99師大附中
師大附中有公佈（填充題）題目跟答案了，真希望其他學校以後也能多多跟進！＝＝ 唉!!
高中部太簡單，國中部是在考什麼啊!!
生氣!!!!! 高中部填充第4題
設\( \displaystyle a_0=\frac{1}{2} \)且\( \displaystyle a_n= \Bigg(\ \frac{1+a_{n-1}}{2} \Bigg)\ ^{\frac{1}{2}} \)，\( n=1,2,3,... \)，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} 4^n(1-a_n) \)之值為。
[提示]
\( \displaystyle a_0=cos \frac{\pi}{3} \)，令\( \displaystyle a_{n-1}=cos \theta \)，\( a_n=cos \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3 \cdot 2^n} \)
以前我曾準備過這類型的題目，只是一直沒用到，就算其他的題目簡單就以這題來決勝負也很好阿
感謝thepiano提醒，95士林高商就考過了，我居然忘記了
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3309#p3306]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3309#p3306[/url]
我的教甄準備之路，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
找"通過問題學解題.rar"有這題的解答
104.2.25
舊網址已失效，重新上傳"通過問題學解題.rar"
[類似問題]
数列\( \{\ a_n \}\ \)中，\( a_1=a \)( \( 0<a<1 \) )，\( \displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-a_n^2}}{2}} \)，则它的 一个通项公式\( a_n \)是？
(第五届大陆希望杯全国邀请赛)
The first two terms of a sequence are \( a_1=1 \) and \( \displaystyle a_2=\frac{1}{\sqrt{3}} \).
For \( n \ge 1 \),\( \displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{1-a_n a_{n+1}} \) What is \( \vert\ A_{2009} \vert\ \)？
(A)0 (B)\( 2-\sqrt{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) (D)1 (E)\( 2+\sqrt{3} \)
(2009AMC12)
設\( a_0=2 \)，且對\( n \ge 1 \)時\( \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3}-a_{n-1}} \)。用\( p+q \sqrt{3} \)的形式表示\( a_{2002} \)的值(其中p和q為有理數)
(2002國際奧林匹克香港選拔賽) 想請問計算題題目為何?有好心人可以提供嗎?
另外,填充第七題如何解題?謝謝.
7.
設\( f(x) \)為實函數且滿足\( \displaystyle 3f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{5}{x}=0 \)，則\( f^2(x) \)的最小值為[u] [/u]。 [quote]原帖由 [i]witz[/i] 於 2010-5-13 01:25 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2027&ptid=935][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問計算題題目為何?有好心人可以提供嗎?
另外,填充第七題如何解題?謝謝. [/quote]
填充第七題
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc} 3f(x)-2f\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{5}{x}=0\\ 3f\left(\frac{1}{x}\right)-2f(x)-5x=0\end{array}\right.\)
兩式消去 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)\)，可解得 \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+3}{x}\)，
令 \(\displaystyle y=\left(\frac{2x^2+3}{x}\right)^2\Rightarrow 4x^4+\left(12-y\right)x^2+9=0\)
因為 \(x^2\in\mathbb{R}\)，
所以 \(\left(12-y\right)^2-4\times 4\times 9\geq0\Rightarrow y\geq24 \mbox{ 或 } y\leq0 \mbox{(不合，因為 } y=x^2 \mbox{ 且 } x \mbox{ 有在分母)}\)
且當 \(y=24\) 時，可解得 \(\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}.\)
故，\(f^2(x)\) 的最小值為 \(24.\)
註：感謝 waitpub 於後方回覆提醒我的計算錯誤！ ^__^ 謝謝瑋岳老師 請問老師
國中部計算第二題
證明e是無理數該怎麼去做
想好久還是沒有頭緒
謝謝老師! google 搜尋 "e irrational" 就有很多筆證明了，
以下挑當中的第一筆搜尋結果，改寫成中文。
證明：
已知 \(\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（＊）
假設 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，其中 \(p,q\) 都是正整數.
將 （＊）左右同乘 \(q!\) ，可得
\(\displaystyle q!\, e = q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}+\mbox{其它的項和}\)
因為 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，所以 \(q!\,e\) 是整數.
且 \(\displaystyle q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}\) 也是整數.
然而，
兩者當中相差的〝其它的項和〞
\(\displaystyle R=\frac{q!}{\left(q+1\right)!}+\frac{q!}{\left(q+2\right)!}+\frac{q!}{\left(q+3\right)!}+\cdots\)
\(\displaystyle =\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots\)
\(\displaystyle <\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{q-1}}{1-\frac{1}{q-1}}=\frac{1}{q}.\)
\(\displaystyle \Rightarrow 0<R<\frac{1}{q}\) ，得 \(R\) 非整數，矛盾.
故，\(e\) 非有理數. 謝謝老師!我懂了!
可以請問一下高中部填充第6題如何解呢? 謝謝
第 6 題：題目：
已知 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k=24\) 且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k^2=64\)；若 \(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\) 均為實數，則 \(a_1\) 的最大值為_________。
解答：
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}a_2+a_3+\cdots+a_{10}&=&24-a_1\\a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{10}^2&=&64-a_1^2\end{array}\right.\)
由科西不等式，可得
\(\displaystyle \left(a_2+a_3+\cdots+a_{10}\right)^2\leq\left(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{10}\right)\left(1^2+1^2+\cdots+1^2\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow \left(24-a_1\right)^2\leq9\left(64-a_1^2\right)\)
可解得 \(a_1\) 的範圍. 謝謝暐岳老師 此題的f(X)我算出來是f(x)=(3+2x^2)/x，跟老師你算的不太一樣??
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-13 09:04 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2031&ptid=935][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第七題
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc} 3f(x)-2f\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{5}{x}=0\\ 3f\left(\frac{1}{x}\right)-2f(x)-5x=0\end{array}\right.\)
兩式消去 ... [/quote]
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一時眼花，已修正，感謝您幫我抓出錯誤～ :D頁:
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