98高雄市聯招
請見附件 1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。補上出處，新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列，求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
的"奧數教程.rar"
3.平面上有一四邊形ABCD，其頂點分別為\( A(0,0) \)，\( B(2,1) \)，\( C(3,4) \)，\( D(-1,7) \)，此平面上另P，Q兩點，使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值，試求P，Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \)，配方法求最小值
\( \overline{AC} \)，\( \overline{BD} \)的交點為Q
二、證明題
1.證明：\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)
102.08.19補充出處
Prove that \( \displaystyle \frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{44} \)
(Canada National Olympiad 1997，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=33&cid=51&year=1997[/url])
補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))
2.給定空間中四面體OABC，其中三邊\( \overline{OA} \)，\( \overline{OB} \)，\( \overline{OC} \)兩兩垂直，若\( a△ABC \)，\( a△OAB \)，\( a△OBC \)，\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \)，\( △OAB \)，\( △OBC \)，\( △OAC \)的面積，試證：\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
補上一題，新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中，棱VA、VB、VC两两垂直，三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证：\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。
提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \)，\( B=(0,b,0) \)，\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \)，\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
109.5.30補充
已知\(2^x+3^y+5^z=7\)，\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\)；若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\)，試求\(t\)的範圍？
109高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html[/url] 請問計算第4題要怎麼做呢?
您好，想請教一下第5題 第7題 第8題如何作
您好，想請教一下第5題 第7題 第8題如何作，謝謝 bugmens 老師Jacobi 一、計算題，第 5 題
已知 \(x,y,z\) 均為實數，且 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} + {3^y} + {5^z} = 7} \\
{{2^{x - 1}} + {3^y} + {5^{z + 1}} = 11} \\
\end{array}} \right.\)，
若 \(t = {2^{x + 1}} + {3^y} + {5^{z - 1}}\)，試求 \(t\) 的範圍.
解答：
令 \(\displaystyle a=2^x, b=3^y, c=5^z\)，則
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b + c = 7} \\
{\displaystyle \frac{a}{2} + b + 5c = 11} \\
\end{array}} \right.\) 且 \(\displaystyle a,b,c>0\)，
得此兩平面部分交線段的參數式 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 0 + 8k} \\
{b = 6 - 9k} \\
{c = 1 + k} \\
\end{array}} \right.\)，
其中 \(\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow 0<k<\frac{2}{3}\)
故，
\(\displaystyle t=2a+b+\frac{c}{5}=\frac{31+36k}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{31}{5}<t<11.\)
第 8 題
設整數數多項式 \(A\left(x\right)\) 除以 \(x^2+1\)，餘式為 \(px+q\)，
若 \(f\left(A\left(x\right)\right)=pi+q\) 恆成立（其中 \(i\) 為虛數單位），
求 \(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}}\) 的值？
解答：
依題意，
因為 \(\displaystyle x^5+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(2x+1\)，
所以 \(\displaystyle f(x^5+x+1)=2i+1.\)
因為 \(\displaystyle x^{10}+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(x\)，
所以 \(\displaystyle f(x^{10}+x+1)=i.\)
故，
\(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}} = \frac{{i }}{2i+1} =\frac{2+i}{5}.\) 3.
平面上有一四邊形\(ABCD\)，其頂點分別為\(A(0,0),B(2,1),C(3,4),D(-1,7)\)，此平面上另\(P,Q\)兩點，使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2\)與\(\overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD}\)均有最小值，試求\(P,Q\)座標。
請教第三題
為什麼\(Q\)為\(\overline{AC}\)和\(\overline{BD}\)的交點?
謝謝 [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-7-11 07:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2427&ptid=797][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝 [/quote]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10[/url]
這位仁兄,問題除了這樣問以外
還可以利用網頁右上角的短消息! 恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎? [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-7-11 11:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2430&ptid=797][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎? [/quote]
不一定要給原作
任何人(包括站主,板主)你都可以問
只要打上相對應的帳號即可
回復 3# omfun 的帖子
4.設有\(n\)個正立方體，邊長分別為\(1,2,\ldots,n\)公分，現在將他們由下而上堆疊起來，可隨機以任意大小順序堆疊，但是若連續堆疊兩個立方體，在上面的立方體邊長超過位在下面立方體邊長2公分，則此堆疊方式將會傾倒(例如：若由下而上是②①③④則可安全堆疊，但①④②③則否)，問能安全堆疊的機率為何？
感謝 Pacers31 指正，下面是錯的...不小心誤會題意了，請往下找解答
解1：
若安全，1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層，那麼必是 3 在 2 上，或沒有東西在 2 上。
因此可類推至由上至下到 1 出現，必為連續正整數的型： \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\)；
接著不看這 k_1 個，我們又會有相同之結論，即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \)；
重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整，第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…
第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)
所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。
所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).
解2：
考慮以逐次插入的方式，依小到大的方式插入。
第一步，放一個 1。
第二步， 2 可選擇在 1 的上方或下方。
第三步，3 可放在 2 上方的位置，或最下。
而不能放在 1 上方的位置，因為往後愈來愈大，不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。
第四步，同上， 4 僅能放在 3 上方的位置，或最下。
...
得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)
因此所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 [/i]]
回復 4# Jacobi 的帖子
第七題：\(\Delta ABC\)為邊長是1的正三角形，\(P\)為三角形內部任意一點，過\(P\)作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\)，\(\overline{FG}\)平行\(\overline{AB}\)，\(\overline{HI}\)平行\(\overline{AC}\)；在空間坐標系上，取\(\overline{OQ}=\overline{PD}\)，\(\overline{OR}=\overline{PE}\)，\(\overline{OS}=\overline{FI}\)，求\(\Delta QRS\)的周長最小值為何？
[解答]
令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\)，則 \( x+y+z=1 \).
