請教一軌跡問題
在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式謝謝 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-5-14 12:31 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1273&ptid=738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式
謝謝 [/quote]
若 \(C\) 與 〝\(A\) 或 \(B\)〞 都不是同一點.
Part 1:
以下欲證明 \(\overline{AP}=\overline{AB}\),亦即要證 \(\angle CBA = \angle CPA.\)
如下圖,設 \(D\) 為 \(L_1\) 與 \(L_2\) 的交點,連 \(\overline{AC}\),則
[align=center][img]http://i.imgur.com/ljO1q.jpg[/img]
[/align]
在 \(\triangle ACD\) 中,因為 \(\angle ADC=90^\circ\),所以 \(\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD.\;..........(1)\)
在 \(\triangle ACP\) 中,因為 \(\angle ACP=\angle ACB =90^\circ\),所以 \(\angle CPA = 90^\circ - \angle CAP.\;........(2)\)
由 \((1), (2)\),可得 \(\angle CPA = \angle ACD\),且因為 \(\angle ACD= \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\) (弦切角)
所以, \(\angle CPA =\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\;........ (3)\)
而 \(\angle CBA=\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\) (圓周角)\(........(4)\)
由 \((3),(4)\),可得 \(\angle CBA = CPA \;\Rightarrow\; \angle APB\) 為等腰三角形,得 \(\overline{AP}=\overline{AB}.\)
亦即 \(P\) 在〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑,以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上.
Part 2:
反之,設 \(P\) 為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑,以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上之任意點,
且 \(P\) 異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.
連接 \(\overline{CB}\) 使之交已知小圓於 \(C\),過 \(C\) 作 \(\overline{CD}\) 垂直 \(\overline{AP}\) 於 \(D\) 點,
(下寫的比較簡略)
可得 \(\angle DCA = \angle CPA =\angle CBA = \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\),
亦即 \(\angle DCA\) 為弦切角 \(\Rightarrow\; \overleftrightarrow{CD}\) 為切線.
故,〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑,以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上的任意點,
只要異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞,都會滿足題目要求的 \(P\) 的條件.
若 \(C\) 可為 \(A\) 或 \(B\),則分別可得 \(P\) 為 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.
故,\(P\) 點軌跡圖形為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑,以 \(A\) 為圓心的圓〞. 謝謝瑋岳老師提供這麼精彩的幾何解
裡面有些疑惑想請教老師一下
為何----在 [size=4]Δ[i][font=Times New Roman]ACP[/font][/i][/size] 中,
∠[i]ACP[/i]=∠[i]ACB[/i]
謝謝 因為 \(\overline{AB}\) 是直徑,所以 \(\angle ACB = 90^\circ\) (半圓的圓周角),
\(\Rightarrow \; \angle ACP = 180^\circ - \angle ACB = 90^\circ\),
所以 \(\angle ACP = \angle ACB.\) 何不將C點和AB中點(圓心)連接起來 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2009-5-18 08:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1289&ptid=738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
何不將C點和AB中點(圓心)連接起來 [/quote]
好方法,將 \(C\) 與 \(\overline{AB}\) 的中點(稱 \(O\)) 連起來,
因為 \(\overline{CO}\perp L_1\) (\(L_1\) 為切線) 且 \(L_2 \perp L_1\),
所以 \(\overline{CO}//\overline{AP}\),
且因為 \(O\) 為 \(\overline{AB}\) 的中點,
則 \(\overline{AP} = 2 \overline{CO} = \overline{AB}.\)
^__^ 啊,這樣是很好啦,不過我原本的意思是
BP=2BC
所以這是一個以B為心,放大率為2的相似變換
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