Math Pro 數學補給站's Archiver

人真正的價值觀是要學習安心,
不要受外在環境的影響。

mandy 發表於 2010-5-4 22:14

請問一題 : 因數與機率問題

在2700的正因數中 , 任取3個因數a,b,c , 則a是b的因數 , b是c的因數之機率 = ?    感恩 !

weiye 發表於 2010-5-4 22:43

\(2700 = 2^2 \times 3^3 \times 5^2\)

因為 \(a,b,c\) 都是 \(2700\) 的正因數,

所以,可令 \(a=2^{x_1}3^{y_1}5^{z_1},b=2^{x_2}3^{y_2}5^{z_2},c=2^{x_3}3^{y_3}5^{z_3}\),

其中 \(x_1,x_2,x_3\in\left\{0,1,2\right\}\),\(y_1,y_2,y_3\in\left\{0,1,2,3\right\}\),\(z_1,z_2,z_3\in\left\{0,1,2\right\}\)

先來算題目要求之機率的分母=(給你算,我不要算 :P)

再來算分子:

因為題目說 \(a\Big|b\)、\(b\Big|c\),

所以 \(0\leq x_1\leq x_2\leq x_3\leq 2\),\(0\leq y_1\leq y_2\leq y_3\leq 3\),\(0\leq z_1\leq z_2\leq z_3\leq 2\),

故題目要求之機率的分子為 \(H^4_2 \times H^4_3 \times H^4_2 = C^5_2 C^6_3 C^4_2 = 2000.\)

          或是 \(H^3_3\times H^4_3 \times H^3_3=C^5_3 C^6_3 C^5_3 = 2000.\)

         (最後那兩個式子,分別對應於下面這篇文章的兩個方法:

          [url]https://math.pro/db/thread-63-1-1.html[/url])


所以題目所求之機率 \(\displaystyle =\frac{2000}{3^3 4^3 3^3} = \frac{125}{2916}.\)



出處:99台中一中教甄

weiye 發表於 2010-5-5 14:43

[quote]milkie1013 問到:

想請教您分母的部分為什麼不能用C(36,3)
而用36^3呢?
他不是說從所有正因數內中任取三個?
(這句話是不是就說明了三數相異?)
若是如此的話分子會不會也需要調整呢?
好疑惑喔@@     麻煩老師您給我指點~~  非常感謝!![/quote]




這是我個人對題意的語句解讀,

台中一中沒有公佈題目與答案,

所以我也無法由答案看出題意所指的 a,b,c 是相異與否。

^____^

如果題意是指 a,b,c 要相異,那又是另一個答案了。

分母=\(C^{(2+1)(3+1)(2+1)}_3=7140.\)

分子=n(\(a\Big|b\) 且 \(b\Big|c\))

    -n(\(a=b<c\) 且 \(b\Big|c\))

    -n(\(a\Big|b\) 且 \(a<b=c\))

    -n(\(a=b=c\))

  = \(H^3_3 H^4_3 H^3_3 - 2\left(H^3_2H^4_2H^3_2 - H^3_1 H^4_1 H^3_1\right) - H^3_1  H^4_1 H^3_1\)

  = \(1316.\)

所求機率=\(\displaystyle \frac{1316}{7140}=\frac{47}{255}.\)






註:感謝 milkie1013 與 blue 於此篇回覆的解法中(經短訊息)提醒我許多原本我想法上疏漏、錯誤的地方!現已修正!

  (原本快速想法之後寫下的東西,果然很多疏漏、錯誤!囧rz~還好經提醒,現已修正!^__^ )

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.