triangle PAQ\) 為正三角形，且 \(PQ=PA=y\) 且 \(∠ PQA=∠ QPA=60^\circ.\)
故，\(D,Q,P,B\) 四點共線，且 \(DB=DQ+QP+PB=PC+PA+PB=x+y+z.\)
利用畢氏定理，可得
\(DB=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+4\right)^2}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}.\) 請問第七題要如何解題呢？
還有第九題除了帶n=1,n=2的機率解聯立求a,b之外，不知是否還有其他辦法可解題？
(我是找出n=1和n=2時數字1出現偶數點的機率去解聯立求a,b)
謝謝老師們的幫忙! 第 7 題
若 \(m\in\mathbb{N}\)，求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots - \frac{1}{n+m}\right)=?\)
解答：
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots - \frac{1}{n+m}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left(m - \frac{n}{n+1} - \frac{n}{n+2} - \cdots - \frac{n}{n+m}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left\{ \left(1- \frac{n}{n+1}\right) +\left(1-\frac{n}{n+2}\right)+\cdots +\left(1 - \frac{n}{n+m}\right)\right\}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left( \frac{1}{n+1} +\frac{2}{n+2}+\cdots +\frac{m}{n+m}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} +\frac{2n}{n+2}+\cdots +\frac{mn}{n+m}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}} +\frac{2}{1+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{m}{1+\frac{m}{n}}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1+0} +\frac{2}{1+0}+\cdots +\frac{m}{1+0}\)
\(\displaystyle =1+2+\cdots+m=\frac{m\left(m+1\right)}{2}.\)
第 9 題：
若投擲 \(n\) 顆公正的骰子，有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b^n\right)\)，求 \(\left(a,b\right)=?\)
解答：
設擲 \(n\) 顆公正的骰子，有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(P(n)\)，則有奇數顆是 \(1\) 的機率為 \(1-P(n).\)
先找出遞迴關係，
\(\displaystyle P(1)=\frac{5}{6}\) ，且當 \(\displaystyle n\geq2\) 時，\(\displaystyle P(n)=\frac{1}{6}\left(1-P(n-1)\right)+\frac{5}{6}P(n-1)\)
\(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(n-1)\)
先調整成形如 \(\displaystyle \left(P(n)+k\right)=\lambda\left(P(n-1)+k\right)\) 的形式，
\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)
所以，
\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle P(n-1)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-2)-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle \vdots\)
\(\displaystyle P(2)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)
將上式乘起來，可得
\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).\)
類似題目：
1. [url=https://math.pro/db/thread-408-1-1.html]https://math.pro/db/thread-408-1-1.html[/url]
2. [url=https://math.pro/db/thread-626-1-1.html]https://math.pro/db/thread-626-1-1.html[/url] 謝謝weiye老師
也很感謝您提供相關題目，獲益良多。
謝謝您:)
請問
請問填充第2 : .............有多少組可能的根使得\(g(x)\)可表成\(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6=0\) , 如何求? 99 國立屏北高中教師甄試試題第 2 題：
假設一個 \(5\) 次整係數多項式 \(g(x)\) 的根全為整數，試問共有多少組可能的根使得 \(g(x)\) 可以表成 \(g\left(x\right)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6\)，其中 \(a,b,c,d\) 為整數.
解答：
由牛頓有理根定理（多項式的整係數一次因式檢驗法），
可知 \(g(x)=0\) 的整數根只有可能為 \(\pm1, \pm2, \pm3,\pm6\)
且因為五根之積為 \(-6\)，
所以，
case i: 有兩根為 〝\(2,3\)〞 或 〝\(-2,-3\)〞時，
只能搭配另外三根為 〝\(1,1,-1\)〞 或 〝\(-1,-1,-1\)〞 ，
有 \(2\times2=4\) 組.
case ii: 有兩根為 〝\(-2,3\)〞 或 〝\(2,-3\)〞時，
只能搭配另外三根為 〝\(1,1,1\)〞 或 〝\(1,-1,-1\)〞 ，
有 \(2\times2=4\) 組.
case iii: 有一根為 \(-6\) 時，
只能搭配另外四根為 〝\(1,1,1,1\)〞 或 〝\(-1,-1,1,1\)〞 或 〝\(-1,-1,-1,-1\)〞，
有 \(1\times3=3\) 組.
case iv: 有一根為 \(6\) 時，
只能搭配另外四根為 〝\(-1,1,1,1\)〞 或 〝\(-1,-1,-1,1\)〞，
有 \(1\times2=2\) 組.
所以，共有 \(4+4+3+2=13\) 組.
請問
請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ? ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎? [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2010-5-27 09:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2103&ptid=937][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ? ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎? [/quote]
丟一顆骰子，可能出現的點數有 \(1,2,3,4,5,6\)
如果出現的點數是 \(1\)，則有一顆（奇數顆）\(1\) 點.
