98士林高商
學校沒有公佈試題，這是我從試場一句不漏抄出來的，題目內文和順序都和原來的考卷相同一個正三角形△ABC的三個頂點分別位於三條平行線上，這三條平行線的距離是3單位和1單位，則△ABC的面積為？
[url]https://math.pro/db/thread-1399-1-1.html[/url] 選擇題
2.有一生物學家，觀察某一熱帶雨林的下雨紀錄，他發現要是今天下雨，則隔天下雨的機率為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，要是今天不下雨，則隔天不下雨的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，已知當地氣候很穩定，且未來一年沒有什麼重大改變，則未來一年下雨的天數為幾天？(A)146 (B)156 (C)196 (D)229
非選擇題
6.設\( \displaystyle f(x)=(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{-2}{3}}+1)(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{-2}{3}})(x^1-x^{-1})^{-1} \)，若\( x \in R \)，則\( f(x) \)的範圍為。
7.正實數x,y滿足\( logx \cdot logy=1+logx \)則\( xy \)的範圍為。
9.設\( (1+x)^m(1+x^2)^n \)，m,n為正整數，展開式中\( x^2 \)係數為12，求\( x^3 \)項係數的最大值。
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1235]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1235[/url] 想請教單選題第1題,填充題第8題
多重選擇題第3題是否為BC,第5題是否為BC
填充第6題我算出來f(x)的範圍是大於等於2,我的想法如下
f(x)=[(x-x^(-1))(x^(2/3)-x^(-2/3))]/[(x-x^(-1))(x^(1/3)-x^(-1/3))] ...(我上下同乘x^(1/3)-x^(-1/3))
=x^(1/3)+x^(-1/3) >=2
請問第6題,我的想法是否正確? 單選題第1題：\(△ABC\) 為銳角三角形，\(\overline{BC}\) 邊上的高為 \(\overline{AD}\)，\(\overline{BD}=a, \overline{CD}=b\)，且 \(a<b\)，將 \(△ABC\) 沿 \(\overline{AD}\) 折成大小為 \(\theta\) 的二面角 \(B-AD-C\)，若 \(\displaystyle\cos\theta = \frac{a}{b}\)，則三稜錐 \(A-BDC\) 的側面 \(△ABC\) 是何種三角形 (A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)以上皆有可能。
解答：
在 \(\triangle BCD\) 中，由 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}\)，
可知 \(\angle CBD=90^\circ\)，所以由畢氏定理可得 \(\overline{BC}^2+a^2=b^2\)
在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle ACD\) 中，由畢氏定理可得 \(\overline{AB}^2=a^2+\overline{AD}^2\) 且 \(\overline{AC}^2=b^2+\overline{AD}^2\)
以上三式代換一下，可得 \(\overline{BC}^2+\overline{AB}^2=\overline{AC}^2.\)
所以，\(\triangle ABC\) 是直角三角形。 填充題第8題：設 \(\displaystyle S_n=\frac{1}{3P^1_1}+\frac{1}{4P^2_2}+\frac{1}{5P^3_3}+\cdots+\frac{1}{\left(n+2\right)P^n_n}\)，求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n\)。
解答：
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{3P^1_1}+\frac{1}{4P^2_2}+\frac{1}{5P^3_3}+\cdots+\frac{1}{\left(n+2\right)P^n_n}\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(k+2\right)\cdot k!}\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k+1}{\left(k+2\right)!}\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{\left(k+2\right)-1}{\left(k+2\right)!}\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{\left(k+1\right)!}-\frac{1}{\left(k+2\right)!}\right)\)
\(\displaystyle=\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\frac{1}{\left(n+2\right)!}\right)\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2!}-\frac{1}{\left(n+2\right)!}.\)
故， \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}.\) 多重選擇題第3題：設則下列何者正確？（A）\(\displaystyle\frac{\log a+\log b}{2}>\log\frac{a+b}{2}\)（B）\(\log_a b+\log_b a\) 的最小值為 \(2\)（C）\(\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right)\) 的最小值為 \(9\)（D）\(\displaystyle\frac{\sin a+\sin b}{2}>\sin\frac{a+b}{2}\)。
題目似乎漏掉了 \(a,b\) 範圍的敘述！ 多重選擇題第5題：下列哪些敘述為真
(A)一函數 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 連續，就必定在 \(x=a\) 有導數。
(B)一函數 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 有導數,就必定在 \(x=a\) 連續。
(C)若數列 \(\{a_n\}\) 發散，且數列 \(\{b_n\}\) 發散，則數列 \(\{a_n\cdot b_n\}\) 必定發散。
(D)若數列 \(\{a_n\}\) 發散，且數列 \(\{b_n\}\) 發散，則數列 \(\{a_n+b_n\}\) 必定發散。
解答：
（A）錯，反例：\(\displaystyle f(x)=\left|x\right|\) 在 \(x=0\) 時連續，但不可微。
（B）對，證明：當 \(x\neq a\) 時，可將 \(f(x)\) 表示成 \(\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\left(x-a\right)\)，
因為 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(a)=f(a)\)，\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\) ，且\(\displaystyle \lim_{x\to a} \left(x-a\right)=0\)
三個極限已知都存在，
所以 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}\left(f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\left(x-a\right)\right)=f(a)+f'(a)\cdot 0=f(a)\)，
故，\(f(x)\) 在 \(x=a\) 時連續。
（C）錯，反例：\(a_n=b_n=\left(-1\right)^n.\)
（D）錯，反例：\(a_n=n\)，\(b_n=-n.\) 填充第 6 題：設 \(\displaystyle f(x) = \left(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{-2}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{-2}{3}}\right)\left(x - x^{-1}\right)^{-1}\)，若 \(x\in\mathbb{R}\)，則 \(f(x)\) 的範圍為？
解答：
因為 \(x\) 的次方數有分數，所以 \(x\) 為正實數。
如上 kittyaya 回覆的方式化簡，加上算幾不等式，可得 \(f(x)\geq 2\) 恆成立，
但當等號成立時 \(x=1\)，此時 \(f(x)\) 定義中的分母為零，需扣除掉，
故， \(f(x)\) 的範圍為 \(\left(2,\infty\right).\)
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