98家齊女中
以下資料供以後的考生參考：初試最低錄取分數 29分
2名懸缺代理，取12名參加複試
58,50,48,41,38,38,38,36,33,31,30,29
其他，
20~28分 12人
10~19分 6人
0~9分 4人
共計 34 人 1.
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求
\(a,b,c\)之值及切線方程式[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b=3\left(x+\frac{1}{3}a\right)^2+b-\frac{1}{3}a^2\)
當\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}a=2\)時，切線斜率最小，得\(a=-6\)
\((2,-10)\)代入\(f(x)\)得\(-10=8+4a+2b+c\Rightarrow 2b+c=6\)
切線斜率\(\displaystyle f'(2)=12-24+b=\frac{-10-0}{2-0}=-5 \Rightarrow b=7,c=-8\)
切線方程式為\(y=-5x\)
113.5.4補充
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)之圖形的所有切線中，以過切點\((1,0)\)之切線斜率為最小，且此切線亦通過原點，則下列哪些選項是正確的？
(A)\(f''(1)=0\) (B)\(f(x)\)沒有極大值 (C)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切 (D)方程式\(f(x)=1\)有三相異實根
(113全國高中職聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html[/url])
113.5.4補充
2.
若過曲線\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)上一點\(\displaystyle P(\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)作切線，則此切線與兩坐標軸所圍成之三角形面積：[u] [/u]。
設\(a\)為一正數，曲線\(\sqrt{a}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)之圖形如下圖(一)。
(1)試求此曲線與\(x\)軸及\(y\)軸所圍成區域之面積。
(2)若過曲線上一點\(\displaystyle (\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)，作此曲線之切線，而與\(x\)軸、\(y\)軸分別交於\(X\)、\(Y\)兩點。試求\(\overline{OX}+\overline{OY}\)之值。
(89大學聯考自然組，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824[/url])
4.\( A=\left[ \matrix{a & b \cr c & d} \right] \)，\( a,b,c,d \in \{ 0,1,-1,-2 \} \)，
(1)\( A^2=[\ 0 ]\ \)的機率為 (2)\( A^{-1} \)不存在的機率為(答案皆須化簡)
[答案]
(1)
\( \left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，\( \left[ \matrix{-1 & 1 \cr -1 & 1} \right] \)，\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \)，\( \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & -1} \right] \)
\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 1 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & -1 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & -2 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr -2 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr -1 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr 1 & 0} \right] \)
共11個
(2)參考高中數學101 p333的解答
以\( -2,-1,0,1 \)作乘法運算表
\( \matrix{ & -2 & -1 & 0 & 1 \cr -2 & 4 & 2 & 0 & -2 \cr -1 & 2 & 1 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & -2 & -1 & 0 &1} \)
表中有2個\(-2\)，2個\(-1\)，7個0，2個1，2個2，1個4
共有\( 2^2+2^2+7^2+2^2+2^2+1^2=66 \)個
6.空間中\( P(a,b,c) \)為圖形\( x^2+y^2+z^2-4x-2y-3=0 \)上一點，求
\( a^2+b^2+c^2+4a-2c+11 \)的最大值，此時數對\( (a,b,c)= \)
[提示]
\( (x-2)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=8 \)，\( (a+2)^2+(b-0)^2+(c-1)^2+6 \)
點\( (-2,0,1) \)和球心\( (2,1,0) \)的連線得P 書商送的測驗卷中有一題更狠的
\( a,b,c,d \in \{0,1,2,3,4 \} \)，求 \( \left| \matrix {a & b \cr c & d} \right| =0 \)的機率。
解答用慢慢討論的，我覺得這樣就可以了；學生還不滿意，
就提供另一種解法，可是學生給我的感覺是"聽不懂"。
以家齊這題為例
令\( P(a,b)，Q(c,d) \)，那麼\( \displaystyle \frac{1}{2}\mid det(A) \mid \)就是三角形OPQ的面積
P，Q的選取只能在那16個格子點，其中會與原點共線的分成三種情況:
在\( x=0，y=0，y=x \)這三條線上有四個點
在\( x+y=0 \)上有三點
其他都只有兩個點
所以若P選原點，Q可以任意；
P選\( x=0 \)上非原之點，Q可以有四個選擇
依此
所以共有 \( 1*1*16+3*3*4+1*2*3+4*1*2=66 \)種 原本想問的問題,經由再加思考,現在剩下多選第1題的(C),(D)和(E)選項,真的不知該如何下手,麻煩各位了,謝謝 一、多重選擇題
1.
