證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列
求證數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。先分析一下
題目要求證，對任意正整數 \(n\geq 3\)，恆有
\(\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \Leftrightarrow \ln\left( n^{\frac{1}{n}}\right)>\ln\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{n}\cdot \ln\left(n\right) > \frac{1}{n+1} \ln\left(n+1\right)\)
證明：
令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(x\right)}{x}\)，則
\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln\left(x\right)\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2}\)
因此對任意 \(x>e\)，恆有 \(f'(x)<0\)，
所以 \(f(x)\) 在 \(x>e\) 時為遞減函數，
故 \(f(3)>f(4)>f(5)>\cdots\)，
亦即數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。
相似的練習題：（來源出處：[url=http://math1.ck.tp.edu.tw/%E6%9E%97%E4%BF%A1%E5%AE%89/%E5%AD%B8%E8%A1%93%E7%A0%94%E7%A9%B6/%E4%B8%80%E8%88%AC%E8%AA%B2%E7%A8%8B/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E6%8C%87%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%9A%84%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86.pdf]林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分[/url]）
例題 5.
(1) 若 \(x>0\)，試証 \(\displaystyle \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}\) 。
(2) 當 \(x>0\) 時，試討論 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 的增減情形。
(3) 若 \(0<a<b\)，試比較 \(\displaystyle \left(1+a\right)^b\) 與 \(\displaystyle \left(1+b\right)^a\) 之大小。
另外，其綜合練習部分也有類題。 不好意思，想請教一下第三小題， 0<a<b，試比較 (1+a)^b 與 (1+b)^a 之大小。
要怎麼說明?想仿照前兩題的寫法，但是寫不太出來。
謝謝
回復 2# best2218 的帖子
第三小題要 "利用" 第二小題的結果，不是 "仿照" 前兩小題的方法。
由第二小題「結果」，可知當 \(x>0\) 時，\(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 為嚴格遞減函數。
即當 \(0<a<b\) 時，恆有 \(\displaystyle \frac{\ln\left(1+a\right)}{a}>\frac{\ln\left(1+b\right)}{b}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow b\ln\left(1+a\right)>a\ln\left(1+b\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \ln\left(1+a\right)^b>\ln\left(1+b\right)^a\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(1+a\right)^b>\left(1+b\right)^a\) 我知道了，謝謝!
自己的腦筋太死了
回復 1# weiye 的帖子
請問老師關於類似的練習題(1)
目前只想到利用x>0時，\( \frac{1}{1+x} > \frac{1}{(1+x)^{2}} \)
故\( \int_ \frac{1}{1+x} dx > \int_ \frac{1}{(1+x)^2} dx \)
得\( ln(1+x)> \frac{x}{(1+x)} \)
這樣的作法對嗎?有沒有更直觀的方法?
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-9 12:01 PM 編輯 [/i]]
回復 5# CyberCat 的帖子
左邊大於右邊，不表示積分後左邊也會大於右邊。-------------------------------------------------------------
令 \(\displaystyle g(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}\)，則 \(\displaystyle g '(x) = \frac{x}{\left(1+x\right)^2}\)
\(\Rightarrow g '(x)>0, \forall x>0\)， 且 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 處連續，
\(\Rightarrow g(x)\) 在 \(x\geq0\) 時為嚴格遞增函數，
\(\Rightarrow g(x)>g(0), \forall x>0\)
且因為 \(g(0)=0\)，所以 \(g(x)>0, \forall x>0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}>0, \forall x>0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}, \forall x>0\) [size=3]以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N，數列 [1 + (1/n) ] ⁿ 遞增。現在看到這題，也來嘗試用算幾不等式。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]原題欲證: [size=4]n^(1/n)[/size] [size=4]>[/size] [size=4](n+1)[/size][size=4]^[1/(n+1)][/size] [/size][size=4](n ≥ 3，n ∈ N)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]等同於 [size=4]n[/size] [size=4]>[/size] [ [size=4](n+1)[/size]ⁿ ] [size=4]^ [1/(n+1)][/size] (兩側同予 n 次方)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均，容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1，但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些，嘗試"平均一點"，把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為: (n-1) 個 [color=blue](n+1)[/color] 與 2 個 [color=blue]√(n+1)[/color][color=black]。則根據算幾不等式:[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]n - 1 + [color=red]2/√(n+1)[/color] >[/size] [ [size=4](n+1)[/size]ⁿ ] [size=4]^ [1/(n+1)][/size] (等號不會成立)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]又當 [size=4]n ≥ 3 [size=3]時[/size][color=black]，[color=red]2 /√(n+1)[/color] ≤ 1，[size=3]故 [size=4]n[/size] [size=4]>[/size] [ [size=4](n+1)[/size]ⁿ ] [size=4]^ [1/(n+1)][/size]，原題亦得證。[/size][/color][/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
回復 6# weiye 的帖子
感謝weiye老師解惑並點出我的錯誤想確認知道自己的錯誤，是不是錯在不定積分的部份?
如果是相同的上下限作定積分(a<b)從a積到b，這樣不等式成立嗎?
可以改成做定積分0至v，其中v>0，使的不等式成立，這樣寫適合嗎?
也謝謝7樓的C大提供一樓題目的另一個解法
巧妙的使用 當 \(n\geq3 \)時 n > \( \ (n-1)+\frac{2}{\sqrt{n+1}} \) 作為不等式中間的媒介
將 \( (n+1)^{\frac{n+1}{n}} \) 拆成n-1個n+1跟2個\( \sqrt{n+1} \) 的想法，真的很有趣
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-14 01:48 AM 編輯 [/i]]
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