正八面體的塗色問體
8個顏色塗在正8面體,每面塗一色 有幾種不同的圖案?請教一下,多謝
jack 先將正八面體當作是〝固定〞在空中，不可以任意旋轉翻轉的固體，
恰使用八種顏色塗上八個面，共有 \(8!\) 種方法。
接下來處理因為各種翻轉跟旋轉所導致的重複，
把八面體的某的頂點吊起來，
圖形會是上下有兩個四角錐的組合，
當中有 \(6\) 個點都可以當最下面的那個點，
並且最底下的點確定是哪個點之後，四角錐的底面位置可以依序旋轉 \(4\) 次都是一樣的，
所以，題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{6\times4}.\)
另解，
[img]http://i.imgur.com/TywI9.jpg[/img]
如上圖，當中有 \(8\) 個面都可以當最下面的那個正三角形，
並且最底下的正三角形顏色確定之後，因為最下面是正三角形（正三角形有三個相同邊喔）可以依序旋轉 \(3\) 次都是一樣的，
所以，題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{8\times3}.\) 請問一下 如果題目是6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話 總共會有
6!/(2*2*2) 種塗法嗎??
謝謝 [quote]原帖由 [i]smith[/i] 於 2010-6-11 10:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2163&ptid=798][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問一下 如果題目是6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話 總共會有
6!/(2*2*2) 種塗法嗎??
謝謝 [/quote]
6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話 總共會有 \(\displaystyle\frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。
先把圖形固定，上色有 6! 種，
因為上下可翻轉 2 種，四周可旋轉 2 種，所以每 \(2\times2\) 種配色會是相同一種，
所以共有 \(\displaystyle \frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。
Note: \(\displaystyle \frac{\mbox{看作絕對位置時的塗色數}}{\mbox{可為底面的翻轉數}\times\mbox{四周的旋轉數}}.\)
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