98玉井工商
98玉井工商 填充第12題設\(x,y \in R\)，若\(x^2+(y-1)^2 \le 1\)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？
[解答]
題目的\( \displaystyle x^2+(y-1)^2 \leq 1 \)表示一個圓心在(0,1)半徑1的圓盤
這圓盤上的點都讓\( \displaystyle x+y+1以及x-y+3 \)的值為正
所求的式子如果改成
\( \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}}{\displaystyle\frac{x-y+3}{\sqrt{2}}} \)
就成了到這兩線的距離比
如附圖
這個距離比就變成 \( \displaystyle \tan{\angle{BAE}} \)
所以最大值發生在切線時
不難知道此時\( \displaystyle \angle{BAE}=75^o \)
故最大值為\( \displaystyle 2+\sqrt{3} \) 6.
設\( f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) \)，求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)的餘式為？
相同問題
設\( f(x)=(x-1)(x-2)...(x-100) \)，試求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)之餘式？
(2003TRML個人賽)
假如TRML這題有先準備的話(100!)，玉井工商這題可是看題目寫答案(5!)
11.
\( \displaystyle a_{n}=\sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+1)} \)，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}= \)？
類似題
試求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\ \frac{1}{n^2} \sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+2)} )\ \)
(97中和高中)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364(連結已失效)
第39樓thepiano給了答案，玉井工商這題也是一樣
112.4.24補充
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
(112台南女中，[url]https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html[/url])
12.
設\( x,y \in R \)，若\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？
補上出處
設\( P(x,y) \)為\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)上任一點，則\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值？
(高中數學101 P220)
\( x,y \)是實數，滿足\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)，求\( \displaystyle \frac{x-y+1}{x+y+3} \)的極大值及極小值？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33485(連結已失效)
二、設n為自然數，試證\( 5^n \ge 1+4n \sqrt{5^{n-1}} \)
相同題目
證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中，臺南慈中)
[url=https://math.pro/db/thread-725-1-1.html]https://math.pro/db/thread-725-1-1.html[/url] 請教一下第15題
除了利用Jacobian之外還有他法嗎？ 填充題，第 15 題，
以 \(O\) 為原點之坐標平面，若 \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(3\sin\alpha+\cos\beta, \sin\alpha+3\cos\beta\right)\)，
\(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，則 \(\overrightarrow{OP}\) 之一切 \(P\) 點所成區域的面積為何？
解答：
\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\sin\alpha\cdot (3,1)+\cos\beta\cdot (1,3)\)，
因為 \(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},\;0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，
所以 \(\displaystyle 0\le\sin\alpha\le\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\le\cos\beta\le 1\).
因此，\(P\) 點所成區域的面積\(\displaystyle =\left(\frac{1}{2}-0\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\{(3,1)\mbox{ 與 } (1,3) \mbox{所形成的平行四邊形面積}\}\)
\(\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{4}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{array}} \right||=2.\) 15.
以O為原點之坐標平面，若\( OP=(3sin \alpha+cos \beta,sin \alpha+3cos \beta) \)，\( 0\le \alpha \le \frac{\pi}{6} \)，\( 0\le \beta \le \frac{\pi}{3} \)，則\( \vec{OP} \)之一切P點所成區域的面積為？
[解答]
假設\( P=(x,y) \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ =\Bigg[\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg]\ \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ \)的面積=\( \Bigg\vert\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg\vert\ \)×\( \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)的面積=\( 8 \cdot \frac{1}{4}=2 \)
又慢了一步,我對latex指令太不熟悉了 謝謝兩位老師的解惑
看來還有許多要努力的學問
繼續加油 可以請教一下 第9題的作法是 要把\(F\)點，對\( y=x\)做對稱，再用對稱點找最短距離嗎?
如果是這樣的話 這個最短距離要怎麼找??
還是有別的做法呢??
謝謝 9.
