99 台中二中教甄
部分題目僅憑印象重新敘述，故與原始題目僅題意相同、但敘述不同。
如有記錯或疏漏，還請不吝告知。
5/10, 00:43 AM 新增計算題一題。
感謝 Kapa 老師提醒數據的錯誤，已修正！^__^
感謝 oscar 提醒數據錯誤，已修正！ ^__^
感謝 ptt 網友 moun9 提醒填充第一題敘述有漏，已修正！感謝。 ^__^
感謝 八神庵 提醒打字疏漏的地方！！ ^__^ 填充題
110.3.19補充
2.
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)為純虛數，求\(|\;z-i|\;\)之最大值。
(108新港藝術高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656[/url])
設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
(109嘉義高中代理，[url]https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html[/url])
8.
設\(a,b,c\)為三相異實數，已知\(a,b,c\)成等比數列，且\( log_a b \),\( log_b c \),\( log_c a \)成等差數列，試求上述等差數列的公差為何？
(高中數學101 P95，修訂版 P96)
(98松山高中，[url=https://math.pro/db/thread-827-1-1.html]https://math.pro/db/thread-827-1-1.html[/url])
(98政大附中，[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=555]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=555[/url])
計算題
2.已知H為△ABC的垂心，且\( \overline{AH}=l \)，\( \overline{BH}=m \)，\( \overline{CH}=n \)，三角形的三邊長\( \overline{BC}=a \)，\( \overline{AC}=b \)，\( \overline{AB}=c \)，試證\( \displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} \)。
(初中數學競賽教程P258)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
\( \displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} \)，R為外接圓半徑
2010.5.11
原本要請各位自行去查書找資料，想不到thepiano都幫各位準備好了
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3302[/url]
99中二中計算題:第1題的兩根範圍和小弟我記下來的有出入
計算1...二次方程式的兩根x1,x2,且-1<=x1<=1 , 1<=x2<=2 ....(還是需請各位前輩高手解題指導,謝謝!) 計算題，第 1 題
題目：
設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出 \(I\) 的圖形.
（ｂ）設 \(u=x-3y\)，其中 \(x,y\in I\)，求 \(u\) 之最大值與最小值.
解答：
（ａ）
依題意，可得
\(\left\{\begin{array}{ccc}\mbox{判別式}=a^2-4b\geq0\\ 0\leq a=x_1+x_2\leq3\\ -2\leq b=x_1x_2\leq 2\end{array}\right.\)
且若令 \(f(x)=x^2-ax+b\) ，則 \(y=f(x)\) 為開口向上拋物線
且 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸的兩交點分別落在 \(x\) 軸上的 \([-1,1]\) 與 \([1,2]\) 兩區間內各有一個，
\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}f(-1)&=&1+a+b\geq0\\ f(1)&=&1-a+b\leq0\\ f(2)&=&4-2a+b\geq0\end{array}\right.\)
以 \(a\) 為橫軸、\(b\) 為縱軸，畫出圖形所圍區域 \(\triangle ABC\) 即為 \(I.\)
[attach]1101[/attach]
（ｂ）線性規劃，用頂點法將 \(\triangle ABC\) 的三頂點帶入，可得 \(u\) 的最大值與最小值。
註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！ [font=Arial][align=left]填充第三題的題目似乎是
\(
z_1 + z_2 = - \cos \theta
\)
[/align]
[/font] 填充4. 我的做法
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0
由遞迴關係可以看出其他整數點不為0與其他非正數點不為0否則f為0函數
故f(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
因f(7)=2*7! 故 a=2.
填充6
排女生7!
選男生 $$H^8_9$$
排男生 25!
通通乘一起就是答案囉
計算5 算轉移矩陣吧
請問
請問填充 5,6 如何做 ? [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-10 11:25 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2015&ptid=934][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算題，第 1 題
題目：
設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出 ... [/quote]
不好意思,請問AB直線是否有畫錯? 第五題
過 \(\left(0,0\right)\) 恰有三相異直線與 \(y=x^3+ax^2+1\) 相切，則 \(a\) 之範圍為？
解答：
令 \(f(x)=x^3+ax^2+1\)，則
\(f'(x)=3x^2+2ax\) 且 \(f''(x)=6x+2a\)
\(y=f(x)\) 有水平切線的兩個點為 \((0,1)\) 及 \(\displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)\)
反曲點為 \(\displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)\)
case i: 當 \(a\leq0\) 時，
至多只有一條 \(y=f(x)\) 的切線會通過原點.
case ii: 當 \(a>0\) 時，
通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 \(y=f(x)\) 有三條切線通過原點.
