98 師大附中(頁 1) - 高中的數學 - Math Pro 數學補給站

weiye 發表於 2009-5-9 23:19

98 師大附中

98年師大附中教甄數學科

1. \(\displaystyle f(x)=\sqrt {{4^x} - 5 \cdot {2^{x + 1}} + {x^2} - 4x+ 29}  - \sqrt {{4^x} - {2^{x + 3}} + {x^2} - 2x + 17} \) 之最大值？

2.  已知 \(\triangle ABC\) 中， \(\overline {AB}  = \sqrt 5 ,\overline {BC}  = \sqrt 6 ,\overline {AC}  = \sqrt 7 \)， \(\overleftrightarrow{BD},\, \overleftrightarrow{CE} \) 分別平分 \(\angle B,\angle C\) ，
且 \(\angle ADB={90^\circ },\,\angle AEC = {90^\circ }\) ，如圖，則 \(\overline {DE}  = ?\)

[img]http://i.imgur.com/ObvMb.jpg[/img]

3. 若 \(a,b,c,abc\) 是不等於 \(1\) 的正數，且 \(\displaystyle{\log _a}27 + {\log _b}27 + {\log _c}27 = {\log _{abc}}27\)，
　求 \(\displaystyle{(abc)^2} - abc(a + b + c) + (ab + bc + ac) = ?\)

4. 數列 \(\left\{a_n\right\}\) 中，已知 \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} > {a_n}\)，且 \(a_{n + 1}^2 + a_n^2 + 4 = 2{a_{n + 1}}{a_n} + 4{a_{n + 1}} + 4{a_n}\)，則一般項  \({a_n} = ?\)

5. 坐標空間中四面體 \(ABCD\) 的頂點分別是 \(A(3,1,2),\, B(3,0,0),\,C(0,2,0),\,D(0,0,6)\)，
　已知平面 \(E\) 通過 \(\overline {AB}\) 與 \(\overline {CD} \) 中點且 \(A,\, B,\, C,\, D\) 四個頂點與平面 \(E\) 的距離皆相等，
　則平面 \(E\) 的方程式為？

6. 設 \(f(x)={x^{12}} + 7{x^{11}} + 1\)， \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{12}}\) 為 \(f(x)=0\) 的 \(12\) 個相異根，求 \(\prod\limits_{i = 1}^{12} {(x_i^2 - {x_i}} + 1) =?\)
　（符號說明： \(\prod\limits_{i = 1}^{n} x_i=x_1x_2x_3\cdots x_n\) ）

7. 已知 \(A,B,C\) 為 \(\triangle ABC\) 的三內角，若 \(A = a\) 時， \(\left(\sin B + \sin C\right)\cos A\) 有最小值，則：
(1)  最小值發生時， \(\triangle ABC\) 為何種三角形？
(2)  \(a=?\)

8. (1) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_2} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }  = ?\)
　(2)  \(\displaystyle\sum\limits_{{n_{10}} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_9} =0}^{{n_{10}}} { \cdots \sum\limits_{{n_2} = 0}^{{n_3}}{\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }} }  = ?\)

9. 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB} = 5,\, \overline{BC} = 6,\, \overline{AC} = 7\)，\( \overline{AD} = \overline{DE} =\overline{EB}\)，\(\overline{BF} = \overline{FG} = \overline{GC}\)，如圖，
　則 \(\triangle CHI\) 的面積為何？

[img]http://i.imgur.com/kFqrk.jpg[/img]

10. 已知連續隨機變數 \(X\) 的機率密度函數（[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function]Probability Density Function[/url]） \(f (x)\)為
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
a{x^2} + bx + c,& 0 < x < 1 \\
0, &x \le 0 \mbox{ 或 } x \ge 1 \\
\end{array} \right.,\]
　且 \(x\) 的期望值 \(E[X] = \frac{1}{2}\)， \(X\) 的變異數 \(Var(X) = \frac{3}{{20}}\)，

　則 \(a + b + c = ?\)

11. 下列五項是數學教師在課堂上的一些行為：
　　(1) 上課生動活潑；(2) 上課進度顧慮到學生的理解程度；
　　(3) 善用各種教具；(4) 在上課中特意出挑戰題，提升學生的學習興趣；
　　(5) 上課留時間給學生互相討論。請問哪兩項是高中生認為一位理想數學教師
　　為引起學生學習動機最應有的行為？＿＿＿＿與＿＿＿＿（請填入項目的編號）。

12. 請寫出高中數學教師在教新的數學概念時最應該盡量使用的三種數學表徵方式.