\(P\)為曲線\(y=x^2+2\)上之動點，\(A\)為直線\(y=x\)上之動點，且\(F(2,3)\)求\(\overline{FA}+\overline{AP}\)之最小值。
[解答]
對稱點為\( (3,2) \)，P點為\( (x,x^2+2) \)
最短距離為\( \sqrt{(x-3)^2+x^4} \)
令\( f(x)=(x-3)^2+x^4 \)，\( f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+3) \)
當\( x=1 \)時有最小值\( \sqrt{5} \) 我想請問[color=red]第18題[/color]
另外,[color=red]第16題[/color]我的想法不知那裡錯了
分母:(6!)/(2!*2!*2!)=90
分子:aabb=>(c3取2)*2!,cc分別插入aa和bb之間,所以,6*1=6
abab=>(c3取2)*2!,cc插入(5*4)/2!,所以,6*10=60
abba=>(c3取2)*2!,一個c插入bb之間,另一個c有4個位置,所以,6*4=24
結果分子得到6+60+24=90跟分母一樣,請問我錯在哪了,正確方法呢?
再加一題,[color=red]填充第2題[/color],我的算法是sin(pi/3)改成cos(2pi/3),所以我算出n=3,請問該如何算,謝謝 18.
\( a( \alpha),B( \beta),C( \gamma) \)為複數平面上三相異點，滿足\( |\; \alpha-\beta |\; =2 \)，且\( \alpha-2\beta+\gamma=\sqrt{3}i (\beta-\gamma) \)，求\( \overline{AC}= \)？
[解答]
\( \alpha-\beta=(1+\sqrt{3}i )( \beta-\gamma) \) ， \( |\; \beta-\gamma |\;=1 \)
\( \alpha-\gamma=(2+\sqrt{3}i )(\beta-\gamma) \) ， \( |\; \alpha-\gamma |\; =\sqrt{7} \) 第 16 題：若 \(a,a,b,b,c,c\) 六個字母依直線任意排列，試問同字母均不相鄰的機率為？
解答：
分母＝\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}=90.\)
分子＝n(任排) - n(至少有一組符號相鄰) + n(至少有兩組符號相鄰) - n(三組符號都相鄰)
＝\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}-C^3_1\times\frac{5!}{2!2!}+C^3_2\times\frac{4!}{2!}-C^3_3\times3!=30.\)
所求\(\displaystyle=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.\) 第 2 題：若矩陣 \(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle 1&0\\ 0&1\end{array}\right]\) 的最小自然數 \(n=\)？
解答：
\(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\frac{n\pi}{6}&-\sin\frac{n\pi}{6}\\ \sin\frac{n\pi}{6}&\cos\frac{n\pi}{6}\end{array}\right]\)
所以，當 \(\displaystyle\frac{n\pi}{6}=2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\) 時，題目要求的等式才會成立。
故，\(n\) 之最小正整數值為 \(12.\) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-8-27 10:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2617&ptid=811][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 2 題：若矩陣 \(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\)... [/quote]
對喔,餘角關係,我在想什麼? 謝謝版大和weiye大 請教填充第八題。
為何150度不可以？
謝謝
回復 15# johncai 的帖子
8.\(\Delta ABC\)中，若\(4sinA+3cosB=6\)，\(3sinB+4cosA=1\)，則\(∠C=\)？
[解答]
\(4\sin A+3\cos B=6\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin A=\frac{6-3\cos B}{4}\geq\frac{3}{4}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \angle A>30^\circ\)
因此 \(\angle C<150^\circ\) 想問第三題
這題應該是假設前半部\(A\)後半部\(B\)
考慮\(A^2+B^2\)和\(A^2B^2\)來處理吧
但不知道為何一直算不出公布的答案\(\sqrt{2}\) 3.
\(\sqrt{log_3 \sqrt{6}+\sqrt{log_3 2}}+\sqrt{log_3 \sqrt{6}-\sqrt{log_3 2}}=\)？
[解答]
下面\(A,B\)沒有定義的很嚴謹，看得懂就好
\(\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{A+B+2\sqrt{AB}}\)
\(\displaystyle A+B=\log_3\sqrt{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_32\)
\(\displaystyle AB=\frac{1}{4}\log_32\)
不難看出\(\displaystyle (A,B)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\log_32)\)
(補)試了一下你說的也行
\(A^2+B^2=\log_36=1+\log_32=1+t\)
\(\displaystyle AB=\sqrt{(\frac{1}{2}(1+\log_32))^2-\log_32}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}(1-t)\)
\(A^2+2AB+B^2=2,A+B=\sqrt{2}\)
回復 18# BambooLotus 的帖子
謝謝我把AB部分寫太複雜了
您的方式一目了然
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