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f19791130 發表於 2009-9-5 08:07

請教一題扇形題目

[font=新細明體][size=12pt]扇形[/size][/font][size=12pt]AOB[/size][font=新細明體][size=12pt]，圓心角角[/size][/font][size=12pt]AOB=60[/size][font=新細明體][size=12pt]度，半徑線段[/size][/font][size=12pt]OA=1[/size][font=新細明體][size=12pt]，若[/size][/font][size=12pt]P[/size][font=新細明體][size=12pt]為弧[/size][/font][size=12pt]AB[/size][font=新細明體][size=12pt]上異於[/size][/font][size=12pt]A[/size][font=新細明體][size=12pt]，[/size][/font][size=12pt]B[/size][font=新細明體][size=12pt]之動點，自[/size][/font][size=12pt]P[/size][font=新細明體][size=12pt]作[/size][/font][size=12pt]PH[/size][font=新細明體][size=12pt]線段垂直[/size][/font][size=12pt]OA[/size][font=新細明體][size=12pt]線段於[/size][/font][size=12pt]H[/size][font=新細明體][size=12pt]，[/size][/font][size=12pt]PK[/size][font=新細明體][size=12pt]線段垂直[/size][/font][size=12pt]OB[/size][font=新細明體][size=12pt]線段於[/size][/font][size=12pt]K[/size][font=新細明體][size=12pt]。試證：[/size][/font][size=12pt]PH[/size][font=新細明體][size=12pt]線段[/size][/font][size=12pt]*PK[/size][font=新細明體][size=12pt]線段的最大值是[/size][/font][size=12pt]0.25[/size][font=新細明體][size=12pt]。[/size][/font]
[font=新細明體][size=12pt]請高手解答[/size][/font]

weiye 發表於 2009-9-5 13:06

[quote]原帖由 [i]f19791130[/i] 於 2009-9-5 08:07 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1684&ptid=858][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
扇形AOB，圓心角角AOB=60度，半徑線段OA=1，若P為弧AB上異於A，B之動點，自P作PH線段垂直OA線段於H，PK線段垂直OB線段於K。試證：PH線段*PK線段的最大值是0.25。
請高手解答 ... [/quote]

令 \(\displaystyle\angle AOP=\alpha, \angle BOP=\beta\)，

則 \(\displaystyle\alpha+\beta=60^\circ\) 且 \(\displaystyle PH=\sin\alpha\)、\(PK=\sin\beta\)，


題目所求 \(\displaystyle PH \cdot PK = \sin\alpha\cdot\sin\beta\)，由積化和差可得，

\(\displaystyle\sin\alpha\cdot\sin\beta= -\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right\}\)

\(\displaystyle \qquad\qquad\qquad=-\frac{1}{2}\left\{\cos 30^\circ -\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\frac{1}{4}\)

當 \(\alpha=\beta\) 時，\(PH\cdot PK\) 有最大值 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.\)

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