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weiye 發表於 2010-1-24 23:41

整數論題目,3^n/2^100,n為自然數,求小數點後第100、101位數

題目:

設 \(n\) 是自然數,求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點後第 \(100\) 位數以及第 \(101\) 位數的值.

解答:

要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點後第 \(100\) 位數的值,

也就是要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點往右移動 \(100\) 次之後,小數點左邊第一位的數字值,

也就是要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\times 10^{100}\) 的小數點左邊第一位的數字值,

而 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\times 10^{100}= 3^n\times 5^{100}\),

因為 \(\displaystyle 5^{100}\) 除以十的餘數是 \(5\),且 \(\displaystyle 3^n\) 除以十的餘數只會是 \(3, 9, 7, 1\)(反正就是奇數啦,不會是偶數啦),

所以 \(\displaystyle 3^n\times5^{100}\) 除以十的餘數是 \(5\),

故,所求小數點後第 \(100\) 位數為 \(5\),

而且可以看得出來,因為 \(\displaystyle 3^n\times 5^{100}\) 是整數,

所以,所求小數點後第 \(101\) 位顯然是 \(0\)。

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