所以，\(\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right)\) 在原點的下方，
\(\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)\)
\(\Rightarrow a>3.\)
由上二者，可得 \(a>3.\)
以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。
回復 1# weiye 的帖子
請教填充題第三題只有看出兩複數乘積為(cot )^2
接下來怎麼做呢，謝謝~ 填充第 3 題
題目：
已知 \(z_1,z_2\) 是複數，且 \(z_1+z_2=-\cos\theta, z_1^2+z_2^2=3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\)，其中 \(45^\circ\leq\theta\leq60^\circ\)，若 \(\left|z_1\right|\) 的最大值為 \(M\)，最小值為 \(m\)，則數對 \(\left(M,m\right)=?\)
解答：
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}z_1+z_2&=&-\cos\theta\mbox{...（1）}\\ z_1^2+z_2^2&=&3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\mbox{...（2）}\end{array}\right.\)
將（1）平方之後與（2）相減，可得 \(z_1z_2=\cot^2\theta.\)
所以，\(z_1\) 與 \(z_2\) 為實係數一元二次方程式 \(z^2+\cos\theta z+\cot^2\theta=0\) 的兩根，
因為其判別式\(=\cos^2\theta-4\cot^2\theta=\left(\cos^2\theta-\cot^2\theta\right)-3\cot^2\theta<0,\;\;\forall 45^\circ\leq\theta\leq60^\circ.\)
所以，\(z_1\) 與 \(z_2\) 為共軛複數，
因此 \(\left|z_1\right|^2=z_1\cdot z_2=\cot^2\theta\)
\(\Rightarrow \cot^2 60^\circ\leq\left|z_1\right|^2\leq \cot^2 45^\circ\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\leq\left|z_1\right|\leq1.\)
以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。
註：感謝 Ellipse 提醒小弟數字上的錯誤！感謝～ ^__^ 填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位討教! 填充第 1 題
設 \(ABCD\) 為正四面體，\(\triangle ABC\) 內部有一點 \(E\)，點 \(E\) 到 \(\triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA\) 距離之和為 \(m\)，
點 \(E\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 距離之和為 \(M\)，求 \(\displaystyle\frac{m}{M}.\)
解答：
設此正四面體任兩面夾角為 \(\theta\)，則 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{3}\) 且
\(\displaystyle\frac{\mbox{「E 到 ΔDAB 的距離」}}{\mbox{「E 到 AB稜線的距離」}}\)
\(\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDBC 的距離」}}{\mbox{「E 到 BC稜線的距離」}}\)
\(\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDCA 的距離」}}{\mbox{「E 到 CA稜線的距離」}}\)
\(=\sin\theta\)
\(\displaystyle=\frac{2\sqrt{2}}{3},\)
再用和比性質，可得所求亦為 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\) [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2010-7-1 04:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2344&ptid=934][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位 ... [/quote]
ABCD為正四面體，P為內部一點，那麼
ABCD可以分成PABC、PBCD、PACD、PABD四塊
計算體積可以得到結果 謝謝weiye老師對99桃園現職解答,我想請問各位老師計算題 4,和計算 5 的(a)答案是否為3/4 , (b)答案是否為150 ,(c)如何說明 ? 我是用轉移矩陣算的 , 還有計算題6的(c)如何算出 ? 謝謝 計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437[/url] 當中的第二題即是。
計算題第 5 題：
我的轉移矩陣是 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)
其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，
轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。
而初始矩陣 \(\displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\)
因為 \(\displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]\)
所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 \(\displaystyle \frac{127}{216}.\)
第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.\)
第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.\)
長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\)，
由 \(AP=P\)，可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\)，
所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.\)
計算題第 6 題. (c) 區間長度＝\(\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}\)，
所以只要取 \(\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}\)，即可保證區間長度絕對不會超過 \(e\). weiye老師,thepiano老師的解答,我有看過,我是不明白的有(1)定理一,兩個tan相乘等於(c-a)/(c+a),此定理如何導出,(2)中間一段lim(x0趨近無限大)y=...=b時,...PF1F2之內心軌跡為x=a(-b<y<b,y不等於0),這段為什麼知道內心軌跡為x=a,希望這兩個問題能幫忙解惑,謝謝
回復 17# kittyyaya 的帖子
(1)如圖，
[attach]995[/attach]
\(\displaystyle \frac{\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\tan\displaystyle \frac{\beta}{2} }=\frac{\tan ∠IF_1D}{\tan ∠IF_2D}\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{ID}{F_1D}}{\displaystyle \frac{ID}{F_2D}}\)
\(\displaystyle =\frac{F_2D}{F_1D}\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}}{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_1-PF_2}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{2c-2a}{2}}{\displaystyle \frac{2c+2a}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{c-a}{c+a}.\)
(2)
若 \(P\) 在右葉，可解出來 \(I\) 點滿足 \(x=a\)，且後方繼續推論得到 \(-b<y<b\)，
同理若 \(P\) 在左葉，可解出來 \(I\) 點滿足 \(x=-a\) 且 \(-b<y<b\)。
故，內心的軌跡是兩平行線段。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-7-2 12:17 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2345&ptid=934][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 1 題
設 \(ABCD\) 為正四面體，\(\triangle ABC\) 內部有一點 \(E\)，點 \(E\) 到 \(\triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA\) 距離之和為 \(m\)，
點 \(E\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) ... [/quote]
感謝weiye老師的解釋,請問weiye老師您這裡提到那兩個比是任二面的餘弦比,可是,E點是空間中一點,E點未在任何一個平面上,為何納兩個距離比就是任二面的夾角餘弦值呢?謝謝