\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).
令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \)，則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).
由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).
等式成立為三向量平行，得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。
回復 11# tsusy 的帖子
請教tsusy題目說：連續堆疊的兩個立方體，上面那塊邊長超過下面那塊邊長2公分，會倒
所以題目的意思，能否允許上面邊長剛好比下面邊長多2公分？
題目後面有舉例說，從下到上2,1,3,4是OK的 (也就是3可以放在1的上面)
不過您的作法似乎是不允許3放在1的上面(相鄰且上面)？ (可能我解讀有誤... 還請指教)
舉個例子，例如n=3就好，從下到上任意排應該就3!=6種，這6種應該都不會倒才對 (如此就不會是\(2^{n-1}\)種了)
回復 13# Pacers31 的帖子
感謝指正，您的解讀是對...是我先前解讀錯誤解 2. 的逐次插入法，仍然可以使用，但要從最大的開始放。
理由：如果堆疊完不會倒，那麼 1 的上方至多為 3 (若無，可解釋為 0)
所以把 1 抽出，不會倒，也是說 n 個安全的情形，必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。
而且 n-1 時，堆疊順序不同，再插入新的正立方體，堆疊序必不相同。
先放 n，有 1 種；
再放 n-1，乘 2；
再放 n-2，乘 3；
再放 n-3，乘 3 (最上面，n-1 的下方，及n-2 的下方)
....
最後放 1，乘 3；
故安全的方法有 \( 2\cdot 3^{n-2} \)，因此所求機率為 \( \frac{2\cdot 3^{n-2}}{n!} \)
回復 2# bugmens 的帖子
證明題第一題 \(\displaystyle \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \) (0.0005...<0.0178...<0.0227...)
在網路上看到更好的上下界為:
\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{999}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{\sqrt{3\times999+1}} \) (0.0158...<0.0178...<0.0182...)
一般式: \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}} \) (數學歸納法)
網址:
[url]http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml[/url]
[url]http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml[/url]
P.S.
其中 \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998} \) 的近似值 0.0178... 是由 R 軟體所算出
參考指令為:
x=1:999
for(k in 1:999) x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999) z=z*x[k]
z
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯 [/i]] 1、將與\(105\)互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第\(1000\)項之值。
解答
\(105 = 3 \times 5 \times 7\)，1至105的正整數中，和3互質，和5互質，和7互質的一共有48個。
\(105 \times \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = 48\)
把1至105的正整數，剩下的48個分類。
\(105k + 1,105k + 2,105k + 4,105k + 8, \cdots ,105k + 104\)，共48類 \(k = 0,1,2,3,4,5,6, \cdots \)
\(1000 = 48 \times 20 + 40\)，代表數了20輪迴後，再40個，就是第1000項。
因此進入第21輪迴，此時 \(k\)要帶入 20 計算。
\(105 \times 20 = 2100\), 104是第48類，往回退8類，就是 \(105k+86\)
所以第1000項是2186
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 08:48 PM 編輯 [/i]]
回復 11# tsusy 的帖子
請教第七題，令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi，則周長 =|a|+|b|+|c|
請問為什麼要這樣令？代表的意思是？
感謝。.
回復 16# mathca 的帖子
7. 根號內平方和有距離的味道，所以想到要用三角不等式要怎麼令沒有一定，也可以在坐標平面上取四點
\( A(0,0), B(x,y), C(x+y,y+z), D(x+y+z,y+z+x) \) ( \( D(1,1) \) )
則 \( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \geq \overline{AD} = \sqrt{2} \)
回復 17# tsusy 的帖子
所以這邊令的A、B、C、D點是在圖(一)上？這樣令，我又更看不懂了，D點跑出(1,1)...
想了一整夜，好像想通了(有點冗長，不過是思考過程)，
四邊形ABCD中(不是放在圖一或圖二座標系統上)
原式左邊看成是：AB向量、BC向量、CD向量，三個向量長度相加，
但須滿足 |AB向量|=sqr(x^2+y^2)、 |BC向量|=sqr(y^2+z^2)、 |AB向量|=sqr(z^2+x^2).....故此才會說"座標"令的方法不唯一
四邊形ABCD中，|AB|+|BC|+|CD|>|DA| (要形成四邊形，從A點出發，走到B、走到C、走到D，距離必大於AD直線距離)
故可令其中一種參數路徑為(所以四點座標令法不唯一)：向量AB=(x,y)、向量BC=(y,z)、向量CD=(z,x)，
則：向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=(x,y)+(y,z)+(z,x)=(x+y+z,y+z+x)，
所以：|AB|+|BC|+|CD|>|AD|=|(x+y+z,y+z+x)|
即 sqr(x^2+y^2)+sqr(y^2+z^2)+sqr(z^2+x^2) > sqr[(x+y+z)^2+(y+z+x)^2 ] ，
且滿足題目條件x+y+z=1代入，得證。
[[i] 本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 08:37 AM 編輯 [/i]]
回復 18# mathca 的帖子
沒開題目，沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。總之，我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D，就當作 A',B',C',D' 吧 第2題: \( \displaystyle \frac{2}{3} \)
第6題: \(\displaystyle \theta_0=\frac{6-2\sqrt{6}}{3} \pi \)， \(\displaystyle M= \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \)
想對一下這兩題的答案 謝謝
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