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marigeq 發表於 2009-10-12 22:02

如何證明轉置矩陣

prove

tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC).  Where A,B,C,D are matrices.

感謝幫忙

weiye 發表於 2009-10-12 22:20

先證明 \(tr(AB)=tr(BA)\),

不失一般性假設 \(A\) 是 \(n\times m\) 階矩陣,\(B\) 是 \(m\times n\) 階矩陣,則

\(\displaystyle tr(AB) = \sum_{i=1}^n \left(AB\right)_{ii}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n A_{ji} B_{ij} = \sum_{j=1}^m\left(BA\right)_{jj} = tr(BA).\)







利用 \(tr(AB)=tr(BA)\) 可得

\(tr\left(\left(ABC\right)D\right)=tr\left(D\left(ABC\right)\right),\)

\(tr\left(\left(AB\right)\left(CD\right)\right)=tr\left(\left(CD\right)\left(AB\right)\right),\)

\(tr\left(A\left(BCD\right)\right)=tr\left(\left(BCD\right)A\right).\)

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