台大資工甄選入學指定項目考試
這份考古題大概在2,3月的時候在PTT數學版和高中版就會開始討論但有些題目實在是太古怪了,每年都拿出來討論卻總是得不到個答案
我將手邊的資料放出來提供考生參考
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1} \)=？
\( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100} \)除以100的餘數為？
求\( e^\pi \)與\( \pi^e \)的大小關係？
利用\( \displaystyle f(x)=\frac{ln(x)}{x} \)當x>e時單調遞減
T={(x,y)|\(x,y \in N,x<1000, x^2-2y^2=1 \)}，求T之元素個數
可以用Google搜尋"pell方程式",可以找到公式
前幾組解(3,2)，(17,12)，(99,70)，(577,408)，(3363,2378)，(19601,13860)...
答案4個
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(cos \frac{x}{2}cos \frac{x}{4}...cos \frac{x}{2^n}) \)=？
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935[/url]
求\( \displaystyle \frac{10^{10000}}{10^{100}+7} \)被100除的餘數？([]為高斯符號)
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708[/url]
已知\( x,y,z \ge 0 \)，\( x^2+y^2+z^2=1 \)，求\( \displaystyle \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy} \)的最大值？
[url=http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1008042902094]http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1008042902094[/url]
連老王都發問了! 103臺大資工申請入學第二階段筆試試題
[url]http://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1396156101.A.6E9.html[/url]
更早的試題解答可以來這裡找－老王的夢田
[url]http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/category/217243[/url] 前陣子 學生在問
所以也解了一下
已知\( x,y,z \ge 0 \)，\( x^2+y^2+z^2=1 \)，求\( \displaystyle \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy} \)的最大值？
請參考附件
回復 1# bugmens 的帖子
[b]題目[/b] \( \displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1} \)[b]解[/b] 令 \( x_{n}=4^{2^{n}} \)，利用 \( \displaystyle \frac{x_{n}}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n}-1} \), \( \frac{1}{x_{n}-1}=\frac{1}{x_{n-1}^{2}-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n-1}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n-1}-1} \)，可得以下：
\(\displaystyle \frac{4^{1}}{4^{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{1}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{2}}{4^{4}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{4}}{4^{8}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{4}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{3}}{4^{16}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{8}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4^{4}+1}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4-1} \)
...
斜的加，從左上往右下加，把每一條斜線加總可得
\( \displaystyle \sum\limits _{n=1}^{m}\frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1}=\frac{1}{2^{m+1}}\sum\limits _{n=1}^{m}\left(\frac{2^{n}}{4^{2^{n-1}}+1}\right)+\frac{2^{m}-1}{2^{m}}\cdot\frac{1}{3}\to\frac{1}{3} \)
[b]題目[/b]：\( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100} \) 除以 100 的餘數，這題應該加上高斯符號
[b]解[/b] \( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50} \)。
令 \( x_{n}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}+(50-6\sqrt{69})^{50} \)，則 \( x_{n+2}=100x_{n+1}-16x_{n}
\Rightarrow x_{50}\equiv x_{0}\cdot(-16)^{25}\equiv-2^{101} (Mod 100) \)。
\( \phi(25)=20 \Rightarrow x_{50}\equiv-2 (Mod 25), x_{50}\equiv0 (Mod 4) \)，故 \( x_{50}\equiv48 (Mod 100) \)。
注意 \( 0<(50-6\sqrt{69})^{50}<1 \)，故 \( x_{50}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}+(50-6\sqrt{69})^{50}=\left[\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}\right]+1 \)。
因此 \( \left[(\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}\right]\equiv47 (Mod 100) \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-13 11:14 PM 編輯 [/i]]
台大資工105二階筆試B部分
可以請問大家第4~6還有第8題的解法嗎說實在都是一些沒看過的@@
謝謝大家~~
回復 1# 李昶毅 的帖子
B4. 先把奇數項的負號改成正，再減去兩個奇數項改正的部分和原偶數項裂項相消，
減去兩個奇數項的部分，也是裂項，但不相消變成 \( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots \) 會變成 \( \arctan x \) 的Maclaurin series 代入 \( x=1 \)
\( \begin{aligned}\sum\frac{(-1)^{k}}{4k^{2}-1} & =\sum\frac{1}{4k^{2}-1}-2\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{1}{4k^{2}-1}\\
& =\frac{1}{2}\sum\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\
& =\frac{1}{2}-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{2}-\tan^{-1}1=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}
\end{aligned} \) 後面那一項是不是大學才會學到阿@@
好像不是我目前能力所及QQ
回復 1# 李昶毅 的帖子
B6. 感覺抄錯題目了按上面的題目，移項提出 a-c，再用正弦定理、三角不等式可得 a-c=0
變成等腰三角形 a=c，無法求得角 C
回復 1# 李昶毅 的帖子
B5. 有類似題...分解，配對，算幾
注意 \( a^2+ab+ac+bc = (a+b)(a+c) \)
及 \( 3a+b+2c = (a+b) + 2(a+c)\)
由算幾不等式有 \( \frac{3a+b+2c}{2}=\frac{(a+b)+(2a+2c)}{2}\geq\sqrt{2(a+b)(a+c)}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}=\sqrt{10}+\sqrt{2} \)
故 \( 3a+b+2c \geq 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} \) (等號我懶得驗了...)