13. 請寫出高中數學教師在課堂上最能有效引動學生數學思考的三項教學行為.

註：

1. 感謝 [url=https://math.pro/db/space-uid-228.html]pgcci7339[/url] 老師，於第一時間提供的題目！！ ^__^

2. 2009/05/19 師大附中公布試題及答案，

　故重新上傳為師大附中公布的版本。

[color=White].[/color]

bugmens 發表於 2009-5-10 06:15

\( a_{n+1}^2+a_{n}^2+4=2a_{n+1}a_{n}+4a_{n+1}+4a_{n} \)......(1)式
\( a_{n}^2+a_{n-1}^2+4=2a_{n}a_{n-1}+4a_{n}+4a_{n-1} \)......(2)式
(1)式－(2)式得
\( a_{n+1}^2-a_{n-1}^2=2a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})+4(a_{n+1}-a_{n-1}) \)

\( (a_{n+1}+a_{n-1})(a_{n+1}-a_{n-1})-2a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})-4(a_{n+1}-a_{n-1})=0 \)

\( (a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}+a_{n-1}-2a_{n}-4)=0 \)

得到\( a_{n+1}+a_{n-1}-2a_{n}-4=0 \)，\( (a_{n+1}-a_{n})-(a_{n}-a_{n-1})=4 \)

令\( b_n=a_{n}-a_{n-1} \)，\( n>1 \)，\( b_2=a_{2}-a_{1}=8-2=6 \)

列出遞迴式
\( b_{n}-b_{n-1}=4 \)
\( b_{n-1}-b_{n-2}=4 \)
...
\( b_{3}-b_{2}=4 \)

以上的式子相加\( b_{n}-b_{2}=4(n-2) \)，\( b_{n}=4n-2 \)
列出遞迴式
\( a_{n}-a_{n-1}=4n-2 \)
\( a_{n-1}-a_{n-2}=4(n-1)-2 \)
...
\( a_{2}-a_{1}=4*2-2 \)

以上的式子相加\( a_{n}-a_{1}=\frac{n-1}{2}(4n-2+6) \)，\( a_{n}=2n^2 \)

111.4.19補充
設一數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}>a_n(n\in N)\)且\((a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)\)。令\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=\)[u]　　　[/u]。
(111台中一中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=1#pid23757[/url])

bugmens 發表於 2009-5-10 06:47

1.
\( \sqrt{(2^x-5)^2+(x-2)^2}-\sqrt{(2^x-4)^2+(x-1)^2} \)

\( \sqrt{(x-2)^2+(2^x-5)^2}-\sqrt{(x-1)^2+(2^x-4)^2} \)
看成A(2,5)，B(1,4)，\( y=2^x \)上一點\( P(x,2^x) \)求\( \overline{AP}-\overline{BP} \)的最大值
利用三角不等式\( \overline{AB}>\overline{AP}-\overline{BP} \)
當A,B,P連成一直線時有最大值\( \sqrt{2} \)

101.6.17補充
[url=http://blog.xuite.net/ginwha/school/28573069]http://blog.xuite.net/ginwha/school/28573069[/url]

bugmens 發表於 2009-5-10 07:39

3.
\( log_a 27+log_b 27+log_c 27=log_{abc}27 \)

\( \frac{1}{log_{27} a}+\frac{1}{log_{27} b}+\frac{1}{log_{27} c}=\frac{1}{log_{27} abc}=\frac{1}{log_{27} a+log_{27} b+log_{27} c} \)

令\( x=log_{27}a \)，\( y=log_{27}b \)，\( y=log_{27}c \)

得到\( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \)，\( \frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z} \)，\( (xy+yz+zx)(x+y+z)=xyz \)
可看成\( f(x,y,z)=(xy+yz+zx)(x+y+z)-xyz \)，\( x=-y \)，\( y=-z \)，\( z=-x \)均為0
\( f(x,y,z)=λ(x+y)(y+z)(z+x)=0 \)
取\( x=-y \)，\( log_{27}a=-log_{27}b \)，\( ab=1 \)代入\( (abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ac)=1 \)

