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ksjeng 發表於 2009-6-3 22:48

二位數中,立方後末二位數和原數相同的有哪些?

[font=新細明體][size=12pt]二位數中,立方後末二位數和原數相同的有哪些[/size][/font][size=12pt]?[/size]

eggsu1026 發表於 2012-3-3 01:52

這題的答案有24、25、49、51、75、76、99,共有 7 個
這用Excel列個表就看得出來了……(笑)

不用Excel的話,先設 n = 10 a + b先考慮個位數的話,b^3 ≡ b (mod 10)
所以 b = 0 ,1 , 4 , 5 , 6 , 9

接下來考慮末二位
由 n^3 ≡ 10 a + b (mod 100)
得 30 a b^2 + b^3 ≡ 10 a + b (mod 100)
將上述 6 種 b 值代入,求 a 即可得解……

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我有想過用 x^3 ≡ x (mod 100)
推得 x^3 - x ≡ 0 (mod 100)
所以 x(x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 100)
所以也可以用連三數相乘是 100 倍數
則三數的中位數 x 就是解
不過這個方法不知道怎樣比較快?
總不能 99 個數字一個個代入吧!

eggsu1026 發表於 2012-3-13 02:31

剛想到 (x-1)x(x+1) 三數中,必有一數有 25 為因數,能提供 5^2 才可能是 100 的倍數
當 x-1 = 25 時,x = 26、x+1 = 27,三數相乘不是100的倍數
當 x = 25 時,x-1 = 24、x+1 = 26,三數相乘是100的倍數
當 x+1 = 25 時,x-1 = 23、x = 24,三數相乘是100的倍數

當 x-1 = 50 時,x = 51、x+1 = 52,三數相乘是100的倍數
當 x = 50 時,x-1 = 49、x+1 = 51,三數相乘不是100的倍數
當 x+1 = 50 時,x-1 = 48、x = 49,三數相乘是100的倍數

當 x-1 = 75 時,x = 76、x+1 = 77,三數相乘是100的倍數
當 x = 75 時,x-1 = 74、x+1 = 76,三數相乘是100的倍數
當 x+1 = 75 時,x-1 = 73、x = 74,三數相乘不是100的倍數

當 x+1 = 100 時,x-1 = 98、x = 99,三數相乘是100的倍數

由以上討論得 x= [size=12px]24、25、49、51、75、76、99,共有 7 個[/size]

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