設銳角三角形 \(ABC\) 中， \(D\) 為 \(BC\) 的中點，由 \(D\) 向 \(AB,AC\) 作垂線，垂足分別為 \(E,F\)，
若 \(AE:EB=7:5\)，\(AF:FC=5:3\)，\(a,b,c\) 分別表示 \(∠A,∠B,∠C\) 的對邊長，則
(A) \(\displaystyle\cos B=\frac{5c}{6a}.\)
(B) \(\displaystyle\cos C=\frac{3b}{4a}.\)
(C) \(\cos A<0.\)
(D) 若 \(a = 4\)，則 \(\triangle ABC\) 的面積為 \(23.\)
(E) \(c = \sqrt{3}\) 時，則 \(a = b^2\)。
[解答]
(A) \(\displaystyle\cos B=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{5c}{12}}{\frac{a}{2}}
=\frac{5c}{6a}.\)
(B) \(\displaystyle\cos C=\frac{CF}{CD}=\frac{\frac{3b}{8}}{\frac{a}{2}}
=\frac{3b}{4a}\)
(C) 因為 \(\triangle ABC\) 為銳角三角形，所以 \(\cos A>0.\)
(D) 若 a = 4 時，令 \(x=AD\)，則
\(\displaystyle x^2-\left(\frac{7c}{12}\right)^2=2^2-\left(\frac{5c}{12}
\right)^2\)
且 \(\displaystyle x^2-\left(\frac{5b}{8}\right)^2=2^2-\left(\frac{3c}{8}
\right)^2\)
且 \(b^2+c^2=2\left(x^2+2^2\right)\)
由以上三式，可解得 \(b^2=8,c^2=12,x^2=6\)
\(\Rightarrow AB=2\sqrt{3},AC=2\sqrt{2}\)
再用畢氏定理求出 \(DE,DF\)，則三角形 \(ABC\) 面積可得。
(E) 當 \(c = \sqrt{3}\) 時，
利用同 (D) 選項的式子，可得 \(\displaystyle a=2,b=\sqrt{2},AD=\frac{\sqrt{6}}{2}.\) 我想請教填充第5題和証明第4題 ,謝謝
回復 6# 阿光 的帖子
填充第 5 題已知\(f(x)=3x^4-x^3-6x^2+ax-4,g(x)=x^3+x+a-4,a\in R\)
(1)\(f(x),g(x)\)的最高公因式為一次式，則\(a=\)[u] [/u]
(2)圖形\(y=f(x)-ax\)恆在\(y=g(x)-7x\)的上方，求\(a\)的範圍[u] [/u]
[解答]
(1)
設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 的最高公因式為 \(d(x)\)，
則 \(d(x)\Big| f(x)-x\cdot g(x)\)
\(\Rightarrow d(x)\Big| 2x^4-x^3-7x^2+4x-4\)
\(\Rightarrow d(x)|(x-2)(x+2)(2x^2-x+1)\)
因為 \(d(x)\) 為一次式，所以 \(d(x)=x-2\) 或 \(d(x)=x+2\)
case i: 若 \(d(x)=x-2\)，則 \(f(2)=g(2)=0\Rightarrow a=-6\)
case ii: 若 \(d(x)=x+2\)，則 \(f(-2)=g(-2)=0\Rightarrow a=14\)
故，\(a=-6\) 或 \(a=14.\)
(2)
因為 \(y=f(x)-ax\) 的圖行恆在 \(y=g(x)-7x\) 的上方
所以 \(f(x)-ax>g(x)-7x\) （對任意實數 \(x\)） 恆成立
\(\Rightarrow 3x^4-2x^3-6x^2+6x-a>0\) （對任意實數 \(x\)） 恆成立
令 \(h(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x-a\)
由 \(h'(x)=0\)，可解得 \(\displaystyle x=-1,\frac{1}{2},1\)
