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bugmens 發表於 2009-6-29 20:33

98嘉義女中

請見附件

bugmens 發表於 2009-6-29 20:41

2.
設\( a>0 \)，\( b>0 \)，\( log_{9} a=log_{12} b=log_{16}(a+b) \)，求\( \frac{b}{a} \)的值。
[出處]
Suppose that p and q are positive numbers for which \( log_{9} p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \), what is the value of \( \frac{q}{p} \)?
(AHSME1988，94屏東女中競試)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=162888]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=162888[/url]

3.
設|z|=1且\( z^5+z-1=0 \)，試求複數\(z\)之值。
[出處]
已知\( z \in C \)，且|z|=1，解方程\( z^5+z=1 \)
(新奧數教程　高二　第7講　複數與方程、幾何)

10.有一數列\( \langle a_n \rangle \)滿足\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}>a_{n} \)，且
\( (a_{n+1})^2+(a_{n})^2+1=2(a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}+a_{n+1}) \)，\( S_n \)為前\(n\)項和，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n a_n}= \)？

解答　[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1201&start=0[/url]
98師大附中有類似題[url=https://math.pro/db/thread-735-1-1.html]https://math.pro/db/thread-735-1-1.html[/url]

summa 發表於 2009-7-3 10:43

請問可以解一下，第三題嗎

Isaac 發表於 2009-7-4 08:52

3.
設\( |z|=1 \)且\( z^5+z-1=0 \)，試求複數\( z \)之值。
[解答]
\(Z^{5}+Z-1=0，Z^{5}=1-Z，|Z^{5}|=|1-Z|=1\)

令\(Z=cos\theta + isin\theta \)

由\(|1-Z|=1\)得\(\displaystyle \theta =\frac{\pi }{3}或\frac{5\pi }{3}\)

分別代入驗證是否符合\(Z^{5}+Z-1=0\)

當\(\displaystyle \theta =\frac{\pi }{3}\)時

\(\displaystyle Z^{5}=cos\frac{5\pi }{3}+isin\frac{5\pi }{3}=\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(1)

\(\displaystyle 1-Z=1-cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}=1-\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i=\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(2)

以上(1)(2)可得\(\displaystyle Z=cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3} \)符合

當\(\displaystyle \theta =\frac{5\pi }{3}\)時

\(\displaystyle Z^{5}=cos\frac{25\pi }{3}+isin\frac{25\pi }{3}=\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(3)

\(\displaystyle 1-Z=1-cos\frac{5\pi }{3}-isin\frac{5\pi }{3}=1-\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i=\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(4)

以上(3)(4)可得\(\displaystyle Z=cos\frac{5\pi }{3} + isin\frac{5\pi }{3} \)符合


如果有錯誤的地方請大家指正，感激不盡

mathelimit 發表於 2014-10-25 00:23

想請教第九題的答案，因為過程有點複雜 所以不確定...。我算面積的最小值為4/3，直線方程式為y=-2x+4.

thepiano 發表於 2014-10-25 06:01

回復 5# mathelimit 的帖子

答案正確

mathelimit 發表於 2014-10-25 20:28

回復 6# thepiano 的帖子

謝謝你 ^^b

satsuki931000 發表於 2021-1-25 22:49

第五題不太確定 可以請教一下嗎
小弟的答案
(1)\( \displaystyle \frac{4}{25} \)
(2)\( \displaystyle \frac{3}{25} (\frac{2}{5})^{n-2} \)

後記:感謝鋼琴老師提供答案
不小心把題目看成6數...

thepiano 發表於 2021-1-25 23:52

回復 8# satsuki931000 的帖子

參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=5209#p5209[/url]

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