Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 99中壢家商

chiang 發表於 2010-5-9 10:00

99中壢家商

昨天去考中壢家商
會寫的沒把握
不會寫的抄題目
果然不練功是不行的
附上檔案是我請教的題目
.....實在有點多!~~~~
不過還是必須拜託解惑

謝謝

bugmens 發表於 2010-5-9 10:37

2010.6.1補充
98研究用試卷已經移除了，換成99研究用試卷
h ttp://www.ceec.edu.tw/PaperForResearch/99ResearchPaper/99ResearchPaperIndex.htm　(連結已失效)
這裡可以下載91~99研究用試卷
h ttp://www.wretch.cc/blog/jay1324/16479683　(連結已失效)

102.2.20補充
連結已失效，我將檔案上傳到dropbox，並增加100,101研究用試卷
91-101歷屆研究用試卷.zip
h ttp://dl.dropbox.com/u/23455489/91-101%E6%AD%B7%E5%B1%86%E7%A0%94%E7%A9%B6%E7%94%A8%E8%A9%A6%E5%8D%B7.zip　(連結已失效)

103.7.13更新連結
91-103歷屆研究用試卷.zip　共117mb
h ttp://uploadingit.com/file/8t2qedf3y8r3za1l/91-101%E6%AD%B7%E5%B1%86%E7%A0%94%E7%A9%B6%E7%94%A8%E8%A9%A6%E5%8D%B7.zip　(連結已失效)

104.10.5更新連結
h ttps://www.dropbox.com/s/nfdk795891g4gv4/91-104%E6%AD%B7%E5%B1%86%E7%A0%94%E7%A9%B6%E7%94%A8%E8%A9%A6%E5%8D%B7.zip?dl=0　連結已失效

多重選擇題
1.設\( a=log_3 \pi \)，\( b=log_3 ( \pi+1) \)，\( c=log_3 ( \pi+2) \)，則下列哪些選項是正確的？
(A)\( a<b<c \)　(B)\( \displaystyle c<\frac{3}{2} \)　(C)\( a+c>2b \)　(D)\( b^2>ac \)
(98研究用試卷)

第2.3.4.題都出自95研究用試卷

填充題
2.已知實數x滿足\( log_3 x=1-cos \theta \)，則\( |x-1|+|x-9| \)的值為。
(初中數學競賽教程P134)

3.方程式\( x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45} \)所有實根的乘積為。
(1983AIME，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1983]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=45&year=1983[/url])

5.有七枚硬幣置於黑箱中，其中有一枚兩面都是人頭，一枚兩面都是字，其餘五枚一面是人頭一面是字；今將手伸入箱中抓出一枚硬幣，打開手掌發現一面是人頭，試問該枚硬幣另一面也是人頭的機率是。
(97研究用試卷)

6.同時丟擲四顆完全相同的骰子，出現的情形共有[u]　[/u]種。
(由於四顆骰子完全相同，我們只考慮每個點數出現的次數。例如四顆骰子分別出現(1,1,2,4)與(2,1,4,1)視為相同的情形，亦即只要有二個出現1，另外二個分別出現2和4，都視為和(1,1,2,4)相同，因為我們都只看到兩個1點，一個2點，一個4點。)
(95研究用試卷，附註是原本題目有的，只是出題老師拿掉了)

9.\( X \in R \)，定義高斯函數\( [\ x ]\ =max \{ m \in Z  |\ m \le x \} \)
若\( [\ x+0.19 ]\ +[\ x+0.20 ]\ +[\ x+0.21 ]\ +...+[\ x+0.91 ]\ =546 \)，則\( [\ 100x ]\ = \)？
(1991AIME，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1991]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=45&year=1991[/url])

若\( x \in R \)，定義\( [\ x ]\ \)為高斯函數，已知方程式\( [\ x+0.19 ]\ +[\ x+0.20 ]\ +[\ x+0.21 ]\ +...+[\ x+0.33 ]\ =115 \)，試問\( [\ 100x ]\ = \)？
(A)776　(B)677　(C)777　(D)876
(97台南縣國中聯招)

10.設△ABC為一等腰三角形，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，已知∠B的平分線交對邊\( \overline{AC} \)於D點，且\( \overline{BC}=\overline{BD}+\overline{DA} \)，則∠A是幾度。
(96斗南高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34927　連結已失效)

