97家齊女中
97家齊 No.9已知正三角形ABC之邊長\(2\sqrt{3}\)，如圖附件所示，若點H為正三角形ABC垂心，在\(\bar{BC}\)邊之延長線上取一點R，則直線\(\bar{HR}\)分別與\(\bar{AB}\)及\(\bar{AC}\)交P、Q兩點，則\(\frac{1}{\bar{HP}}*\frac{1}{\bar{HQ}}*\frac{1}{\bar{HR}}=?\)
97家齊 N0.10
在以原點\(O(0，0，0)\)為球心，半徑為1的單位圓上取一點\(A(a_{1}，a_{2}，a_{3})\)，點A所對的另一點\(B(a_{3}，a_{1}，a_{2})\)有在這單位圓上，則\(\angle AOB\)之最大值為？
以上答題的觀念為何呢？ NO10
假設 \( \angle ABC= \theta \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{ \vec{OA} \cdot \vec{OB} }{\| \vec{OA}\| \times \| \vec{OB}\| } \)
\( \displaystyle \cos\theta=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1 \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-(a_1^2+a_2^2+a_3^2)] \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-1] \)
所以只要找 \( \arrowvert a_1+a_2+a_3 \arrowvert \)最小就好
顯然這個是0，只要在 \( x+y+z=0 \)和 \( x^2+y^2+z^2=1 \)的交圓上取點即可
故\( \displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3} \)
以上是從代數角度來看
若從幾何角度來看
將A變換為B可以看成先對 \( \displaystyle x=y \)做鏡射，再對 \(x=z \)做鏡射
這兩個的合成是繞他們的交線 \( \displaystyle x=y=z \)所做的旋轉
其夾角為\( \displaystyle \frac{\pi}{3} \)
故旋轉角為兩倍\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
要求\(\angle AOB \)最大，就必須以O為旋轉點
就知道最大值為\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 06:51 PM 編輯 [/i]] NO9
\( \displaystyle HA=HB=HC=\frac{\sqrt3}{3} \times 2\sqrt3=2 \)
假設 \( \angle AQH=\theta \)
那麼 \( \angle BRH=60^o+\theta，\angle BRH=60^o-\theta \)
在三角形BPH，\( \displaystyle \frac{HA}{HQ}=\frac{\sin\theta}{\sin30^o} \)
在三角形AQH，\( \displaystyle \frac{HB}{HP}=\frac{\sin(60^o+\theta)}{\sin30^o} \)
在三角形BRH，\( \displaystyle \frac{HB}{HR}=\frac{\sin(60^o-\theta)}{\sin30^o} \)
三式相乘得\( \displaystyle \frac{2}{HP}\times\frac{2}{HQ}\times\frac{2}{HR}=8\sin\theta\sin(60^o+\theta)\sin(60^o-\theta) \)
\( \displaystyle \frac{1}{HP}\times\frac{1}{HQ}\times\frac{1}{HR}=\frac{1}{4}\sin3\theta \)
所以這個結果會跟直線的位置有關，並非一個定值。
知識+有人問，給的答案是 \( \displaystyle \frac{\sqrt3}{8} \)
那麼\( \angle AQH=\theta=45^o \) (如果是\( 15^o \) ，R會在BC線段上)
所以應該是題目少給條件了
[[i] 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 07:08 PM 編輯 [/i]] 我了解，謝謝老王老師 請教王老師
第10題的幾何觀點為何從A到B繞x=y=z旋轉
A對x=y做鏡射與在對x=z做鏡射的夾角為60度
謝謝 先看平面的情況
假設兩直線 \( \displaystyle L_1,L_2 \)夾角為 \( \displaystyle \theta \)，交於O
考慮兩個鏡射的合成 \( \displaystyle R(L_2) o R(L_1) \)
對於點A，假設AO將兩線夾角分成 \( \displaystyle \alpha+\beta \)
那麼由附圖可以看出最後得到的A"滿足
\( \displaystyle \angle{A"OA}=2\theta \)
故此兩鏡射的合成為中心為O的旋轉，旋轉角為夾角的兩倍
要注意的是這個角度是有方向性的
[[i] 本帖最後由 老王 於 2009-7-23 09:14 PM 編輯 [/i]] 謝謝王老師
不過鄭在試圖理解中
97家齊女中
請教第三題，感謝回復 1# mathca 的帖子
第3題這是老梗題了
\(\text{231}0=\text{2}\times \text{3}\times \text{5}\times \text{7}\times \text{11}\)
所求 = \(\frac{{{3}^{5}}-3}{3!}\)
回復 2# thepiano 的帖子
感謝。回復 1# mathca 的帖子
請教填充第7題，感謝。回復 4# mathca 的帖子
也是老梗，關鍵字「一路領先」回復 1# mathca 的帖子
請教填充第10題，感謝。回復 6# mathca 的帖子
第 10 題把\(\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)\)寫成\(\left( a,b,c \right)\)比較好打
\(A\left( a,b,c \right),B\left( c,a,b \right)\)
題目變成
a，b，c 不全相等
\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\)
求 \(\cos \angle AOB=ab+bc+ca\) (餘弦定理) 有最小值時的 ∠AOB
剩下的就簡單了
回復 7# thepiano 的帖子
cos AOB = ab+bc+ca = [ (a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 +c^2) ] / 2 解出來 夾角120度了，感謝。 想問計算1回復 9# acc10033 的帖子
計算 1.原式兩邊同除以(x+2)得 f(x+1)/(x+2)=f(x)/(x+1)+1/2*f(1)+x ,
令 g(x)=f(x)/(x+1)
則g(x+1)-g(x)=(x+1/2*f(1))
=>g(100)=g(1)+(g(2)-g(1))+(g(3)-g(2))+.....+(g(100)-g(99))
=f(1)/2+(1+1/2*f(1))+(2+1/2*f(1))+....+(99+1/2*f(1))
=4950+50f(1)=5025
=>f(100)=101g(100)=507525 laylay老師解的真好，自己急著湊遞迴反而卡在f(x)係數的x+2/x+1不知道怎麼處理
想問第9題
回復 11# BambooLotus 的帖子
第 9 題題目有問題，少了 ∠QRC=20度 這個條件
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-8-22 10:58 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2017-8-22 10:48 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=17872&ptid=2407][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 9 題
題目有問題，少了 ∠QRC=20度 這個條件 [/quote]
偶然看到.....老王老師的詳解....
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=1#pid1473[/url]
106.8.22版主補充
和編號792文章合併
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