98北縣高中職聯招
如附件 順便附上 pdf 檔，如附件。 三、計算題2.已知雙曲線C:\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \)，其兩焦點為F,F'。設\( P(x_0,y_0) \)為C上異於頂點的任意點，且設△PFP'的內切圓與x軸切於點M。
(1)求M與兩焦點的距離各是多少？
(2)當\( x_0 \to \infty \)時，內切圓圓心的y坐標之極限值為何？
(1)
設\( M=(x,0) \)
由雙曲線定義\( PF'-PF=(PC+CF')-(PB+BF)=F'M-MF=(x+c)-(c-x)=2a \)
得\( M=(a,0) \)
(2)
由光學性質可知，P點的切線就是FPF'的角平分線，當\( x_0 \to \infty \)時，P點會逐漸靠近漸進線，可將漸進線看成角平分線，又F'M是內切圓的切線，所以OM垂直F'M,故圓心會趨近\( (3,2) \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-6-14 10:11 PM 編輯 [/i]] 填充題
4.設數列\( \langle a_n \rangle \)定義為：\( a_1=1 \)，且當\( n \gt 2 \)時，\(a_n=\Bigg\{\matrix{a_{\frac{n}{2}}+1 (n為偶數) \cr \frac{1}{a_{n-1}}(n為奇數)} \)，已知\( a_n=\frac{30}{11} \)，則 \(n\)=？
化成連分數\( \frac{30}{11}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}} \)
\( a_3=\frac{1}{2} \)，\( a_6=\frac{3}{2} \)，\( a_7=\frac{2}{3} \)，\( a_{14}=\frac{5}{3} \)，\( a_{28}=\frac{8}{3} \)，\( a_{29}=\frac{3}{8} \)，\( a_{58}=\frac{11}{8} \)，\( a_{59}=\frac{8}{11} \)，\( a_{118}=\frac{19}{11} \)，\( a_{236}=\frac{30}{11} \) 向老師們請教下列題目
選擇7,8,9
填充2,3
計算1 選擇題，第7題
題目：
設 \(\displaystyle F\left( x \right) = \int_0^{x^2} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \)，則導函數 \(F'(x)\) 為何？
解：
令 \(\displaystyle H\left( x \right) = \int_0^x {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \)，則 \(\displaystyle H'(x)={\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}}.\)
因為 \(F(x) = H(x^2)\)，所以 \(\displaystyle F'(x) = H'(x^2)\cdot\left(x^2\right)' = {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}\cdot 2x={\frac{2x}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}.\)
選擇題，第 8 題
若 \(A\) 為三階方陣且 \(A^3=2A\)，則何者[u]可能[/u]為 \(A\) 的行列式值？
解：
\(\displaystyle A^3=2A\Rightarrow \det \left( {{A^3}} \right) = \det \left( {2A} \right) \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^3} = {2^3}\left( {\det A} \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {{{\left( {\det A} \right)}^2} - 8} \right)\det A = 0 \Rightarrow \det A = \pm 2\sqrt{2} \mbox{ 或 } 0.\)
選擇題，第 9 題
設 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 為正項收斂級數，則下列何者不一定為收斂級數？
解：
A 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt {{a_n}} } \)：舉反例，取 \(\displaystyle {a_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\)，則
由 \(p\) 級數檢驗法，可知 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，但 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt {{a_n}} } \) 發散.
B 選項 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} \)：因為 \(a_n\) 皆為正數，所以 \(\displaystyle {a_n} \ge \frac{{{a_n}}}{n} > 0\Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} > 0\)
因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，由比較檢驗法，可知 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} \) 亦收斂.
C 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}^2} \)：因為 \(a_n\) 皆為正，且 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，所以 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\)
存在\(k\in\mathbb{N}\)，使得 \(0<a_n<1,\;\forall n\ge k\)，因此 \(0<a_n^2<a_n<1,\;\forall n\ge k\)，
因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，所以 \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} \) 亦收斂，
由比較檢驗法，可知 \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n^2}} \) 收斂 \(\displaystyle \Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n^2}} \) 亦收斂.
D 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n a_{n+1}}} \)：同 C 選項的方法. 老師謝謝你
這份題目 我才拿30分
努力不夠 我再加油 填充題，第 3 題
題目：
在直角坐標平面上，\(O\) 為原點，\(A(2,0),\, B(2,2)\)，向量 \(\overrightarrow{BC}=\left( {\sqrt 2 \cos \alpha ,\sqrt 2 \sin \alpha } \right)\)，
則 \(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為？
解：
對任意的實數 \(\alpha\)， \(C\) 點落在以 \(B(2,2)\) 為圓心，以 \(\sqrt{2}\) 為半徑的圓周上，
自原點往圓 \(C\) 點所在的軌跡（圓）作切線，
設 \(C_1, C_2\) 分別為兩切點，可得 \(\angle BOC_1 = \angle BOC_2 = 30^\circ\)
\(\displaystyle \Rightarrow \angle C_1OA = 45^\circ-30^\circ=15^\circ\) 且 \(\displaystyle \angle C_2OA = 45^\circ+30^\circ=75^\circ.\)
故，\(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為 \(\displaystyle 15^\circ\leq\theta\leq75^\circ.\) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2009-6-13 08:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1423&ptid=780][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
三、計算題
2.已知雙曲線C:\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \)，其兩焦點為F,F'。設\( P(x_0,y_0) \)為C上異於頂點的任意點，且設△PFP'的內切圓與x軸切於點M。
(1)求M與兩焦點的距離各是多少？
(2)當\( x_0 \to \infty \)時，內切圓圓心的y坐標之極限值為何？ ... [/quote]
請問bugmens老師
第2題答案為何(3,-2)不行?
我想若P點在曲線右支x軸下方的點
那麼當x趨近無窮大時,y座標會趨近於-2
疑惑中,可否告知
謝謝
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計算 1(2) 用 \( y = \sin x + \cos x \) 代換，則 \( \sin x \cos x = \frac{y^2-1}{2} \)
(3h) 用 \( y=\sin x - \cos x \) 代換，有點醜，可以寫出 \( \int \frac{1}{3-y^2}dy \)
再進分式積分，詳細過程請見 [url=http://wp.me/p1ORnl-3E]於此[/url]。
這個代換方法不是很漂亮，不知道有沒有其它更高明的手法？ 填充第 1 題
每個箱子都先丟 1 顆，剩 21 顆
兩同有 (10，10，1)、(9，9，3)、(8，8，5)、(6，6，9)、......、(1，1，19)、(0，0，21) 等 10 種
三同有 (7，7，7)
所求 = H(3，21) - 10 * 3 - 1 = 222 種
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