計算題
已知\( x+y+z=1 \)，\( x^2+y^2+z^2=2 \)，\( x^3+x^3+z^3=3 \)，試求\( x^4+x^4+z^4 \)。
(97文華高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781　連結已失效)
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式)
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076[/url]

wunwun 發表於 2010-5-16 08:59

請問一下第九題要怎麼算呢??謝謝^^

9.
\( X \in R \)，定義高斯函數\( [\ x ]\ =max \{ m \in Z  |\ m \le x \} \)
若\( [\ x+0.19 ]\ +[\ x+0.20 ]\ +[\ x+0.21 ]\ +...+[\ x+0.91 ]\ =546 \)，則\( [\ 100x ]\ = \)？

weiye 發表於 2010-5-16 20:13

[quote]原帖由 [i]wunwun[/i] 於 2010-5-16 08:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2042&ptid=932][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問一下第九題要怎麼算呢??謝謝^^ [/quote]


第 9 題.

設 \(x \in \mathbb{R}\)，定義高斯函數 \(\left[\ x \right]=\max \left\{m \in \mathbb{Z}  \Big| m \leq x \right\}.\)

若 \(\left[ x+0.19 \right] +\left[ x+0.20 \right] +\left[ x+0.21 \right] +\cdots+\left[ x+0.91 \right] =546 \)，則 \(\left[ 100x \right] =\) ？


解答：

先觀察一下，\(\left[ x+0.19 \right], \left[ x+0.20 \right], \left[ x+0.21 \right], \cdots, \left[ x+0.91 \right] \) 共 \(91-18=73\) 個數.

因為 \(0<\left(x+0.91\right)-\left(x+0.19\right)<1\)（即，最大數與最小數相差不到 \(1\)），

所以這 \(73\) 個取完高斯符號的整數至多只有兩種（某兩個連續的整數），



由於 \(546\div 73 = 7 \mbox{ 餘 } 35\)，

因此 \(\left[x+0.19\right],\left[x+0.20\right], \cdots, \left[x+0.56\right]\) 這前 \(73-35=38\) 個整數的值都是 \(7\)，

且  \(\left[x+0.57\right],\left[x+0.58\right], \cdots, \left[x+0.91\right]\)  這後 \(35\) 個整數的值都是 \(8.\)



故，\(x+0.56<8\) 且 \(x+0.57\geq 8\)，

\(\Rightarrow 8-0.57\leq x<8-0.56\)

\(\Rightarrow 7.43\leq x<7.44\)

\(\Rightarrow 743\leq 100x<744\)

\(\Rightarrow \left[100x\right]=743.\)

milkie1013 發表於 2010-5-19 19:14

想請教第五題

請問這題是條件機率嗎?
我的做法:

{ (1/7)*[(5/6)*(1/2)] +(5/7)*[(1/6 + (4/6)*(1/2) ]   }     /   [(1/7) + (5/7)*(1/2)]      = 5/7  

不過答案是 2/7

請問過程中哪個地方有錯呢?

謝謝解答!!

weiye 發表於 2010-5-19 19:55

填充第 5 題：

有七枚硬幣置於黑箱中的，其中有一枚兩面都是人頭，一枚兩面都是字，

其餘五枚一面是人頭一面是字；今將手伸入箱中抓出一枚硬幣，打開手掌

發現一面是人頭，試問該枚硬幣另一面也是人頭的機率是 ________。


解答：

我是直接思考，

而人頭面的情況有 7 種（且每一面被選到的機會都相等，都是\(\frac{1}{14}\)），

在上列的 7 種當中，另一面也是人頭的情況有 2 種。

所以，機率是 2/7.



或是，用條件機率來看

所求\(\displaystyle=\frac{出現人頭面且另一面也是人頭面的機率}{\mbox{出現人頭面的機率}}\frac{\displaystyle\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{2}+\frac{1}{7}\cdot\frac{0}{2}+\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{2}{7}\)

milkie1013 發表於 2010-5-19 20:28

而人頭面的情況有 7 種（且每一面被選到的機會都相等，都是 1/14 )

應該是6種耶?   因為有一個硬幣兩面都是字~

weiye 發表於 2010-5-19 20:30

[quote]原帖由 [i]milkie1013[/i] 於 2010-5-19 08:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2055&ptid=932][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
而人頭面的情況有 7 種（且每一面被選到的機會都相等，都是 1/14 )

應該是6種耶?   因為有一個硬幣兩面都是字~ [/quote]

我不是說硬幣，我是說〝面〞，

七個硬幣共有 14 個〝面〞，每一〝面〞被選到的機會都相等，

都是 1/14，

這 14 〝面〞當中，有 7 〝面〞是人頭〝面〞。

milkie1013 發表於 2010-5-20 00:08

了解了~~感謝您!!

