98彰化女中
試題及答案，於附件。以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 57分
68分 1人，63分 1人，61分 1人，57分 4人
其他，
50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考 2人
共計 182 人 3.甲乙二人競選三年子班班長，全班42人，每人一票，沒有廢票，最後甲以24:18當選。問開票過程中，甲一路領先的機率為何？
(24-18)/(24+18)=1/7
戴久永 機率名題二則漫談
[url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html]http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html[/url]
7.若\( 0<θ<\frac{π}{2} \)，則\(\displaystyle \frac{2}{sinθ}+\frac{3}{cosθ} \)的最小值為？
(72年大學聯考)
廣義的科西不等式
[url=https://math.pro/db/thread-661-1-1.html]https://math.pro/db/thread-661-1-1.html[/url]
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=455]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=455[/url]
9.方程式\( (x^2-3x+1)^{x+1}=1 \)有幾個整數解？
補充一題
How many integers x satisfy the equation \( (x^{2}-x+1)^{x+2}=1 \)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)none of these
(1985AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1985_AHSME_Problems/Problem_21[/url])
111.6.11補充
滿足\((x^2-21x+109)^{x^2-212x+2020}=1\)的所有實數\(x\)之總和為[u] [/u]。
(109高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3467&page=1#pid22176[/url])
11.求過\( P(\frac{3}{2},3) \)而與拋物線τ:\( y=-x^{2}+4x-3 \)相切的二切線與拋物線τ所圍區域的面積為？
切線2x+y=6切點(3,0)，切線4x-y=3切點(0,-3)
110.7.31補充
設拋物線\(\Gamma\)：\(y=x^2+x+1\)，由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\)，求\(\Delta ABC\)的面積。
(110嘉義高中，[url]https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html[/url])
111.4.24補充
設函數\(f(x)=x^2-x\)的圖形為\(\Gamma\)，且\(Q(2,1)\)為\(\Gamma\)外一點，已知過\(Q\)點有兩條直線與\(\Gamma\)相切，求\(\Gamma\)與這兩條直線所圍成的區域面積為[u] [/u]。
(111嘉義高中，[url]https://math.pro/db/thread-3630-1-1.html[/url])
12.\( f(x)=x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx-13 \)，a,b,c,d \( \in R\)，若f(x)=0有四個虛根\( r_{1} \)，\( r_{2} \)，\( r_{3} \)，\( r_{4} \)，滿足\( r_{1}+r_{2}=1-i \)，\( r_{3}r_{4}=2-3i \)，則2a+b+c+d=？
a,b,c,d為實數,已知方程式\( x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為13+i,另二根的和為3+4i,求a,b的值
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565 連結已失效
15.正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d)，a+c=4(b+d)，a+d=5(b+c)，求a可能的最小值為？
\( a=\frac{83d}{17} \)，\( b=\frac{7d}{17} \)，\( c=\frac{13d}{17} \)取d=17得a=83最小值
17.設\( z=cosα+isinα \)，\( ω=cosβ+isinβ \)，且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \)，求tan(α+β)之值為？
(95新竹高商)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793 連結已失效
若有兩複數分別為\( z=cosα+isinα \)，\( ω=cosβ+isinβ \)，且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \)，求tan(α+β)之值？
(94學年度高中數學能力競賽台南區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_Tainan_02.pdf 連結已失效
二、填充計算題
1.求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
趣题：求两圆柱相交部分的体积
[url]http://www.physixfan.com/archives/445[/url]
106.8.10新增
[attach]4246[/attach] 1. \(x^{2009}\) 除以 \( (x-1)^2(x^2+1) \) 所得餘式為何？
解：
\(x^{2009} = \left\{\left(x-1\right)+1\right\}^{2009}\) 用二項式定理展開，
得 \(x^{2009}\) 除以 \(\left(x-1\right)^2\) 之餘式為 \(2009x-2008\)，
設 \(x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008\)
\(x=i\) 帶入上式，找出 \(a,b\)，即可得所求.
2. 以 \(O\) 為圓心的圓上有 \(n\) 個相異點，依序為 \(A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n\)，此 \(n\) 個點將圓分割為 \( A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1\) 等 \(n\) 個扇形區域。在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 \(S(n，m)\) ，若 \( S(n+2，m)=p\cdot S(n+1，m)+k\cdot S(n，m)\)，求 \(p-k\) 之值.
