測試
\(\tan\theta=\frac{a}{b/2}=\frac{2a}{b}, \tan\beta=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{a}{2b}\)\( \displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha-\beta)\)
[[i] 本帖最後由 scale 於 2009-7-28 10:36 AM 編輯 [/i]] test
\( x^2 \)
\( x_n \)
\( \equiv \)
\(\sqrt{2}\)
[[i] 本帖最後由 t3712 於 2012-4-3 01:47 PM 編輯 [/i]]
測試
行內數式(小括號)abc 123 \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) abc 123
展示數式 (中括號)
abc 123 \[\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\] abc 123
展示數式 (單錢)
abc 123 $ \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} $ abc 123
展示數式 (雙錢)
abc 123 $$ \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} $$ abc 123
括號
\( ( \alpha ^ \beta _ \gamma ) \)
線段
[size=12px]\( \overline{AB} \)[/size]
[size=12px]
[/size]
[size=12px]聯立
[/size][size=12px]\( \displaystyle \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \) [/size][size=12px]\( \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \)[/size][size=12px]
[/size]
[size=12px]矩陣 [/size]
[size=12px]\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \) [/size][size=12px]
[/size]
[size=12px]矩陣 [/size]
[size=12px]\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg]\; \) [/size][size=12px]
[/size]
[size=12px]行列式 [/size]
[size=12px]\( \displaystyle A=\Bigg|\; \matrix{ 1 & 2 \cr 3 & 4} \Bigg|\; \) [/size]
[size=12px]行列式[/size]
[size=12px]\( \displaystyle A=\Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\; \) [/size]
[size=12px]SIGMA[/size]
[font=新細明體][size=12px]\( \displaystyle \Large\sum_{k=1}^{21} \left[ (43-2k)(2k-1) \right]=? \) [/size][/font]
[size=12px]\( x \cdot y , x \times y \)[/size]
\( [(x-u)-(y-z)]^{40} - [(x-u)+(y-z)]^{40} \)
\( \neq \) 不等於
\( a_{n+1} \)
絕對值
\( \Bigg| x^2+x+1 \Bigg| \)
\( \overset { \rightharpoonup }{ AB } \)
[[i] 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-8 06:59 PM 編輯 [/i]] n=1, \( [\frac{2012}{1}] \)=2012=k, n=2, \( [\frac{2012}{2}] \)=1006=k,
n=3, \( [\frac{2012}{3}] \)=670=k,...
大於等於 \( \ge \)
小於等於 \( \le \)
不等於 \( \neq \)
大大於 \( \gg \)
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-20 01:11 PM 編輯 [/i]] \( = 2\pi \times 6\pi = 12 \pi^2 \)
test
\(\frac{5}{8}\)[[i] 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-10 09:49 PM 編輯 [/i]] \(
\begin{aligned}
x_{1}^{1} &= \frac{1}{7}(3 - 0 - 0) = \frac{3}{7} \\
x_{2}^{1} &= \frac{1}{8}(-2 - (2)x_{1}^{1}) = \frac{-1}{7} \\
x_{3}^{1} &= \frac{1}{5}(5 - (-1)x_{1}^{1} - (0)x_{2}^{1}) = \frac{38}{35} \\
x_{4}^{1} &= \frac{1}{4}(4 - (0)x_{1}^{1} - (2)x_{2}^{1} - (-1)x_{3}^{1}) = \frac{29}{20}
\end{aligned}
\)
\(\begin{equation} \alpha^2 \end{equation}\)
\(
\begin{array}{l}
f(x) = (x^3 + 1)(x - 1)Q(x) + a(x^3 + 1) - x^2 - 3x - 3 \\
x - 1 = 0 \\
a = 5 \\
y - a \\
\end{array}
\)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-15 18:10 編輯 [/i]] 測試
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=70,\sum_{i=1}^{10}y_{i}=50,\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=1490,\sum_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=420\)
[[i] 本帖最後由 james2009 於 2017-5-1 00:45 編輯 [/i]]
測試
\(H_{25}^4 - C_1^4 H_{15}^4 + C_2^4 H_5^4\)[[i] 本帖最後由 whatbear 於 2017-5-27 14:37 編輯 [/i]] \(\frac{5}{8}\)
\(\displaystyle\frac{5}{8}\)
回復 10# thepiano 的帖子
\(\begin{align}& \frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\
& \triangle ABC\cong \triangle DEF \\
& \\
& \angle ABC \\
