99文華高中
試題及答案，於附件。以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 78分
100,90,90,85,80,80,80,78,78(同分)
其他
70~75分 12人
60~69分 14人
50~59分 18人
40~49分 18人
30~39分 21人
20~29分 15人
10~19分 7人
0~ 9分 1人
缺考 8人
共計 123 人 6.試求無窮級數\( \displaystyle 1-\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}+... \)之和
[提示]
泰勒展開式
\( \displaystyle cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}... \)
7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑
[類似問題]
稜長6的正四面體，裡面要放20個大小一樣的球，求球之最大半徑
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657[/url]
在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為？
(97中二中，[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807[/url])
撞球檯上有15個大小全等的紅色球，平放在桌上，使得它們正好擠在一個等邊三角框內，該框的內周長是876公分，則每個紅球的半徑是多少公分？
(A)\( \displaystyle \frac{73}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{146}{4+\sqrt{3}} \) (C)\( \displaystyle \frac{146}{2+\sqrt{3}} \) (D)\( \displaystyle \frac{146}{3+\sqrt{3}} \)
(94台南縣國中聯招)
11.設有一階梯共有100階，每次只能走2階或3階，若走到第n階的方法數為\( A_n \)，其中n為正整數，求\( A_{15} \)
[解答]
\( A_n=A_{n-2}+A_{n-3} \)
\( \matrix{A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} & A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15} \cr 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 9 & 12 & 16 & 21 & 28} \)
計算題
1.求\( xyz=360 \)有幾組整數解？
類似題目
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32 (B)36 (C)40 (D)43 (E)45
(1995AMC12)
假設a,b,c為相異正整數，則滿足abc=2310之集合S={a,b,c}有幾個？
(高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中)
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49736]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49736[/url]
101.4.29補充
正整數a,b,c滿足\( a \dot b \dot c=420 \)，考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \)，問集合S的所有可能有幾種。
(101台中一中，[url]https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html[/url]) 7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑
這些放入的球會堆成三角垛，假設最底層是個數\(n\)的三角形，正四面體邊長為\(d\)，則
\[
r=\frac{d}{2(n-1)+2\sqrt{6}}
\]
105.12.24版主補充
一個稜長(邊長)為1的正四面體內，放入20個全等的球，試求球的最大半徑[u] [/u]。
(91北一女競試)
在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為[u] [/u]。
(97中二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2414[/url])
利用SketchUp動態物件做成可調整球個數的三角垛，在功能表"視窗/元件選項"填入每個邊有幾個球，輸入後就會調整對應的三角垛。
請教填充題第十五題
可以請教一下填充第15題如何下手?另，有人知知道計算題題型嗎? 填充第 15 題： \(p\) 為不小於 \(3\) 的質數，則位於雙曲線 \(x^2-y^2=p^2\) 上的格子點有多少個？
解答：
\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=p^2\)
若 \(x,y\) 都為整數，則 \(x+y\) 與 \(x-y\) 亦都為整數。
[table=80%][tr][td] \(x+y\)[/td][td]\(1\)[/td][td] \(p^2\)[/td][td] \(-1\)[/td][td] \(-p^2\)[/td][td] \(p\)[/td][td] \(-p\)[/td][/tr][tr][td]\(x-y\)[/td][td] \(p^2\)[/td][td] \(1\)[/td][td] \(-p^2\)[/td][td] \(-1\)[/td][td] \(p\)[/td][td] \(-p\)[/td][/tr][/table]
因為上表中的數字都是奇數，所以
\(\displaystyle x=\frac{\left(x+y\right)+\left(x-y\right)}{2}, y=\frac{\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{2}\) 皆為整數，
故，共有六組解。 請問文華高中第1,10,12,14 題如何做 ? 感恩 ! 第 1 題：
\(\triangle ABC\) 中﹐已知 \(\overline{AB}= 4﹐\overline{BC}= 5﹐\overline{CA}= 6\)，\(\triangle ABC\) 內部一點 \(P\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 的距離分別為 \(h_1﹐h_2﹐h_3\)，則 \(h_1^2 + h_2^2 + h_3^2\) 的最小值為___________。
解答：
三角形面積＝\(\displaystyle \frac{1}{2}\times4\times h_1+\frac{1}{2}\times5\times h_2+\frac{1}{2}\times6\times h_4=\sqrt{\left(\frac{4+5+6}{2}\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-4\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-5\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-6\right)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4h_1+5h_2+6h_3 = \frac{15\sqrt{7}}{2}\)
由柯西不等式，
\(\left(4^2+5^2+6^2\right)\left(h_1^2+h_2^2+h_3^2\right)\geq \left(4h_1+5h_2+6h_3\right)^2\)
可得 \(h_1^2+h_2^2+h_3^2\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{\left(\frac{15\sqrt{7}}{2}\right)^2}{4^2+5^2+6^2}=\frac{225}{44}\).
