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少林寺的和尚武功千變萬化、飛簷走壁,
是過去挑了多少桶水上山?

Isaac 發表於 2009-6-15 20:02

請教一題最大值和最小值

設\(f(x)=\sqrt{9-x^{2}}+\frac{4}{3}x\),\(-3\leq x\leq 3\),當\(x=\alpha \)時,\(f(x) \)有最大值M;當\(x=\beta  \)時,\(f(x) \)有最小值m,則(1)  \((\alpha , M)=?\)  (2) \((\beta , m)=?\)

weiye 發表於 2009-6-15 21:14

令 \(x=3\cos\theta,\forall 0\le\theta\le\pi\),則

\[f(x)=3\sin\theta + 4\cos\theta=
5\left(\frac{3}{5}\sin\theta+\frac{4}{5}\cos\theta\right)=5\sin\left(\theta+\phi\right).\]

其中,\(\phi\) 為銳角,且滿足 \(\displaystyle\cos\phi=\frac{3}{5},\;\sin\phi=\frac{4}{5}.\)



因為 \(0\le\theta\le\pi\),所以 \(\phi\le\theta+\phi\le\pi+\phi\)

[align=center][img]http://i.imgur.com/vpnU2.jpg[/img]
[/align]

如上圖,即為 \(\theta+\phi\) 角度之範圍。


當\(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 時,\(\displaystyle\sin\left(\theta+\phi\right)=1\), 此時 \(f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle M=5\),且
\[\theta=\frac{\pi}{2}-\phi \Rightarrow x=3\cos\theta=3\cos\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=3\sin\phi=\frac{12}{5}.\]

亦即,題意之 \(\displaystyle\left(\alpha,M\right)=\left(\frac{12}{5},5\right).\)


當 \(\theta+\phi=\pi+\phi\) 時,\(\sin\left(\theta+\phi\right)=-\sin\phi=-\frac{4}{5}\),此時 \(f(x)\) 有最小值 \(\displaystyle m=-4\),且
\[\theta=\pi\Rightarrow x=3\cos\theta=3\cdot\left(-1\right)=-3.\]

亦即,題意之 \(\left(\beta,m\right)=\left(-3,-4\right).\)

Isaac 發表於 2009-6-16 00:04

假設的地方不是很懂 為何採取cos 而非sin

為何角度不是\(0\leq \vartheta  \leq 2\pi\)  ?

[[i] 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 12:07 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2009-6-16 08:40

問題一:為蝦咪取 \(\cos\) 而不取 \(\sin\) 呢?......其實[b]都可以.[/b]

\(\cos\theta\) 在 \(\theta\in[0,\pi]\) 剛好是值域為 \([-1,1]\) 的

一對一對應且映成的函數 (One-to-One Correspondence,即 bijection).

如果要把一開始的 \(\cos\theta\) 改成 \(\sin\theta\) 也可以啦,

不過我就會改取定義域為 \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),

這樣剛好對應到值域為 \([-1,1]\) 的一對一對應且映成的函數.








問題二:為蝦咪定義域不放寬到 \(\theta\in[0,2\pi]\) 呢?............因為還要[b]開根號[/b]。



如果取 \(x=3\cos\theta\) 時,則 \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\cos^2\theta}=3\left|\sin\theta\right|\),

此時若 \(\theta\in[0,\pi]\),則 \(\sin\theta\) 是非負的,所以可以直接去掉絕對值。

而在 \(\theta\in(\pi,2\pi)\) 時,\(\sin\theta\) 是負的,去絕對值還要加負號,

讓定義域變大一點,結果反倒導致了不必要的(討論去絕對值的)麻煩。


承問題一,如果取 \(x=3\sin\theta\) 時,則 \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\left|\cos\theta\right|\),

此時因為取 \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),所以 \(\cos\theta\) 是非負的,也可以直接去掉絕對值。

Isaac 發表於 2009-6-16 12:52

謝謝  瑋岳老師  這樣子我明瞭了,放寬了定義域結果得到 最小值為-5的說

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