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mandy 發表於 2010-5-5 00:51

請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.

2^n=a!+b!+c! , 若 n,a,b,c 為正整數 , 且a大於等於b , b大於等於c , 則 (n,a,b,c ) 有幾組解 ?  感恩 !

weiye 發表於 2010-5-5 09:20

我的做法是慢慢討論,不知有沒有人可以提供更快的做法呢?


我的做法:

\(2^n=a!+b!+c!\)

\(\displaystyle 2^n = c!\left(\frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\right)\)

因為 \(a\geq b\geq c\) 皆為正整數,

所以 \(\displaystyle \frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\) 為正整數

得 \(c! \Big| 2^n \Rightarrow c= 1 \mbox{ 或 } 2\)




若 \(c=1\),則 \(\displaystyle 2^n = c!\left(\frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\right)\Rightarrow  2^n=a!+b!+1\)

  \(\Rightarrow a! + b! = 2^n -1\) 為奇數

  若 \(a=1\),則因為 \(a\geq 1\),得 \(b=1\),則 \(a!+b!=2\) 為偶數,矛盾.

  若 \(a\geq 2\),則 \(a!\) 為偶數 \(\Rightarrow b = 1\),則 \(a! = 2^n-2 = 2\left(2^{n-1}-1\right)=2\times\mbox{奇數}\),得 \(a!\) 是 \(2\) 的倍數、非 \(4\) 的倍數

  \(\Rightarrow a=2 \mbox{ 或 } 3\),檢查 \(2! +1! +1! = 2^2\) 合,\(3!+1!+1! = 8=2^3\) 合。

若 \(c=2\),則 \(\displaystyle 2^n = 2!\left(\frac{a!}{2!} + \frac{b!}{2!} +1\right)\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \frac{a!}{2}+\frac{b!}{2}=2^{n-1}-1\)

  因為 \(2^n = a!+b!+c!\geq 1+1+1=3\),所以 \(n>1\),因此 \(2^{n-1} -1\) 為奇數

  因為 \(a\geq b\geq c=2\)

  若 \(a=2\),則 \(\displaystyle a=b=2 \Rightarrow \frac{a!}{2}+\frac{b!}{2} = 2\) 為偶數,矛盾

  若 \(a=3\),則 \(b=2 \mbox{ 或 } 3\),檢驗 \(3!+2!+2!=10,\, 3!+3!+2!=14\) 都不合

  若 \(a\geq 4\),則 \(\displaystyle \frac{a!}{2}\) 為偶數 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{b!}{2}\) 必為奇數,故 \(b= 2 \mbox{ 或 } 3\)

      若 \(b=2\),則 \(\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-2 = 2\left(2^{n-2}-1\right)\)

          \(\Rightarrow a! = 2^2 \left(2^{n-2}-1\right)\)

          若 \(n=2\),則 \(a!=4\) 無解

          若 \(n\geq 2\),則 \(a! = 4\times\mbox{奇數}\),得 \(a!\) 是 \(4\) 的倍數、非 \(8\) 的倍數

          但 \(a\geq4 \Rightarrow 4!\Big|a! \Rightarrow 24\Big| a!\) 矛盾

      若 \(b=3\),則 \(\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-4 = 2^2 \left(2^{n-3}-1\right)\)

          \(\Rightarrow a! = 2^3 \left(2^{n-3}-1\right)\)

          若 \(n=3\),則 \(a!=8\) 無解

          若 \(n\geq3\),則 \(a! = 8\times\mbox{奇數}\),得 \(a!\) 是 \(8\) 的倍數、非 \(16\) 的倍數

          \(\Rightarrow a=4 \mbox{ 或 } 5\),檢查 \(4!+3!+2!=2^5\) 合,\(5!+3!+2!=2^7\) 合。


因此 \((a,b,c,n) = (2,1,1,2), (3,1,1,3), (4,3,2,5), \mbox{ 或 } (5,3,2,7).\)


題目出處:99台中一中教甄

gonm 發表於 2012-4-27 10:25

重新整理您的作法,或許分類可以再簡單一點:
當c=1:
根據奇偶性,可知b為奇數,所以b=1
2^n-a!=2
所以a=2 or 3  (不能到4,否則左邊的2會太多)
帶回驗算

當c=2:
可知a,b皆為偶數,且
2^n-a!-b!=2
所以b=2 or 3 (不能到4,否則左邊的2會太多)
當b=2,可得到2^n-a!=4,但這是不可能的
(因為如果a=4,則左邊是8的倍數)
所以b=3,此時2^n-a!=8
所以a=4 or 5
帶回驗算

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