回復 4# tsusy 的帖子
B6應是\((a-c)\left( \sin A+\sin C \right)=\left( a-b \right)\sin B\)
回復 6# thepiano 的帖子
B6. 那就正弦定理，把三個正弦換成邊長，移項再同除以 ab 得\( \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}\Rightarrow\angle C=60^{\circ} \)
*************眼殘，下面兩行可以當作沒看到*************
\( \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos\frac{A-B}{2} \)
當 \( \angle A=\angle B=60^{\circ} \) 時 \( \sin A + \sin B \) 達最大值 \( \sqrt{3} \)
*************眼殘，上面兩行可以當作沒看到*************
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2017-3-12 22:33 編輯 [/i]]
回復 1# 李昶毅 的帖子
B8題目要寫清楚
過\(P\left( 1,3 \right)\)的直線與圓\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)交於\(A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)、\(B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)兩點
過\(A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)和\(B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)分別作圓的切線，兩切線交於\(Q\left( a,b \right)\)
直線\(AQ\)的方程式為\({{x}_{1}}x+{{y}_{1}}y=4\)
直線\(BQ\)的方程式為\({{x}_{2}}x+{{y}_{2}}y=4\)
\(\left\{ \begin{align}
& a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}=4 \\
& a{{x}_{2}}+b{{y}_{2}}=4 \\
\end{align} \right.\)
直線\(AB\)的方程式為\(ax+by=4\)
又\(P\left( 1,3 \right)\)在\(ax+by=4\)上，\(a+3b=4\)
故\(Q\left( a,b \right)\)的軌跡方程式為\(x+3y=4\)
回復 7# tsusy 的帖子
寸絲兄，您看錯題目，是要求\(\sin A\sin B\)的最大值回復 9# thepiano 的帖子
眼殘了，不過做法沒差多少\( \sin A \sin B = - \frac12 \left( \cos (A+B) - \cos (A-B) \right) \)
\( = \frac12 \cos (A-B) + \frac14 \leq \frac 34 \)
當 \( \angle A = \angle B = 60^\circ \) 達最大值 \( \frac 34 \) A.5 [0,0,0,1,0]
[0,1,0,0,0]
[0,0,0,0,1]
[0,0,1,0,0]
[1,0,0,0,0] 可以再請教一下各位先進A部分第4、6、8、10題的作法嗎？謝謝大家!!! A10. x>=1時 f2(x)=0 , x<1 時 f2(x)=(x-1)^2 , 畫出兩函數圖,易知 0<=x<=1 即為所求 A8. M1^(-1)=[1,0,0,0] ANS= [1,0,0,0]
[2,1,0,0] [2,1,0,0]
[3,0,1,0] => [3,2,1,0]
[4,0,0,1] [4,3,2,1]
回復 14# laylay 的帖子
M1[V1] = [ V1][V2] [-2V1+V2]
[V3] [-3V1+V3]
[V4] [-4V1+V4] , 可知 M1 就是矩陣列運算,因此本題先做三個逆列運算,再做兩個列運算便可
回復 12# 李昶毅 的帖子
A6\(\begin{align}
& n{{a}_{n}}={{n}^{3}}+3n+1-\left[ {{\left( n-1 \right)}^{3}}+3\left( n-1 \right)+1 \right] \\
& {{a}_{n}}=3n-3+\frac{4}{n}\quad \left( n\ge 2 \right) \\
\end{align}\)
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