& \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-6-3 19:56 編輯 [/i]] 原式\(\displaystyle=\frac{2}{1+\cos20^\circ}+\frac{1}{1-\cos^220^\circ}+\frac{1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-8\cos^320^\circ+1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\) \(\left(-8\cos^320^\circ+6\cos20^\circ=-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-6\cos20^\circ}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2(1-\cos^220^\circ)\cos20^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2\cos20^\circ-2\cos^320^\circ}\) \(\displaystyle\left(-2\cos^320^\circ+\frac{3}{2}\cos20^\circ=-\frac{1}{4}\right)\) 其實考試當下看到\(\displaystyle-\frac{1}{4}\)我就已經先填答案是\(12\)了
\(\displaystyle=\frac{6\cos20^\circ-3}{\displaystyle\frac{1}{2}\cos20^\circ-\frac{1}{4}}=12 \vec{a}\)
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2023-4-9 22:40 編輯 [/i]]
test
\[\frac{5}{7}\] \(H_{25}^4 - C_1^4 H_{15}^4 + C_2^4 H_5^4\)\(x^15\)
[[i] 本帖最後由 whatbear 於 2017-7-14 23:13 編輯 [/i]] \(f(x)=x^{15}+...\)
(1)
求\(f(x)\)除以\(x^4-x^3+x^2-x+1\)的餘式
(2)
求\(f(x^2)\)除以\(x^4-x^2\)的餘式 [img]https://drive.google.com/file/d/0B5tMTXYhUeZwQVZIVWQyb0MzTEE/view?usp=sharing[/img]
[[i] 本帖最後由 ouchbgb 於 2017-7-22 12:51 編輯 [/i]] \(\overset{\rightharpoonup }{\mathop{a}}\,\)
\(\overset{}{\mathop{a}}\,\)
\(\overset{}{\mathop{a}}\,\)
\(\overset{}{\mathop{AB}}\,\)
\(\overset{\underset{{}}{\longleftrightarrow}}{\mathop{AB}}\,\)
\(\overset{\overset{{}}{\longleftrightarrow}}{\mathop{AB}}\,\) test
我是這麼作的, 令
\(f(x)=\dfrac{x^4+rx^2+1}{x^4+x^2+1}=\dfrac{x^2+r+\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{y+r}{y+1}=1+\dfrac{r-1}{y+1}=g(y)\), 其中 \(y=x^2+\dfrac{1}{x^2}\geq 2\).
(i) 當 \(r=1\) 時, 顯然成立.
(ii) 當 \(r>1\) 時, \(g(y)\) 為遞減函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(g(a)\leq g(b)\leq g(2)\).
由題意可得 \(g(a)+g(b)>g(2) \forall a\geq b\geq 2\),
即 \(1+\dfrac{r-1}{a+1}+1+\dfrac{r-1}{b+1}>1+\dfrac{r-1}{2+1} \forall a\geq b\geq 2\), 對 \(a,b\) 取極限可得
\(\lim_{a, b\to\infty}1+\dfrac{r-1}{a+1}+1+\dfrac{r-1}{b+1}\geq1+\dfrac{r-1}{2+1} \), 可得\(1\geq\dfrac{r-1}{3}\), 亦即 \(r\leq4\).
因此 \(1<r\leq4\).
(iii) 當 \(r<1\) 時, \(g(y)\) 為遞增函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(g(a)\geq g(b)\geq g(2)=1+\dfrac{r-1}{3}>0\), 因此 \(r>-2\).
由題意可得 \(g(a)<g(b)+g(2) \forall a\geq b\geq 2\), 亦即 \(g(a)-g(b)<g(2) \forall a\geq b\geq 2\).
故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)\leq g(2)\).
因為 \(g(x)\) 為一嚴格遞增函數, 故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)=\lim_{a\to\infty,b\to 2}g(a)-g(b)=1-g(2)\).
故得 \(1-g(2)\leq g(2)\), 即 \(\dfrac{1}{2}\leq g(2)=1+\dfrac{r-1}{3}\), 即 \(-\dfrac{1}{2}\leq r\).
因此 \(-\dfrac{1}{2}\leq r<1\).
綜合(i)(ii)(iii)可得 \(-\dfrac{1}{2}\leq r\leq 4\).
以下證明 \(r=4\) 和 \(r=-\dfrac{1}{2}\) 時, 對任意實數 \(a\geq b\geq c\geq 2\), \(g(a), g(b), g(c)\) 均可形成三角形三邊長.
(i) 當 \(r=4\) 時, \(g(a)\leq g(b)\leq g(c)\leq g(2)=2\).
此時 \(g(a)+g(b)=1+\dfrac{3}{a+1}+1+\dfrac{3}{b+1}>2=g(2)\geq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
(ii) 當 \(r=-\dfrac{1}{2}\) 時, \(g(a)\geq g(b)\geq g(c)\geq g(2)=\dfrac{1}{2}\).
此時 \(g(a)-g(b)\leq g(a)-g(2)=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{2}=g(2)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
[[i] 本帖最後由 leonyo 於 2017-8-15 01:48 編輯 [/i]] \[f(x) = x + {x^2}\sin (\frac{1}{x})\]
回復 14# whatbear 的帖子
請問一下各位高手 我這幾天進入網頁後看到的數學式子都變成了latex的編碼，而不是數學式子的表示方式，請問這要安裝甚麼相關軟體才可以解決啊?頁:
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