請教3題數學（三角函數、橢圓、尤拉函數）
1. 1. 設x*x+y*y=1，試求x*x – 2xy + 3y*y之最大值和最小值。A：最大值2 + 根號2；最小值2 - 根號2
2. 2. 一人造衛星其繞行軌道是橢圓，以地心為一焦點，這衛星離地面的最大高度為800公里，
而離地面的最小高度為200公里，又地球半徑是6400公里，求這橢圓軌道的長軸長和短軸長。
A：長軸長13800公里，短軸長13787公里。
3. 3. 如何證明尤拉函數。
以上3題，煩請高手解答，謝謝！ 第一題
令 \(x=\cos\theta, y=\sin\theta\)，則 \(x^2-2xy+3y^2\) 可以利用倍角公式降次，再疊合，可求得最大值與最小值。
第二題
\(a+c=6400+800, a-c=6400+200\)
\(\Rightarrow a=6900, c=300, b=\sqrt{a^2-c^2}=1200\sqrt{33}\)
\(\Rightarrow 2a=13800, 2b\approx13787.\)
第三題
先證明 \(\phi\left(n\right)\) 是 multiplicative，
再證當 \(n=p^k\) 時（其中 \(p\) 是質數，\(k\) 是自然數），\(\displaystyle\phi\left(p^k\right)=\left(1-\frac{1}{p}\right)p^k\)，
把兩者合併在一起用，就可以得證了。
詳見 [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function#Computing_Euler.27s_function]http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function[/url]
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