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ksjeng 發表於 2009-6-3 22:21

球的問題

一半徑為1的球面上有甲乙丙三點,甲坐標為\( (1,0,0) \),乙坐標為\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \),已知丙在甲乙最短距離的一半處,求丙坐標?
[解答]
設丙\( (a,b,c) \),且\( a^2+b^2+c^2=1 \),甲乙中點為\( \displaystyle (\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \),再來我就卡住了

110.8.15補充
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點,且球面上兩點\(P\)、\(Q\)座標分別為\(\displaystyle P(1,0,0),Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\),沿著球面行進,於\(PQ\)最短路徑中取一點\(R\),使得弧\(PR\):弧\(QR=1:3\),試求\(R\)點座標。
(1092中山大學雙週一題第6題,[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2021s/1092Q&A.htm[/url])

weiye 發表於 2009-6-3 23:18

題目應該有漏掉〝此球的球心為原點〞,

不然答案應該是不唯一。

設此球的球心為原點 \(O\),

甲的坐標 \(A(1,0,0)\),乙的坐標  \(B \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\),

丙的坐標 \(C\),



\(\displaystyle\overrightarrow {OC} = \frac{\left(\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB}\right)}{\left|\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB}\right|} \)

可得 \(\overrightarrow {OC}\),

可得 \(C\) 點坐標。







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以下補上題目的文字敘述,方便後人[b]搜尋[/b]

有一球面的半徑為 \(1\),球心為原點,

球面上有甲、乙、丙三點座標,甲座標為 \((1,0,0)\),

乙座標為 \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\),

已知丙在甲乙最短距離的一半處,求丙點座標。

ksjeng 發表於 2009-6-4 00:02

老師
我的確漏掉
但您這個方法是利用單位向量嗎
那中點就是煙霧彈 是不是這個道理啊

weiye 發表於 2009-6-4 00:17

如果要先求 \(A, B\) 的中點 \(M\),

再利用 \(\overrightarrow {OC} = \frac{\overrightarrow {OM} }{\left|\overrightarrow {OM} \right|}\),

也可以啦。

Isaac 發表於 2009-6-4 00:40

若非單位圓時,
設甲、乙中點為M
則\(\overleftrightarrow{OM} = \left [ \begin{array}{ll} x=\frac{ 3}{ 4}t &  \\ y= \frac{ 1}{ 4}t  &, t \in R \\   z=\frac{ \sqrt[ ]{2 }}{ 4}t   \end{array} \right ] \)

丙\( \left (  \frac{ 3}{ 4}t, \frac{ 1}{ 4}t, \frac{  \sqrt{2 } }{ 4}t,   \right ) \)

帶入球方程式,解 t 可得丙座標

ksjeng 發表於 2009-6-4 17:14

老師謝謝您

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