112.6.8
若\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{AC}=6\)、\(\overline{BC}=7\)，且\(P\)為三邊上或其內部的任一點，則點\(P\)到三頂點距平方和\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值時，\(\overline{PA}^2=\)[u] [/u]。
(112新竹女中代理，[url]https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html[/url])
第 10 題：
已知 \(x+2y+3z=14,x^2+y^2+z^2=196\)，\(x,y,z\in \mathbb{R}\)，求 \(z\) 之最大值為？
解答：
利用科西不等式
\(\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(x+2y\right)^2\)
可得
\(5\left(196-z^2\right)\geq\left(14-3z\right)^2\)
\(\Rightarrow z^2-6z-56\leq0\)
\(\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}\)
故，\(z\) 的最大值為 \(3+\sqrt{65}.\)
第 14 題：
設 \(f(x)=x^2+ax+b\)，若\(f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right)\) 的解為 \(-2<x<-1\) 或 \(4<x<5\)，則序對\(\left(a, b\right)=\)？
解答：
\(f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0\)
同義於
\(\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0\)
\(\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0\)
兩者因為首項係數相同，所以比較係數可得
\(a=-3,\, b=-5.\) 12.
利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰
14. 把她展開比較係數就得到囉
我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積
謝謝 [quote]原帖由 [i]dream10[/i] 於 2010-5-5 09:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1992&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積
謝謝 ... [/quote]
剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427[/url]）
將之抄錄如下：
1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）
2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 內接梯形 \(ABCD\)，已知 \(A(5,0)\)、\(B(-5,0)\) 且 \(\overline{AB}//\overline{CD}\)，
求梯形 \(ABCD\) 之最大面積為何？（10分）
3.空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc} 0&\le& x+2y &\le& 4\\ -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)所圍成的平行六面體體積是多少？（5分）
解答：
令 \(\left\{\begin{array}{ccc}u&=&x+2y\\ v&=&x-3y+z\\ w&=&x+3y-2z\end{array}\right.\)
且設 \(\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 & 0 \\
1 & { - 3} & 1 \\
1 & 3 & -2 \\
\end{array}} \right]\)，則 \(\left[\begin{array}{c}u\\v\\w\end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\)
則 \(u,v,w\) 所圍的平行六面體體積＝\(\left|det(A)\right|\times\) \(x,y,z\) 所圍的平行六面體體積
\(\Leftrightarrow 4\times 4\times 6 = 9\times\mbox{所求體積}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \mbox{所求體積} = \frac{32}{3}.\)
註：感謝 dream10 於後方回覆幫我抓出眼花的數字錯誤！已修正！感謝！ ^___^
112.6.8
設空間中\( P(x,y,z) \)滿足不等式\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} \)，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
(102新化高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038[/url])
空間中6個平面\(E_1\)：\(2x+y+z=0\)、\(E_2\)：\(2x+y+z=4\)、\(E_3\)：\(x+2y+z=0\)、\(E_4\)：\(x+2y+z=4\)、\(E_5\)：\(x+y+2z=0\)、\(E_6\)：\(x+y+2z=4\)所圍成的平行六面體體積為[u] [/u]。
(112新竹女中代理，[url]https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html[/url]) 哇~~太厲害囉~~
原來這麼簡單唷~~~
謝謝唷~~感恩您
PS:大大您寫錯一個數字w=>1 ,3 , [color=Red]-2[/color]
回復 5# weiye 的帖子
家裡網路掛點結果現在才上線
感謝幫我解題 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-5-5 09:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1993&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）
... [/quote]
請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同
（ 2,2,90）（2, 90,2）(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解? 謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結＠＠ [quote]原帖由 [i]jisam[/i] 於 2010-5-24 12:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2084&ptid=924][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同
（ 2,2,90）（2, 90,2）(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解? 謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結＠＠ ... [/quote]
不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話，我也是算 \(32\) 種。
\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)
case i: \(x,y,z\) 三同，無。
case ii: \(x,y,z\) 兩同一異，有 \(C^3_1 \left(1+1\right)\left(1+1\right)=12\) 種.
case ii: \(x,y,z\) 三異，有 \(H^3_3 H^3_2 H^3_1-12 = 168\) 種.
