回復 19# weiye 的帖子
麻煩12.13.填充題的詳解感溫回復 21# nanpolend 的帖子
第 12 題：AAABBCCDEF共十個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有____種。前面 dream10 的回覆已經有寫了「[color=Red][b]12. 利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰[/b][/color]」
解答：
\(\displaystyle \frac{7!}{2!2!} \times C^8_3 - \frac{6!}{2!} \times C^7_3- \frac{6!}{2!} \times C^7_3 + 5!\times C^6_3 =47760.\)
第 13 題：由數字1000，1001，1002，、、、，一直寫到5678，問這些自然數中共有幾個數字含有“0” ___________
解答：
以下的 @ 表示 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中的數字，Δ 表示 1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中的數字，
則，形如 @@@[color=Blue][b]０[/b][/color] 的數字有 \((567-99)\) 個
形如 @@[color=Blue][b]０[/b][/color]Δ 的數字有 \((56-9)\times 9\) 個
形如 @[color=Blue][b]０[/b][/color]Δ Δ 的數字有 \(5\times 9\times 9\) 個
故共有， \((567-99)+(56-9)\times 9 + 5\times 9\times 9=1296\) 個。
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感溫回復 22# weiye 的帖子
麻煩瑋岳老師填充第七題的解法不太會
而且前面的公式也不會自行推導
再次麻煩
回復 24# nanpolend 的帖子
設某正四面體的邊長為 \(d\)，內部放入若干個大小相等的球，使得這些球排成的三角垛剛好會與各面相切，假設最底層是每邊個數有 \(n\) 個球，且正四面體邊長為 \(d\)
先取此正四面體的四個角落與四個角落內切球的一部分，
拼成剛好只有一顆內切球的迷你正四面體，
設此迷你正四面體的邊長為 \(a\)，則可求得內切球的半徑為 \(\displaystyle r= a\times\frac{\sqrt{6}}{12}\)
亦即 \(a = 2 \sqrt{6}\times r\)
單看一個邊～把那迷你正四面體那一顆球剖半，然後中間插入 \(n-1\) 顆球（當然某一個要剖半、左右各放半個），
變回～內部是最底層每邊有 \(n\) 個球的狀態，則
此大正四面體邊長就是 \(a + 2r\times\left(n-1\right)\)，也就是邊長是 \(2 \sqrt{6} \times r + 2r\times\left(n-1\right)\)
故 \(\displaystyle d = 2\sqrt{6}\times r+2r\left(n-1\right)) \Rightarrow r= \frac{d}{2\sqrt{6}+2(n-1)}\)
註一：抱歉，目前還不太會用電腦畫立體圖，以上只用文字敘述立體的圖形，可能還是會讓人感覺真的很霧沙沙～～～～ ＝＝
另外，雙週一題也出過類似的考題：[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2009f/4ans.pdf[/url]
註二：感謝 bugmens 幫忙製作 gif 動畫如附檔。
回復 25# weiye 的帖子
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共五層一共35個 關於第13題，我只會慢慢算:
1000~1999有271個
2000~2999有271個
3000~3999有271個
4000~4999有271個
5000~5099有100個
5100~5199有19個
5200~5299有19個
5300~5399有19個
5400~5499有19個
5500~5599有19個
5600~5609有10個
5610,20,30,40,50,60,70還有7個
一共271*4+100+19*5+10+7=1296
新進朋友加油!!好久沒看到銀英傳了。
回復 9# weiye 的帖子
想請問第3題為何是這樣算....@@...怎麼思考的...感恩回復 13# weiye 的帖子
請問一下..@@..那如果依照題意..答案??我的想法如下不知是否正確??!!
360=2^3*3^2*5^1
H^3_3*H^3_2*H^3_1.....這若題目出正整數
H^3_3*H^3_2*H^3_1*(1+C^3_2)..........為此題整數且又考慮順序..(全正+有2個為負)
回復 28# natureling 的帖子
因為矩陣乘法可以視同線性變換，在矩陣（Ａ）乘法的線性變換下，變換前後的面積會差 det(A) 倍。
更多細節可見線代課本，或網路搜尋（例如：[url]http://ccjou.twbbs.org/blog/?p=9728[/url]，或 [url]http://goo.gl/Rpdz0[/url]）。 想請教第二題計算
算到面積是
\(\displaystyle \sqrt{(1+cosa)^3(1-cosa)}\) 想請教如何求得<= \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-5 09:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1993&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427[/url]）
將之抄錄如下：
1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）
2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\) ... [/quote]
回復 31# natureling 的帖子
令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\)，則上述提問相當於～～～已知 \(p,q\) 為非負整數，且 \(p+q=2\)，試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)
證明提示：由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+q}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot q}\) 嗯嗯...感恩...算出來了.....卡在要先左右同時4次方,,,再開平方....
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-13 04:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5107&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\)，則上述提問相當於～～～
已知 \(p,q\) 為非負整數，且 \(p+q=2\)，試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)
證明提示：由算幾不等式，可得 ... [/quote] [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-24 03:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2085&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話，我也是算 \(32\) 種。
\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)
case i: \(x,y,z\) 三同，無。
case ii: \(x,y,z\) 兩同一異，有 ... [/quote]
請問\( (x,y,z) \)兩同一異為何是 \( C^3_1 \left(1+1\right) \left(1+1\right) = 12 \)呢？
另，再請問填充第9題要怎麼做呢？ [quote]原帖由 [i]Joy091[/i] 於 2011-4-25 12:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2958&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!
公式可利用恆等式 \( \displaystyle 1+x+x^2+...+ ... [/quote]
不好意思~我還是不知道該怎麼代入公式@@" n該代多少?
若n=4時 可得到 sin20sin40sin60sin80 (度省略)
那還有剩下的sin10sin30sin50sin70 該怎麼辦??
回復 35# dennisal2000 的帖子
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=2#pid2958]#18[/url] 中， \( \sin \) 連乘積公式中的 \( 2n+1 \) 其實是不必要的改成任意正整數 \( n \)，都可用一樣的方法都可以推出
\( \sin \frac{\pi}{n} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} \cdots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} \)
另外 \( 2n+1 \) 是出現在 \( \cos \) 連乘積的公式，不然有了 \( \cos \frac{\pi}{2} =0 \) 就直接等於 0 無聊了 [size=3]計算題[/size]
[size=3]2. 橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 內接梯形 ABCD，已知 A(5,0)、B(−5,0) 且 AB // CD，求梯形 ABCD 之最大面積為何？[/size]
[size=3][/size]
[size=3]這題如果用填充形式出題，或可如此推導:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 是由圓 x²/25 + y²/25 = 1 依 y 軸方向壓縮 4/5 而成，這個比例也適用其內接圖形面積。[/size]
[size=3]現考慮 x²/25 + y²/25 = 1 內接梯形 ABC'D' 之最大面積 -- 容易猜到即 BC'=C'D'=D'A 時，[/size]
[size=3][/size]
[size=3]則所求 = (√3/4)*25*3*(4/5) = [color=blue]15√3[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]上述即最大面積的理由如下:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]把 ABC'D' 以 AB 為軸作對稱圖形(得一六邊形)，則當 BC'=C'D'=D'A 時有最大周長 (由 y=sinx 的凹性與 Jensen 不等式) 與(定周長時)最大的圍面積方式(形成正六邊形)。[/size]
[size=3]依上述構想，若本題更一般地求四邊形 (不要求梯形)[/size] [size=3]ABCD 之最大面積 (A，B 是長軸兩端點)，則答案依然是 15√3。[/size]
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