96基隆數學
Q.22 設f為從實數集合映到正實數集合的函數, 滿足:對於每一個實數x,y 都有f(x+y)=f(x)f(y),
下列敘述何者正確?
(甲)f為一對一函數
(乙)f為映成函數
(丙)對每一個實數x,都有f(-x)=1/f(x)
(丁)對每一個整數n,都有f(n)=(f(1))^n
答:僅丙,丁正確
甲乙是錯在哪呢?
有沒有例子可以說明呢?
謝謝! 給甲、乙的反例：
對任意實數 \(x\)，定義 \(f(x)=1\)，
則對任意實數 \(a,b\)，皆滿足 \(f(a+b)=f(a)f(b)\)
但此函數既非 injection，也非 surjection. bonnieicy你好,我是math pro版主bugmens
能否將同一份題目的問題在同一篇發問,除了方便以後網友搜尋之外,這樣知識也才能傳承下去
以這題來講,PTT的實習老師版網友ByronC,math pro站長weiye,選聘網神人thepiano都是給相同的反例
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27042
你也可以到thepiano所主持的美夢成真教甄討論區發問
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php]http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php[/url]
我將於10/1刪除這篇討論
[url=https://math.pro/db/thread-871-1-1.html]https://math.pro/db/thread-871-1-1.html[/url]
補充thepiano提到的高中數學競賽教程P544證明
第37講 函數方程
設f是定義在有理數集Q上的函數，解下列函數方程
(2) \( f(x)f(y)=f(x+y) \)(f不恆為零)。
用數學歸納法，易證：
\( f(x_1)f(x_2)…f(x_n)=f(x_1+x_1+…+x_n) \)
令\( x_1=x_2=...=x_n=x \)，得\( [f(x)]^n=f(nx) \)。
再令\( \displaystyle x=\frac{1}{m} \)，又得
\( \displaystyle f(\frac{n}{m})=[f(\frac{1}{m})]^n=[f(\frac{1}{m})^m]^{\frac{n}{m}}=[f(1)]^{\frac{n}{m}} \)。
記\( f(1)=c \)(c為正常數)，得\( \displaystyle f(\frac{n}{m})=c^{\frac{n}{m}} \)。
在原方程中令\( y=0 \)，由f(x)不恆為0，得\( f(0)=1=c^0 \)。
在原方程中令\( \displaystyle y=-x=-\frac{1}{m} \)，可推得\( \displaystyle f(-\frac{n}{m})=c^{-\frac{n}{m}} \)。
所以，對一切\( x \in Q \)，有\( f(x)=c^x \)。
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-9-28 09:02 PM 編輯 [/i]] 對不起~有些觀念不太懂
令f=2^x (指數函數)
而指數函數是個一對一函數沒錯吧?
而反例舉f(x)=1
則x=0
=>f(x+y)=f(x)f(y)
=>f(y)=f(y)
這樣為何不是一對一也不是映成呢?
可以幫我解答一下嗎>< 感激! 而反例舉f(x)=1則x=0 <- 還有很多的x可以讓f(x)=1,無法推論出x=0
=>f(x+y)=f(x)f(y)
=>f(y)=f(y) <- 不是對這個式子來討論是否1對1或映成
是對f(x)=1來討論是否1對1或映成,當然f(x)=1都不符合這兩者的定義
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