解：
為方便說明，令題目所述的 \(n\) 個區域為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，
i. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 同色，則
\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-2,m)\) 種塗法，
且 \(a_n\) 有 \(m-1\) 種上色法，
所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-1)\cdot S(n-2,m)\) 種塗法.
ii. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 異色，則
\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-1,m)\) 種塗法，
且 \(a_n\) 有 \(m-2\) 種上色法，
所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-2)\cdot S(n-1,m)\) 種塗法.
由 i & ii，可得 \( S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1，m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).\)
故，\(p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.\)
註：其它相關資料 [url=https://math.pro/db/thread-499-1-4.html]https://math.pro/db/thread-499-1-4.html[/url]
8. 擲一公正骰子，直到 \(6\) 點出現第 \(3\) 次才停止，設 \(X\) 表至停止時所投擲的次數，求 (1) \(P(X=5)=?\) ，(2) \(E(X)=?\)
解：
(1) \(P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.\)
(2) 出現 \(6\) 的點機率為 \(\displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.\)
\(\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.\)
10. (2) \(I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?\)
解：
令 \(S=I+A+A^2+A^3+\cdots\)，則 \(AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots\)，
兩式相減，可得 \(\left(I-A\right)S = I\)，
則可得 \(\displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}} \\
{\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}} \\
\end{array}} \right).\)
18. 求滿足 \((x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9\) 之所有點 \(P(x,y)\) 所表區域面積.
解：
\(P(x,y)\) 到 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) 的距離為 \(3.\)
\(\Rightarrow P\) 到圓 \(x^2+y^2=2^2\) 的距離為 \(3.\)
畫圖，可得 \(P\) 在圓 \(x^2+y^2=5^2\) 的邊界或內部區域，
並且位在圓 \(x^2+y^2=1^2\) 的邊界或外部區域，
可得面積為 \(\left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.\)
（感謝 [url=https://math.pro/db/space-uid-272.html]p75545[/url] 老師提醒！）
[img]http://i.imgur.com/Aq87i.jpg[/img] 瑋岳大~~
您10.答案好像不對唷
S=(I-A)^-1
不知道怎麼打數學方程式>"< 感謝呀。 ^__^
眼花將兩式相減的結果由 \(I\) 看成 \(A.\)
上篇回文已改正，感恩、感恩。 ^__^ 瑋岳老師
請問在第2題裡
在 [i][font=Times New Roman][size=4]m[/size][/font][/i] 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?
還是其他表示? 可否告知
謝謝 總覺得 他公佈計算第2題的答案 怎麼也求不到~~很傷腦筋 也很懷疑他是不是算錯了 還是我錯了??? 檢視很久，找不出來
答案應該為\( \displaystyle 2\pi(16+\frac{100sin^{-1}\frac{3}{5}}{3})\)不帶公式，怎麼算都是這個
帶公式還是這個
\( \displaystyle \frac{224\pi}{3}\)到底是怎麼來的??不懂
橢圓表面積計算方式
h ttp://ocw.nctu.edu.tw/discuss/viewtopic.php?CID=56&Topic_ID=281 連結已失效 計算第一題
大約是這樣
寫出x ，y， z範圍
\(0 \leq x \leq \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)
\(0 \leq y \leq 1\)
\(z= \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)
重積分先對x積分 然後對y積分
此為第一卦限(first octant)的值
所以記得乘上8
如附件 請問第 6 題除了硬算之外有比較好的作法嗎？ 謝謝！
求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ? [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-5-22 11:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1310&ptid=741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?
還是其他表示? 可否告知
謝謝[/quote]
在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 \(S(n，m).\)
小弟上面的解法，是當作顏色可以重複使用。
^_^ [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-5-22 11:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1310&ptid=741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?