所以 \(h(x)\) 的最小值即為 \(h(-1), h(1)\) 之中的最小者
（腦海中有浮現～四次函數圖形像Ｗ的樣子嗎？有看到最小值會發生在哪裡齁！）
因此，\(h(1)>0\) 且 \(h(-1)>0\)
可得 \(a<-7\)
回復 6# 阿光 的帖子
証明第 4 題求證：\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1\)
[解答]
(1) 先證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
當 \(\displaystyle \frac{\pi}{2}>x>0\) 時，
[attach]868[/attach]
如圖，畫一單位圓，
做 \(∠AOB=x\) 弧度，與圖上各點（詳細各點的做法應該不用說吧？＝＝）
則 \(\overline{AB}=\sin x\)，\(AD\)弧長\(=x\)，\(\overline{CD}=\tan x\)
因為 三角形\(OAD\)面積＜扇形\(OAD\)面積＜三角形\(OCD\)面積
所以 \(\sin x<x<\tan x\)
且當 \(x>0\)時，\(\sin x>0\)
所以 \(\displaystyle \sin x<x<\tan x\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)
又因為 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}\cos x = 1\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}1=1\)
所以由夾擠定理，可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
(2) 再證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=1\)
因為 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0^-} \frac{-\sin (-x)}{-(-x)}=\lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-(t)}=1\)
（上面令 \(t=-x\)，應該看得出來吧～：Ｐ）
由 (1)&(2)，可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1\)
多選第2題
某民調機關對政府官員做施政滿意度調查，報導如下:「….整體滿意度為三成六，此次調查成功訪問900位台灣地區成年民眾，在95％信心水準之下，抽樣誤差正負3.2個百分點。」關於此則報導的解讀與計算，下列何者正確？(信賴區間計算以高中為主)(A)受訪者中對官員施政滿意者有324人，且這次的信賴區間為\([0.328,0.392]\)
(B)若增加樣本數，則信賴區間的長度會增加
(C)95％的信心水準表示對估計出的信賴區間包含母體參數的機率為0.95
(D)在同樣的信心水準之下，若要使信賴區間的長度與抽樣誤差均減為一半，則樣本數應增加為4倍
(E)降低信心水準，可以降低信賴區間的長度與抽樣誤差
是個老問題了，答案給的是ACDE
請問C選項真的正確嗎？
信心水準95%表示的應該是\(P(A)=0.95\)，其中A事件表示
\(A=\{\omega: \bar X-2\sqrt{\bar X(1-\bar X)/n}\leq p\leq \bar X+2\sqrt{\bar X(1-\bar X)/n}\}\)
\(p\) 是母體參數，\(\bar X(\omega)\)簡寫為\(\bar X\)
而信賴區間(就是這次調查出來得到的一次結果) [0.328, 0.392]包含母體參數\(p\)的機率應該是0或1
事實上上面這件事也不適合談機率，他只是個是或否的問題，沒有隨機的成分在
就好像我們在談 2 有沒有介於 1 和 3，我們只會回答是，而不會說機率為1
另外，嚴格來說D選項可能也有問題
樣本數增為4倍後，整體滿意度不一定會維持36%吧! 一旦\(\bar X(1-\bar X)\)改變，長度就不會剛好是一半囉~
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