請問一題 : 因數與機率問題
在2700的正因數中 , 任取3個因數a,b,c , 則a是b的因數 , b是c的因數之機率 = ? 感恩 ! \(2700 = 2^2 \times 3^3 \times 5^2\)因為 \(a,b,c\) 都是 \(2700\) 的正因數，
所以，可令 \(a=2^{x_1}3^{y_1}5^{z_1},b=2^{x_2}3^{y_2}5^{z_2},c=2^{x_3}3^{y_3}5^{z_3}\)，
其中 \(x_1,x_2,x_3\in\left\{0,1,2\right\}\)，\(y_1,y_2,y_3\in\left\{0,1,2,3\right\}\)，\(z_1,z_2,z_3\in\left\{0,1,2\right\}\)
先來算題目要求之機率的分母＝（給你算，我不要算 :P）
再來算分子：
因為題目說 \(a\Big|b\)、\(b\Big|c\)，
所以 \(0\leq x_1\leq x_2\leq x_3\leq 2\)，\(0\leq y_1\leq y_2\leq y_3\leq 3\)，\(0\leq z_1\leq z_2\leq z_3\leq 2\)，
故題目要求之機率的分子為 \(H^4_2 \times H^4_3 \times H^4_2 = C^5_2 C^6_3 C^4_2 = 2000.\)
或是 \(H^3_3\times H^4_3 \times H^3_3=C^5_3 C^6_3 C^5_3 = 2000.\)
（最後那兩個式子，分別對應於下面這篇文章的兩個方法：
[url]https://math.pro/db/thread-63-1-1.html[/url]）
所以題目所求之機率 \(\displaystyle =\frac{2000}{3^3 4^3 3^3} = \frac{125}{2916}.\)
出處：99台中一中教甄 [quote]milkie1013 問到：
想請教您分母的部分為什麼不能用C(36,3)
而用36^3呢?
他不是說從所有正因數內中任取三個?
(這句話是不是就說明了三數相異?)
若是如此的話分子會不會也需要調整呢?
好疑惑喔@@ 麻煩老師您給我指點~~ 非常感謝!![/quote]
這是我個人對題意的語句解讀，
台中一中沒有公佈題目與答案，
所以我也無法由答案看出題意所指的 a,b,c 是相異與否。
^____^
如果題意是指 a,b,c 要相異，那又是另一個答案了。
分母＝\(C^{(2+1)(3+1)(2+1)}_3=7140.\)
分子＝ｎ（\(a\Big|b\) 且 \(b\Big|c\)）
－ｎ（\(a=b<c\) 且 \(b\Big|c\)）
－ｎ（\(a\Big|b\) 且 \(a<b=c\)）
－ｎ（\(a=b=c\)）
＝ \(H^3_3 H^4_3 H^3_3 - 2\left(H^3_2H^4_2H^3_2 - H^3_1 H^4_1 H^3_1\right) - H^3_1 H^4_1 H^3_1\)
＝ \(1316.\)
所求機率＝\(\displaystyle \frac{1316}{7140}=\frac{47}{255}.\)
註：感謝 milkie1013 與 blue 於此篇回覆的解法中（經短訊息）提醒我許多原本我想法上疏漏、錯誤的地方！現已修正！
（原本快速想法之後寫下的東西，果然很多疏漏、錯誤！囧rz～還好經提醒，現已修正！^__^ ）
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