還是其他表示? 可否告知
謝謝 ... [/quote]
個人以為這個\( S(n,m) \)只是因為有\( n \)塊區域與要用\( m \)種顏色的方法數代號，與C或是H等符號無關
就好像矩陣中會用\( a_{i,j} \)表示是一樣的。 [quote]原帖由 [i]armopen[/i] 於 2009-5-23 10:50 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1316&ptid=741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問第 6 題除了硬算之外有比較好的作法嗎？ 謝謝！
求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ? [/quote]
拋磚引玉一下
\(\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
考慮
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kC_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}nC_{k-1}^{n-1}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle =nx\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k} \)
\(\displaystyle =nx(x+y)^{n-1} \)
所以
\(\displaystyle 1*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+2*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+10*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle =10*(\frac{1}{6})(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{9}=\frac{10}{6} \)
再考慮
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{n}k(k-1)C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle =\sum_{k=2}^{n}n(n-1)C_{k-2}^{n-2}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle =n(n-1)x^2\sum_{k=0}^{n-2}C_{k}^{n-2}x^{k}y^{n-2-k} \)
\(\displaystyle =nx^2(x+y)^{n-2} \)
所以
\(\displaystyle (1^2-1)*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+(2^2-2)*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+(10^2-10)*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle =10*9*(\frac{1}{6})^{2}(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{8}=\frac{15}{6} \)
由上面兩式得到求值式為 \(\displaystyle \frac{15}{6}+\frac{10}{6}=\frac{25}{6} \)
初次嘗試使用jsMath發文，如果有錯誤或是關於Sigma的表示應該用別的方式，請瑋岳老師指導一下
還是可以直接從我的電腦上傳圖檔?? 關於17題有個小小的看法
\( z+w+(-(z+w))=0 \)
所以這三個構成封閉三角形，而長度皆為1，故為正三角形
如果我們令 \(\displaystyle \frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \) 的輻角為 \( \theta \)
那麼有 \( \alpha+\beta=2\theta \)
接下來用tan的兩倍角公式就好了 關於11題求拋物線與兩切線間面積的問題，提供一個性質，計算起來比較簡單(不必積分，當然，如果對積分熟練的人就不必要了)
令拋物線\( \Gamma \) 外一點P，過P作\( \Gamma \)的兩切線PA和PB，其中A和B是切點。
過P且平行於\( \Gamma \)對稱軸的直線交\( \Gamma \)於C，交AB於D
那麼有\( PC=CD \)以及\( AD=BD \)
以及\( \Gamma \)與弦AB所圍的拋物線弓形面積與三角形ABC的關係是
弓形面積=\( \frac{4}{3}(ABC) \)
=\( \frac{2}{3}(PAB) \)
剩下的部份就是 \( \frac{1}{3}(PAB) \)
110.8.15補充
設拋物線\(\Gamma\)：\(y=x^2+x+1\)，由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\)，求\(\Delta ABC\)的面積。
(110嘉義高中，[url]https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html[/url]) 求\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}cos^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2^2}cos^2 \frac{x}{x^3}...cos^2 \frac{x}{2^n} \)
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935[/url]
相同的技巧也可以用在這題
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \)，試證\( -1<S_n<0 \)。
(出處忘記了，以後再補上)
100.9.3補充
這題出自72年大學聯考
「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感 陳昭地
[url]https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d123/12320.pdf[/url]
以下這題也是cos連乘，但解題的技巧不同
試證\( \displaystyle cos(\frac{1}{2})cos(\frac{1}{3})...cos(\frac{1}{n})>\frac{2}{3} \)。
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=37175 連結已失效 請問第5題怎麼做 ? 第 5 題
\(P\) 為橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上一點(不為端點)，一魔力光點自 \(P\) 向橢圓一焦點 \(F\) 射出，在到達 \(\overline{PF}\) 中點 \(M\) 時，
會朝橢圓中心 \(O\) 折射而去，求此魔力光點自 \(P\) 經 \(M\) 到達 \(O\) 之最短路徑長________。
解答：設另一焦點為 \(E\)，連接 \(\overline{PE}\)，如下圖：
[align=center][img]http://i.imgur.com/1h0I1.png[/img][/align]
在 \(\triangle PEF\) 中，因為 \(M,O\) 分別為 \(\overline{PF}\)、\(\overline{FE}\) 之中點，
因此 \(\displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE}\) 且 \(\displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}\)。
故，\(\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.\) 請問各位老師第四題怎麼做？
想了很久沒有頭緒 4.直角三角形△ABC三邊長\( a \le b \le c \)，若\( log a^2+log b^2=log c^2 \)，則a之最大可能值為？
[解答]
\( a^2 b^2=a^2+b^2 \)
令\( x=a^2 \)，\( y=b^2 \)
可看成坐標平面上\( xy=x+y \)，\( x \le y \)，\( x,y \ge 0 \)的線性規劃
x最大值在雙曲線的頂點\( (x,y)=(2,2) \) 謝謝老師