97附中第二次填第12題
模的題目在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？
註( )中的數字表示下標
此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何 [quote]原帖由 [i]ksjeng[/i] 於 2009-3-13 04:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1188&ptid=707][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？
註( )中的數字表示下標
此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何[/quote]
已知
\[x_1 +2x_2 \equiv 9 \pmod{26} ......（1）\]
\[3x_2 \equiv 16 \pmod{26} ......（2）\]
\[x_3 +2x_4 \equiv 23 \pmod{26} ......（3）\]
\[x_4 \equiv 12 \pmod{26} ......（4）\]
先找尋 \(3\) 的乘法反元素，先找尋 \(3x+26y=1\) 的任何一組整數解，
（可以利用 \(3\) 跟 \(26\) 作輾轉相除法，或是尤拉法，或是直接聯想都可以）
解得 \(3\times 9 + 26\times \left(-1\right) =1\) ，因此
\[3\times 9 \equiv 1 \pmod{26}\]
也就是找到了 \(\pmod {26}\) 的完全剩餘系統（complete residue system）中， \(3\) 的乘法反元素是 \(9\)，
在（2）與（4）中，左右同時乘上 \(9\)，可得
\[ 27 x_2 \equiv 144 \pmod{26} ⇒ x_2 \equiv 14 \pmod{26}\]
\[27 x_4 \equiv 108 \pmod{26} ⇒ x_4 \equiv 4 \pmod{26}\]
再帶入在（1）與（3）中，可得
\[x_1 \equiv 9 -2 x_2 \equiv -19 \equiv 7 \pmod{26}\]
且
\[x_3 \equiv 23 -2x_4 \equiv 15 \pmod{26}\]
因此，可得 \(x_1, x_2, x_3, x_4 \pmod{26}\) 分別同餘到 \(7,14,15,4\)
也就是，對應到字母 \(h, o, p, e\).
以上是利用整數論中的同餘，來解題的。 數論功力果然深厚
我是使用
[color=red]若[/color][color=red]a≡b(mod m)則m|a-b的定理[/color]
97師大附中第二次
2.平面上的格子點(\(x,y\)座標均為整數的點)到直線\(\displaystyle y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}\)的距離中最小值為[u] [/u]。
請教如何解題
97師大附中第二次
我設法畫出梯形後就卡住了題目的所求應改為線段BC=[color=red]8[/color][color=black]吧?
在四邊形ABCD中，\( \overline{AD}// \overline{BC} \)，\( ∠D=2∠B \)，\( \overline{AD}=3 \)，\( \overline{CD}=5 \)，則\( \overline{AD}=8 \)。
[/color][img]http://farm4.static.flickr.com/3033/3552160638_4cf2cfbae2_o.jpg[/img] 在四邊形 \(ABCD\) 中，\(AD//BC,\;\angle D = 2\angle B,\;\overline{AD}=3,\;\overline{CD}=5\)，則 \(\overline{AB}\)＝？
或許題目寫錯了吧。 ^__^ 老師好
經過您與亞斯老師的確認
都認為題目出錯了
我心中大石就可以放下了
謝謝您喔 經亞斯老師協助
使用\(ax+by=(a,b)\)時有整數解來解題
謝謝老師們無私的付出
回復 2# ksjeng 的帖子
這題目該如何下筆？寸絲講義的提示是\(5x-3y-4=0\)剛剛算出來了。。晚點空堂，把答案貼上來。
回復 3# shingjay176 的帖子
一個筆誤，我把常數項不小心寫錯了應為 \( 5x - 3y + \frac{12}{5} =0 \)，因 3,5 互質，可得 \( 5x-3y \) 的取值範圍為所有整數
故所求 = \( \displaystyle \frac{\frac25}{\sqrt{5^2+3^2}} = \frac{\sqrt{34}}{85}\) 借串貼個原檔案及個人算的一些答案
另外想請問第3題
1.(12,2)
3.
4.\(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{7}}{2} \)
5. 6
6.\(\displaystyle \frac{1}{3} \)
7.\(\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}} \)
8.\(\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2} \)
9. 2
10. 71
11. \(\displaystyle \frac{4}{3} \)
12.HOPE
13.\(\displaystyle \frac{2007}{2} \)
14.\(k>1,k \neq 3 \)
15.C
計算1.(B)無
3.\(a=15,b=-16 \)
\(\alpha=1 \)
110.01.23版主補充
將當年題目和答案附上。
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-1-24 13:51 編輯 [/i]]
回復 5# satsuki931000 的帖子
版主有提供答案了，您可以對一下第 3 題
AB 不是定值，應是求 BC，才會符合官方給的答案 8
回復 5# satsuki931000 的帖子
3. 題有誤，非定值如下圖 [attach]5723[/attach]
D 可在圓上移動
C 可在圓上移動
CB 直線平行 AD
DE 為 \( \angle ADC \) 之分角線
AB 直線平行 DE
移動 C, D，可觀察出 AB 長非定值
5. 6
10. 71 感謝兩位老師的幫忙與指正
頁:
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