類似的題目請一併準備
設a,b,c為異於1之正數，且\( log_{a} 10+log_{b} 10+log_{c}10=log_{abc}10 \)，則
\( (abc)^{4}-(abc)^{2} (a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}= \)
(高中數學101　P95)
證明:如果實數a,b,c滿足關係式\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \)，則對任意奇數n，\( \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n} \)
(高中數學競賽教程P354)
若a,b,c滿足\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \)，試證:若n是自然數,\( \frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}} \)
(建中通訊解題第41期)
題外話,看公佈的解答\( (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc \)就直接得到\( (a+b)(b+c)(c+a)=0 \)
這是國中生就會的題目嗎？
設a,b,c都不為零，\( a+b+c=2 \)，\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \)，證明:a,b,c中至少有一個等於2。
(初中數學競賽教程P23)

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-5-12 04:04 PM 編輯 [/i]]

armopen 發表於 2009-5-10 14:20

請教 bugmens 老師，第 5 題如何作呢？

也就是平面這那題我是假設平面 E 是 ax + by + cx = d
利用 E 過 AB, CD 中點去得二個式子, 再利用 A, B, C, D 到平面 E 的距離皆相等去硬解,
但是計算太複雜, 沒有算出來. 請問有較好的作法嗎？謝謝！

yensheng0122 發表於 2009-5-10 17:19

回復 3# bugmens 的帖子

第八題

(1) 20

(2)286
對嗎？

yensheng0122 發表於 2009-5-10 17:41

回復 5# armopen 的帖子

5. 過 AB, CD 中點的直線，用平面族應該算的出來吧，

7. a=pi-cos^(-1)(1/3)

bugmens 發表於 2009-5-12 21:06

9.
已知△ABC中，\( \overline{AB}=5 \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{AC}=7 \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，\( \overline{BF}=\overline{FG}=\overline{GC} \)，如右圖，則△CHI的面積為。
[提示]
利用孟氏定理
\( \frac{\overline{GI}}{\overline{IA}}=\frac{2}{3} \)，△CGI=\( \frac{2}{5} \)△CGA
\( \frac{\overline{GH}}{\overline{HA}}=\frac{1}{6} \)，△CGH=\( \frac{1}{7} \)△CGA
△CHI=△CGI-△CGH=\( \frac{9}{35} \)△CGA=\( \frac{3}{35}\)△ABC

補充個類似題
Given a triangle ABC with area 1, points D,E,F, and G trisect BC and AC. Find the area of quadrilateral MDEN.
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=146987[/url]
[img]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=8690[/img]

100.11.19補充
圖中，ABC是面積為1的三角形。D、E是AB上的點，F、G是AC上的點，使得AD=DE=EB和AF=FG=GC。求BF、BG、CD和CE圍成的區域的面積。
In the figure, ABC is a triangle with area 1. D, E are points on AB while F, G are points on AC such that AD=DE=EB and AF=FG=GC.
Find the area of the region bounded by BF, BG, CD and CE.
(第十屆培正數學邀請賽　中三組　決賽，[url]http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F3.pdf[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 11:08 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2009-5-14 22:09

參考解答：

[url=http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1786]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1786[/url]

來源《老王的夢田》

ksjeng 發表於 2009-5-16 15:32

回復 8# bugmens 的帖子

Given a triangle ABC with area 1, points D,E,F, and G trisect BC and AC. Find the area of quadrilateral MDEN.(給出三角ABC區域面積為1，點D， E、F和G,將線段 BC和線段AC分成三等分,四方形MDEN區域為何?)

參考解答:
線段NE=1/4線段AE,線段ND=1/7線段AD
▲BNE=1/4▲ABE=1/4×2/3▲ABC=1/6
▲BMD=1/7▲ABD=1/7×1/3▲ABC=1/21
所求=▲BNE-▲BMD=5/42
[img]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?mode=attach&id=8690[/img]

[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2009-5-16 03:55 PM 編輯 [/i]]

ksjeng 發表於 2009-5-16 20:37

[size=12pt] [img]http://farm3.static.flickr.com/2303/3535176965_b63cdf2f2a_o.jpg[/img][/size]

ksjeng 發表於 2009-5-16 21:10

第八題 Σ(n0=0→n1)請問這是什麼內容啊
這是用google抓的也不知在講什麼但背公式學解題應付高中教甄吧
[size=12pt] [img]http://farm3.static.flickr.com/2374/3535332935_92dbd03883_o.jpg[/img][/size]

