99台中一中(部分題目)
煩請眾前輩高手欣賞 我再貢獻幾題我有記下的題目，並且把之前有人問的題目都放在一起，方便以後查詢：
※※ 題號接續上面的pdf 檔，非原始題號 ※※
第 4 題：（數據有改，方法相同）
若已知四面體四個面皆由全等的三角形構成 , 若此三角形三邊長為 \(17,16,10\)，求四面體體積 = ?
[url]https://math.pro/db/thread-927-1-1.html[/url]
第 6 題：（數據有改，方法相同）
\(\displaystyle \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin x\right)dx=\)？
[url]https://math.pro/db/thread-926-1-1.html[/url]
第 8 題：
給定雙曲線 \(\displaystyle \Gamma:\, \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1\) 與直線 \(L:\, 3x+4y=k\)，
若在 \(L\) 上存在唯一點 \(P\)，使得過 \(P\) 點對雙曲線恰可做兩條互相垂直的切線，求 \(P\) 點坐標。
第 9 題：
\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，
且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，
若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？
第 10 題：已知 \(\overline{PA}, \overline{PB}, \overline{PC}\) 是圓 \(O\) 的三弦，\(∠ APB=\alpha, ∠ BPC=\beta\)，
試證： \(\overline{PB}\sin\left(\alpha+\beta\right)=\overline{PC}\sin\alpha+\overline{PA}\sin\beta.\)
[align=center][img]http://i.imgur.com/VZeWq.jpg[/img][/align]
第 11 題：
若 \(2^n=a!+b!+c!\)，其中 \(n,a,b,c\) 為正整數 , 且 \(a\geq b\) ，\(b\geq c\) 則 \((a,b,c,n)\) 有幾組解 ?
[url]https://math.pro/db/thread-928-1-1.html[/url]
第 12 題：
在 \(2700\) 的正因數中 , 任取 \(3\) 個因數 \(a,b,c\)，則 \(a\) 是 \(b\) 的因數，\(b\) 是 \(c\) 的因數之機率 = ?
[url]https://math.pro/db/thread-925-1-1.html[/url] 請問第5 ,6,7,8,9 題怎麼做 ? 感恩 ! 第 6 題：
延續 [url]https://math.pro/db/thread-926-1-1.html[/url] 的結果，
可得
\(\displaystyle\int^{\pi}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)
\(\displaystyle=\int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx+\int^{\pi}_{\pi/2}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)
\(\displaystyle=2 \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)
\(\displaystyle=-\pi\ln2.\) 第 7 題：
如右圖之\(\Delta ABC\)中，點\(G\)在\(\overline{AB}\)上，\(\overline{AG}:\overline{GB}=2:1\)，點\(F\)在\(\overline{AC}\)上，\(\overline{AF}:\overline{FC}=1:2\)，點\(D\)、點\(E\)在\(\overline{BC}\)上，\(\overline{BD}:\overline{DE}:\overline{EC}=1:1:1\)，又\(\overline{GE}\)與\(\overline{DF}\)交於\(H\)點，求\(\overline{DH}:\overline{HF}=\)[u] [/u]。
[解答]
先觀察得 \(\overline{DF}//\overline{AB}\)，
然後由 \(\displaystyle \overline{DF} = \frac{2}{3}\overline{AB}\)
以及 \(\displaystyle \overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{BG} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\overline{AB}\)
可得，\(\displaystyle \overline{DH}:\overline{DF} = \frac{\overline{AB}}{6}:\frac{2}{3}\overline{AB}=1:4\)
113.5.12補充
在\(\Delta ABC\)中，已知點\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(\overline{BD}:\overline{DC}=1:3\)，點\(F\)與點\(G\)都在\(\overline{CA}\)上且\(\overline{CF}:\overline{FG}:\overline{GA}=1:1:2\)，點\(H\)在\(\overline{AB}\)上且\(\overline{AH}:\overline{HB}=1:2\)。若\(\overline{DG}\)與\(\overline{FH}\)交於\(P\)點，則\(\overline{FP}:\overline{PH}=\)[u] [/u]。
(113北一女中，[url]https://math.pro/db/thread-3828-1-1.html[/url]) 2.\( x,y,z \in R \)，若\( \Bigg\{\ \matrix{x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24} \)求\( x^2+y^2+z^2= \)？
(94高中數學能力競賽高屏區筆試二)
要將第一式代到第三式就可以得到xyz
4.如圖四面體，\( \overline{AB}=\overline{AD}=10 \)，\( \overline{BC}=\overline{AD}=17 \)，\( \overline{AC}=\overline{BD}=3 \sqrt{29} \)，求三角錐A-BCD的體積？
設邊長為a,b,c的三角形是銳角三角形。證明，存在一個四面體，其每組對稜都相等且分別等於a,b,c，並計算這個四面體的體積。
(高中數學競賽教程P263)
将边长分别为8、10、12的三角形的各边中点连接，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图，求这个四面体的体积。
(奥数教程 高二卷 第9讲 截面折叠合展开)
△ABC為邊長4,6,6的等腰三角形，其三邊中點分別為D、E、F，沿著中點連線DE、EF、FD摺上來，使A、B、C三點重疊在P點成為一個四面體P-DEF。試問此四面體的頂點P到底面DEF的高度為？
(92台灣師範大學推薦甄選入學指定項目甄試試題)
因為這題是等腰三角形，不用長方體的方法其實也能解出來
102.6.25補充
將邊長10,10,12三角形紙張，沿著三邊中點連線摺起形成一個四面體，試問此四面體體積為[u] [/u]。
(102木柵高工，[url]https://math.pro/db/thread-1662-1-1.html[/url])