所以，如果不考慮 \(x,y,z\) 的順序性，有 \(\displaystyle\frac{12}{3}+\frac{168}{3!}=4+28=32\) 種. [color=#000000]謝謝weiye老師的指教^_^[/color]
回復 1# bugmens 的帖子
請教一下填充第二題的詳解 很急這禮拜要去考回復 15# nanpolend 的帖子
(-4,5) 對 x 軸的對稱點為 (-4,-5)題目相當於要求 過 (-4,-5) 且與圓相切之直線
因為圓已經穿過 x 軸，所以只要求斜率較大的那一條切線
假設切線為 \( \displaystyle y-2=m(x-2)\pm\sqrt{5m^2+5}\)
(-4,-5) 帶入後化簡可得 \( \displaystyle 31m^2-84m+44=0\)
\( \displaystyle (31m-22)(m-2)=0\)
得到m=2
所以題目所求為：斜率=-2，且過 (-4,5) 的直線
回復 16# Joy091 的帖子
感溫還有第四題三角解不出
回復 17# nanpolend 的帖子
[size=2][font=仿宋_GB2312]先將原式化成 sin 的連乘再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!
[/font][/size]
[size=2][font=仿宋_GB2312]
[/font][font=新細明體][font=仿宋_GB2312]公式可利用恆等式[/font][/font][/size][size=2][font=仿宋_GB2312][font=Helvetica] \( \displaystyle 1+x+x^2+...+x^{2n}=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{2n})\)
[/font][font=新細明體]推導出來[/font][/font]
[font=仿宋_GB2312][font=新細明體]其中[/font][font=Helvetica] \( \displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\) 為 1 的 2n+1 次方根[/font][/font][/size][size=2]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font][/size]
[size=2]
[font=仿宋_GB2312][font=新細明體]過程摘要如下：[/font][/font][/size]
[size=2][font=仿宋_GB2312][font=新細明體][/font][font=Helvetica][/font][/font]
[font=仿宋_GB2312][font=新細明體]令[/font][font=Helvetica] x = 1[/font][font=新細明體]，可以得到[/font][/font][/size]
[size=2][font=仿宋_GB2312][font=新細明體][/font][font=Helvetica][/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312]\( \displaystyle 2n+1=(1-\cos\frac{2\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2\pi}{2n+1})(1-\cos\frac{4\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4\pi}{2n+1})…(1-\cos\frac{4n\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4n\pi}{2n+1})\)[/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312]\( \displaystyle =(2\sin^2\frac{\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{\pi}{2n+1})(2\sin^2\frac{2\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1})…(2\sin^2\frac{2n\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{2n+1})\)[/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312]\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}(\frac{1}{i})^{2n}(\cos\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1}+i\sin\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1})\)[/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312]\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\)[/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312]\( \displaystyle =2^{2n}(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1})^2\)[/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font]
[font=仿宋_GB2312][font=新細明體]最後再兩邊開根號就得到公式了[/font][font=Helvetica]![/font][/font]
[font=Helvetica][font=仿宋_GB2312][/font][/font][/size] 我來一個另解好了，
填充第 4 題：\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ=?\)
解答：
\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ\)
\(\displaystyle= \Bigg(\cos\left(60^\circ-10^\circ\right)\cos 10^\circ \cos\left(60^\circ+10^\circ\right)\Bigg)
\Bigg(\cos\left(60^\circ-20^\circ\right)\cos 20^\circ \cos\left(60^\circ+20^\circ\right)\Bigg)
\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)
\(\displaystyle=\left(\frac{1}{4}\cos30^\circ\right)\left(\frac{1}{4}\cos60^\circ\right)\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)
\(\displaystyle= \frac{3}{256}.\)
註：感謝 Joy091 提醒我的數字打錯！:P
回復 19# weiye 的帖子
竟然是用三倍角公式 : D謝謝瑋岳老師!
ps. 最後的答案有打錯，應為 3/256
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