[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2009-5-16 10:04 PM 編輯 [/i]]

ksjeng 發表於 2009-5-16 23:01

第七題難度很高耶
[color=red][size=5]sinB+sinC >0 若cosA為負則(sinB+sinC)cosA會有最小值[/size] [/color]
[color=blue]請問這句是在講什麼啊[/color]

idontnow90 發表於 2009-7-7 16:09

請問第八題的第二小題...[url]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1786[/url]
這個解法我不是很懂...
1.他的一~四層是什麼阿?怎麼來的呢?
2.為何知道是C(14,3)?
是否有老師能幫我說明一下哩...感激~~

老王發表於 2009-7-7 22:58

回復 14# idontnow90 的帖子

真糟糕，我不知如何解釋比較好
第一層就是你要加的最基本的元素，就是題目上的1
第二層就是把第一層從第一個加到所在的位置
第三層就是把第二層從第一個加到所在的位置
等等

我覺得你把第一小題用分解動作做一遍
應該會有體會

bugmens 發表於 2009-7-8 20:55

8. (1) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_2} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } } = ?\)
　(2) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_{10}} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_9} =0}^{{n_{10}}} { \cdots \sum\limits_{{n_2} = 0}^{{n_3}}{\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }} } = ?\)

補充另一種方法
(1)看成\( 0 \le n_{0} \le n_{1} \le n_{2} \le 3 \)，有\( H^4_3=20 \)種
(2)看成\( 0 \le n_{0} \le n_{1} \le ... \le n_{9} \le n_{10} \le 3 \)，有\( H^4_{11}=364 \)種

類似題
滿足\( 1 \le a \le b < c \le d \le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組？
(95新竹高商，[url=http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793]http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-7-8 08:56 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2010-3-3 22:47

數列\( \{ a_n \} \)中，已知\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，且\( a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}\cdot a_n+4a_{n+1}+4a_n \)，則一般項\( a_n= \)？
[另解]
重新整理得\( a_{n+1}^2-(2a_n+4)a_{n+1}+(a_n^2-4a_n+4)=0 \)
\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+4 ±\sqrt{(2a_n+4)^2-4 \cdot 1 \cdot (a_n^2-4a_n+4)}}{2} \)
\( a_{n+1}=a_n+2+2\sqrt{2a_n} \)，\( \sqrt{a_{n+1}}^2-(\sqrt{a_n}+\sqrt{2})^2=0 \)

補充二題
設\( \{ a_n \} \)滿足\( a_1=1 \)，\( 4a_n \cdot a_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-1)^2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，求\( a_n \)？
(高中數學競賽教程P324)
其實展開後\( 2a_n \cdot a_{n+1}-1=a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n-2a_{n+1} \)和師大附中這題類似
但這題已經配方好了，直接從\( \sqrt{4a_n \cdot a_{n+1}}^2-(a_n+a_{n+1}-1)^2=0 \)著手

設數列\( a_n \)滿足\( a_{n+1}^2+a_{n}^2=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_{n}) \)，\( a_1=1 \)且\( a_{n+1}>a_n \)。令\( S_n \)表示數列前\( n \)項之和。求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \cdot a_n}= \)？1/3
[url=http://frankliou.wordpress.com/category/%e5%be%ae%e7%a9%8d%e5%88%86%e8%88%87%e9%ab%98%e7%ad%89%e5%be%ae%e7%a9%8d%e5%88%86/%e6%a5%b5%e9%99%90/]http://frankliou.wordpress.com/c ... %e6%a5%b5%e9%99%90/[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-1 07:55 AM 編輯 [/i]]

阿光發表於 2012-1-20 21:48

想請教第2 ,7 ,10 題

weiye 發表於 2012-1-24 10:04

回復 18# 阿光的帖子

老王老師有寫過全部（每題）的詳解！

我前面有ＰＯ過連結！（本討論串第九篇）

Superconan 發表於 2015-1-30 12:34

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2009-5-14 10:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1277&ptid=735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
參考解答：

[url=http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1786]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1786[/url]

來源《老王的夢田》 [/quote]
我發現此連結已經失效，補上新的連結
[url=http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122396-98%E9%99%84%E4%B8%AD%E6%95%99%E7%94%84%E5%8F%83%E8%80%83%E8%A7%A3%E7%AD%94]http://lyingheart6174.pixnet.net ... 3%E8%A7%A3%E7%AD%94[/url]

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