110.8.23補充
有一個四面體\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=5\)，\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{41}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{34}\)，求此四面體的體積。
(102南港高中代理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1706&page=2#pid9043[/url])
110.5.25補充
已知一個等腰三角形\(ABC\)，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\)，今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\)，分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來，使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\)，則此四面體\(P-DEF\)的體積為[u] [/u]。
(110竹科實中，[url]https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html[/url])
100.10.6補充
若\( x>0 \)，則\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值為？
113.4.21補充
函數\(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+9}+\sqrt{2x^2-16x+(log_3x)^2-2x\cdot log_3x+4\cdot log_3x+40}\)的最小值為[u] [/u]。
(113文華高中，[url]https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html[/url]) 以下幾題僅將想法列出, 詳細做法可以自己試著做看看.
第八題 垂直切線軌跡為一定圓
第十題 托勒密定理. [size=3]第[font=Calibri]5[/font]題[/size]
[size=3]整理後可得 [font=Calibri]{x^2+[/font]（[font=Calibri]x-2[/font]）[font=Calibri]^2}^1/2 +{(x-7)^2+(x-(logx+1))^2}^1/2[/font] 的最小值[/size]
[size=3]即[font=Calibri]A(0,2)[/font]到[font=Calibri]P(x,x)[/font]的距離加上[font=Calibri]P(x,x)[/font]到[font=Calibri]Q(7, logx+1)[/font]的距離和之最小值[/size]
[size=3]畫圖可知（備註：ＰＱ線段必為水平線）[/size]
[size=3]當[font=Calibri]x=2[/font]時有最小值即（[font=Calibri]0,2)[/font]到（[font=Calibri]7,2)[/font]的距離[font=Calibri]=7[/font][/size]
[size=3][font=Calibri](ps:[/font]在這裡[font=Calibri]logx[/font]表示以[font=Calibri]2[/font]為底數[font=Calibri],x[/font]為真數之對數值[font=Calibri])[/font][/size]
[font=Calibri][size=3][/size][/font]
[size=3]第十題[/size]
[size=3]利用托勒密定理[/size]
[font=Calibri][size=3]PB*AC=PA*BC+PC*AB[/size][/font]
[size=3]同除[font=Calibri]2R,[/font]則[font=Calibri]PB*(AC/2R)=PA*(BC/2R)+PC*(AB/2R)[/font][/size]
[size=3]正弦定理可知[/size]
[font=Calibri][size=3]PB*sin(a+b)=PA*sinb+PC*sina[/size][/font]
[font=Calibri][size=3][/size][/font]
[[i] 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-7 09:01 AM 編輯 [/i]] [size=3]我還有印象一些比較基礎的題目[/size][size=10.5pt][font=Calibri],[/font][/size][size=3]大家參考一下[/size]
[size=3]PS:題號接續上面的討論，非原始題號[/size]
[font=Calibri][size=3][/size][/font]
[size=3]第[font=Calibri]13[/font]題[font=Calibri].[/font][/size]
[size=3]有[font=Calibri]7[/font]個人分成三組[font=Calibri],[/font]人數分別為[font=Calibri]3[/font]人[font=Calibri]3[/font]人[font=Calibri]1[/font]人[font=Calibri],[/font][/size]
[size=3]這[font=Calibri]7[/font]人要坐在[font=Calibri]12[/font]個空坐位上且同組的人一定要相鄰[font=Calibri],[/font][/size]
[size=3]不同組的人一定不能相鄰[font=Calibri],[/font]求有多少坐法[font=Calibri]([/font]數據不確定[font=Calibri])[/font][/size]
[font=Calibri][size=3][/size][/font]
[size=3]第[font=Calibri]14[/font]題[font=Calibri].[/font][/size]
[size=3][font=Calibri]f(x)=x^3+ax^2+bx+c[/font]已知[font=Calibri]lim(f(x)/(x+1))=3,[/font]且[font=Calibri]f(x)[/font]的圖形沒有極值[font=Calibri],[/font]求[font=Calibri]a[/font]的範圍[/size]
[font=Calibri][size=3][/size][/font]
[size=3]第[font=Calibri]15[/font]題[font=Calibri].[/font][/size]
[size=3]給定空間中四點[font=Calibri]A( )B( )C( )D( ) ([/font]數據忘了[font=Calibri])[/font][/size]
[size=3]若[font=Calibri]P[/font]為[font=Calibri]CD[/font]線段上之動點[/size]
[size=3]求三角形[font=Calibri]ABP[/font]面積最小時[font=Calibri]P[/font]點的坐標[/size]
[size=3][/size]
[size=3]第16題[/size]
[size=3]已知一地球儀的赤道長為??,[/size]
[size=3]A在東經??度且B在東經??度北緯60度,[/size]
[size=3]求AB在地球儀上的距離
[/size]
[size=3]
[/size]
[[i] 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-10 03:18 PM 編輯 [/i]]
請問如何求第9題 ?