kittyyaya 發表於 2010-9-27 16:08

麻煩各位老師,我想請問多選第一題,謝謝

weiye 發表於 2010-9-27 16:50

多選題第 1 題：設 \(\displaystyle a=\log_3\pi, b=\log_3(\pi+1), c=\log_3(\pi+2)\)，則下列哪些選項是正確的？

(A)　\(a<b<c\)　(B)　\(\displaystyle c<\frac{3}{2}\)　(C)　\(a+c>2b\)　(D)　\(\displaystyle b^2>ac\)


解答：

（Ａ）\(\pi+2>\pi+1>\pi>1\)

　　　\(\displaystyle \Rightarrow \log_3(\pi+2)\log_3(\pi+1)>\log_3\pi>\log_3 1\)

　　　\(\Rightarrow c>b>a>0\)

（Ｂ）\(\displaystyle \frac{3}{2}=\log_3 \sqrt{27}>\log_3 \sqrt{\left(\pi+2\right)^2}=\log_3\left(\pi+2\right).\)

（Ｃ）因為 \(\displaystyle \left(\pi+1\right)^2>\pi\left(\pi+1\right)\)，所以 \(2b>a+c.\)

（Ｄ）由（Ｃ）可得 \(\displaystyle 2b>a+c\Rightarrow b>\frac{a+c}{2}\)

　　　因為 \(a,c\) 都為正數，由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{a+c}{2}\geq\sqrt{ac}\)

　　　故，\(\displaystyle b>\sqrt{ac}\Rightarrow b^2>ac.\)

kittyyaya 發表於 2010-9-27 23:45

謝謝weiye老師,另外,選擇4的(c)選項,f(x)的反例是否可用f(x)=x,f ''(x)=0,但是沒有反曲點,請問可以這樣解釋嗎?謝謝

weiye 發表於 2010-9-28 07:37

多選第 4 題：（Ｃ）若 \(f''(c)=0\)，則點 \(\left(c,f(c\right))\) 為 \(y=f(x)\) 圖形的反曲點。

反例，我應該會舉 \(f(x)=x^4\)（圖形看起來比較直觀），

此函數的圖形一直都開口凹向上，因此沒有反曲點，但 \(f''(0)=0\)。

mandy 發表於 2011-4-3 17:27

請問填充2: 已知實數 \(x\) 滿足 \(\log_3 x=1-\cos\theta\)，則 \(\left|x-1\right|+\left|x-9\right|\) 的值為？

初中數學競賽教程P134無解答

weiye 發表於 2011-4-3 17:46

填充第 2 題：

已知實數 \(x\) 滿足 \(\log_3 x=1-\cos\theta\)，則 \(\left|x-1\right|+\left|x-9\right|\) 的值為？



解答：

\(-1 \leq \cos\theta\leq 1\)

\(\Rightarrow 0\leq 1-\cos\theta\leq2\)

\(\Rightarrow 1\leq 3^{1-\cos\theta}\leq 9\)

\(\Rightarrow 1\leq x\leq 9\)

\(\Rightarrow \left|x-1\right|+\left|x-9\right|=\left(x-1\right)+\left(9-x\right)=8\)

cally0119 發表於 2011-5-22 23:05

請問填充第四題?

cally0119 發表於 2011-5-22 23:14

另外選擇第4題除了判別式好像沒其他條件,且過點(-1,4)不小的如何用?

weiye 發表於 2011-5-23 00:00

填充第 4 題：

因為 \(\displaystyle- \cos 2\theta = -\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\frac{5\pi}{7},\)


所以

\(\cos 3\theta - \cos 2\theta +\cos\theta\)

\(=\cos\theta+\cos3\theta+\cos5\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(2\cos\theta\sin\theta+2\cos3\theta\sin\theta+2\cos5\theta\sin\theta\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(\left(\sin2\theta-\sin0\right)+\left(\sin4\theta-\sin2\theta\right)+\left(\sin6\theta-\sin4\theta\right)\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\cdot\sin6\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{7}}\cdot\sin\frac{6\pi}{7}\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2}\)

martinofncku 發表於 2013-2-12 15:52

第4題
請問（B）選項為什麼不對呢?

Ellipse 發表於 2013-2-12 20:55

[quote]原帖由 [i]martinofncku[/i] 於 2013-2-12 03:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7531&ptid=932][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第4題
請問（B）選項為什麼不對呢? [/quote]
f '(c)=0 ,不代表f(c)為局部極值
例如: f (x)=x^3 , f ' (0)= 0 ,但f (0) 並不是局部極值

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