Math Pro 數學補給站's Archiver

你未必出類拔萃,但肯定與眾不同。

arend 發表於 2009-10-11 23:08

請教組合一題

若X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8 , 1<=X-i<=3
求正整數解(答案30)

有一點不明白, 為何X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8,1<=X-i<=3
的正整數解為C(7 , 3)=35

謝謝

weiye 發表於 2009-10-11 23:21

[quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-10-11 11:08 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1731&ptid=875][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
若X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8 , 1<=X-i<=3
求正整數解(答案30)

有一點不明白, 為何X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8,1<=X-i<=3
的正整數解為C(7 , 3)=35

謝謝 [/quote]

若 \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=8 , 1\leq x_i\leq3\)

求正整數解有多少組?

答:\(H^5_3-C^5_1 = 35-5=30.\)

arend 發表於 2009-10-11 23:52

請問瑋岳老師
X_1+....+X_5=8  , 1<=X_i<=3

H(5 , 3)怎麼解釋?
又C(5 , 1)怎麼解釋
疑惑中
謝謝

weiye 發表於 2009-10-12 18:27

把八個相同球放入五個相異的空箱子 \(x_1,x_2, \cdots, x_5\) 之中,

因為每個箱子至少有一顆球,所以每個箱子分完一顆球之後,還剩下 \(3\) 顆,

把剩下的 \(3\) 顆相同球有 \(H^5_3\) 種分法,

\(C^5_1\) 就是當剩下 3 顆同時分到同一個箱子的情況。

arend 發表於 2009-10-13 02:14

謝謝瑋岳老師
原來是這樣思考的
我一直當成有限制的重覆組合
所以就一直繞不出來

真的感謝, 獲益良多

arend 發表於 2009-10-13 02:27

可否再請教瑋岳一個問題:

若0<=a<=4  , 0<=b<=8  , 0<=c<=6

求0<=a+b+c<=14 的非負整數解的個數

希望你再次不吝告知

謝謝

weiye 發表於 2009-10-13 10:16

[quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-10-13 02:27 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1738&ptid=875][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可否再請教瑋岳一個問題:

若0<=a<=4  , 0<=b<=8  , 0<=c<=6

求0<=a+b+c<=14 的非負整數解的個數

希望你再次不吝告知

謝謝 [/quote]

如果只看 \(\left(a,b,c\right)\) 共有 \(5\times9\times7=315\) 組。

當然當中有不少是滿足 \(a+b+c\geq15\),也就是要排除掉的情況。

以下讓我們來算看看有多少組要排除掉的,

令 \(x=4-a, y=8-b, z=6-c\),則

\(0\leq x\leq 4, 0\leq y\leq 8, 0\leq z\leq 6\),

且 \(x+y+z=(4-a)+(8-b)+(6-c)=18-(a+b+c)\),

也就是 \(0 \leq x+y+z\leq 3\)

所以要排除掉的非負整數解的組數為 \(H^4_3=20.\)

故,題目所求答案為 \(315-20=295.\)

arend 發表於 2009-10-13 23:35

謝謝瑋岳老師這麼詳細的解說

感激不盡

arend 發表於 2009-10-14 19:41

謝謝你,瑋岳老師
你幫我解答這一題, 我之前也算過是295
只是不確定答案, 而且我在"扣除"部分是一一算出
你這個方法很棒, 我之前沒想到 , 在排列組合中又學到一個觀念
謝謝你

希望以後有機會請教, 你能不吝告知
再次謝謝你

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.