請問如何求第9題 ? 第 9 題：\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，
且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，
若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？
以 \(P\) 為圓心，以 \(k,2k,3k\) 為半徑（其中 \(k\) 為任意正數）作同心圓，
在這三圓上分別取如上的三點 \(D, E, F\)，
自 \(D,E,F\) 分別做三圓的切線，
三切線分別交於 \(A,B,C\) 三點，
當 \(E,F\) 兩點固定不動，而 \(D\) 點稍微移動
可見 \(\overline{PA}\) 固定不變，然 \(\overline{PB},\, \overline{PC}\) 比列卻不固定。
所以.......... 是我原始題目有抄錯，或是哪裡有想錯嗎？
還是......題目有說 \(\triangle ABC\) 是正三角形？
如果有說是正三角形的話，則
不失一般性，可設 \(P\) 為圓點，
\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，
\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，
\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，
找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，
即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值.
回復 11# weiye 的帖子
我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。 [quote]原帖由 [i]fortheone[/i] 於 2010-5-21 07:40 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2067&ptid=929][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。 [/quote]
就是兩個不同的三角形，卻都滿足題意 \(\overline{PD}: \overline{PE}: \overline{PF}=1:2:3\)，
但兩個三角形的 \(PB^2: PC^2\) 非固定比例！
回復 13# weiye 的帖子
可是題目還有邊長的限制呀~不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^ [quote]原帖由 [i]fortheone[/i] 於 2010-5-21 08:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2069&ptid=929][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^ [/quote]
對耶，我完全漏看 \(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\) 這一句了，
真是眼拙！
那就 easy 了！！
因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，
假設將圖形縮放為 \(\overline{PD}=1.\)
可設 \(P\) 為原點，
\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，
\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，
\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，
找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，
即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值. [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-21 08:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2070&ptid=929][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
對耶，我完全漏看 \(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\) 這一句了，
真是眼拙！
那就 easy 了！！
因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，
假設將圖形縮放為 \(\overline{PD}=1.\)
可 ... [/quote]
用您的算法得比值為
\(1:\frac{30+9\sqrt{3}}{7}:\frac{15+6\sqrt{3}}{7}\)
供參考
感謝提供解法! [attach]251[/attach]
參考一下吧
不知道為何不能附加圖片檔
上面如果沒有顯示
就請移駕
連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!ozHXUsWHHh7UxM0Y2TXK_uEdXwGqCw--/photo?pid=4171 六月八日才公佈題目
六月二十五日才被我找到
雖然晚了,大家一起來動動腦吧! 話說第7題，由前面兩式可以得到
\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \)
然後就有對於奇數n
\( x^n+y^n+z^n=(x+y+z)^n \)
也就是就求題目所要的東西，前兩式已足夠。 感謝八神庵將題目找出來，否則學校拿掉公告，那就真的失傳了
1.一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有\( a_n \)種，若\( a_n=ka_{n-1}+ma_{n-2} \) \( (n \ge 3) \)，k，m為常數，求數對(k,m)=？
[提示]
\( a_n+a_{n-1}=4^{n-1} \)，\( \matrix{a_n+a_{n-1}=4^{n-1} \cr 4a_{n-1}+4a_{n-2}=4^{n-1}} \)，兩式相減得\( a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2} \)
101.4.29補充
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為\( P_n \)。求滿足\( \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} \)之最小n值。
(101台中一中，[url=https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html[/url])
10.給定雙曲線Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1 \)與直線L：\( 3x+4y=k \)，若在直線L上存在唯一的點P，使過P點對雙曲線可作二條互相垂直的切線，則P點座標=？
[提示]
[url=https://math.pro/db/thread-723-1-1.html]https://math.pro/db/thread-723-1-1.html[/url]
二條互相垂直的切線的交點軌跡為\( x^2+y^2=16 \)
當k=±20時有唯一的點P
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