如果出現的點數是 \(2,3,4,5,6\)，則有零顆（偶數顆）\(1\) 點.
所以，丟一顆骰子時，出現有偶數顆 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle\frac{5}{6}.\) 請問計算證明題在單位圓上的極值如何求 ? 我用langrange multipler 做不出 . 計算證明題：試求函數 \(f(x,y)=x+y^2\) 在單位圓 \(\displaystyle\left\{(x,y)\Big|x^2+y^2=1\right\}\) 上的極值，並找出發生極值的點。
解一、
\(\displaystyle f(x,y)=x+y^2=x+\left(1-x^2\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\leq\frac{5}{4}\)
因為 \(y^2=1-x^2\geq0\Rightarrow -1\leq x\leq1\)，
所以，
當 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 時，\(f(x,y)\) 有最大值為 \(\displaystyle\frac{5}{4}\)，此時 \(\displaystyle(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})\)。
當 \(\displaystyle x=-1\) 時，\(f(x,y)\) 有最小值為 \(-1\)，此時 \((x,y)=(-1,0)\)。
解二、
令 \((x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)\)，其中 \(0 \leq\theta<2\pi\)，
則 .......(後半段跟"解一"差不多，表示成 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式，再配方求極值。)
解三、
令 \(g(x,y,k)=x+y^2+k\left(x^2+y^2-1\right)\)，
解聯立方程式 \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial k}=0\)，
可得 \(\displaystyle(x,y,k)=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right),\left(1,0,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right),\left(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2},-1\right)\)
可得極值 \(f(-1,0)=-1\)，\(f(1,0)=1\)，\(\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{4}\)。
[align=center][img]http://img38.imageshack.us/img38/7716/tttmt.png[/img]
[/align] 在請教第二題 : 一線段長15, 做成一正三角形......... ? 國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 2 題：有一線段長 \(15\)，以此線段做一正三角形、一正方形和一圓，請問三者面積和的最小值為何.
解答：
設正三角形邊長為 \(a\)、正方形邊長為 \(b\)、圓的半徑為 \(c\)，
則 \(3a+4b+2\pi c=15\)，
題目所求三者的面積為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}a^2}{4}+b^2+\pi c^2\)，
由科西不等式可得
\(\displaystyle \left(\left(\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\right)^2+\left(4\right)^2+\left(2\sqrt{\pi}\right)^2\right)\left(\left(\frac{\sqrt[4]{3} a}{2}\right)^2+\left(b\right)^2+\left(\sqrt{\pi} c\right)^2\right)\geq\left(3a+4b+2\pi c\right)^2\)
\(\displaystyle\Rightarrow \mbox{三者面積和}\geq\frac{225}{12\sqrt{3}+16+4\pi}\)
且當等號成立時，若且唯若 .....((這一段不寫了啦～～應該可以自己檢查等號是有可能成立的！感謝～：Ｐ)) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-13 01:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2033&ptid=937][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？
解答： ... [/quote]
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解... [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2011-3-24 12:02 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2886&ptid=937][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解... [/quote]
還蠻有趣的，不限定要"正實數"的話，
用 WolframAlpha 解出來 \(x+y+z=\pm\sqrt{25+12\sqrt{3}}\) 或 \(\pm\sqrt{25-12\sqrt{3}}\)
（也就是 \(x+y+z\) 的四個可能值剛好會是 \(t^4-50t^2+193=0\) 的四個根。）
WolframAlpha：[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x^2%2By^2%2Bx+y%3D9%2C+y^2%2Bz^2%2By+z%3D16%2C+z^2%2Bx^2%2Bx+z%3D25%2C+q%3Dx%2By%2Bz]這裡[/url] 請問填充第4題如何求 ? 國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 4 題：若地球方程式為 \(x^2+y^2+z^2=100\)，且北緯 \(\theta\) 所在的平面方程式為 \(x+2y-2z=6\)，請問南緯 \(3\theta\) 所在的平面為何？
解答：
地球半徑 \(=10\)，
球心到北緯 \(\theta\) 所在平面的距離\(\displaystyle=10\sin\theta=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\frac{71}{125}\)
球心到南緯 \(3\theta\) 所在平面的距離 \(\displaystyle=10\sin3\theta=\frac{142}{25}\)
令所求平面方程式為 \(x+2y-2z=k\)，則
\(\displaystyle\frac{142}{25}=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-k\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\)
\(\displaystyle k=\pm\frac{426}{25}\)
所得兩平面方程式 \(\displaystyle x+2y-2z=\pm\frac{426}{25}\) 為南緯及北緯\(3\theta\) 所在的平面，
其中距離 \(x+2y-2z=6\) 比較遠的平面是 \(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)，
所以，南緯 \(3\theta\) 所在的平面方程式為\(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)。 請問第六題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何?
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