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小確幸 ─ 「生活中微小但確切的幸福」

jisam 發表於 2009-7-25 21:10

數列問題

設\( \{; a_n \};_{n \ge 1} \)為一數列,\( a_1=1 \),\( a_2=4 \)且\( a_{n+1}=3a_n+a_{n-1} \),\( n \ge 2 \)。
證明:有無限多個正整數n,使得\( a_n-1 \)和\( a_{n+1}-1 \)都能被89整除。
[sol]
可算出\( \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{13}-1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3+\sqrt{13}}{2})^n+\frac{\sqrt{13}+1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3-\sqrt{13}}{2})^n \)
但這樣有什麼用嗎?

老王 發表於 2009-7-26 15:21

回復 1# jisam 的帖子

如果有的話,將數列MOD89
此時\( a_n=1,a_{n+1}=1 \)
那麼\( a_{n+2}=4 \)
於是\( a_{n+1},a_{n+2} \)就會和\( a_1,a_2 \)一樣
也就是此數列n個一循環
用EXCEL算了一下
循環節是180個
應該有比較簡單的看法

bugmens 發表於 2009-7-26 22:40

補上文字題目,方便以後搜尋
設\( {\ a_{n} }\ _{n \ge 1} \)為一數列,\( a_{1}=1 \),\( a_{2}=4 \)且\( a_{n+1}=3a_{n}+a_{n-1} \),\( n \ge 2 \)。
證明:有無限多個正整數n,使得\( a_{n}-1 \)和\( a_{n+1}-1 \)都能被89整除。
(89全國高中數學競賽台灣省第四區筆試一試題)

eggsu1026 發表於 2012-4-5 11:15

我覺得寫得還沒有很好,有人要修一修的嗎?


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