圓錐曲線中求極值
二元二次方程式:\(x^2+xy+y^2=6\) , 求\(x^2-y^2\)的最大值答案是\(4\sqrt{3}\)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?
謝謝 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2009-5-7 06:02 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1255&ptid=733][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
二元二次方程式:x^2+xy+y^2=6 , 求x^2-y^2的最大值
答案是4sqrt(3)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?
謝謝 [/quote]
令 \(x=u+v,\, y=u-v\)，則
\[x^2+xy+y^2=6\]
\[\Leftrightarrow \left(u+v\right)^2+\left(u+v\right)\left(u-v\right)+\left(u-v\right)^2=6\]
\[\Leftrightarrow 3u^2+v^2=6\, ............... （＊）\]
且題目所要求的 \(x^2-y^2 = \left(u+v\right)^2 - \left(u-v\right)^2 = 4uv\)
由 （＊）及算幾不等式，可得
\[\frac{3u^2 + v^2}{2}\geq \sqrt{3u^2v^2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{6}{2}\geq \sqrt{3}\left| uv \right|\]
\[\Leftrightarrow -\sqrt{3} \leq uv\leq \sqrt{3}\]
\[\Leftrightarrow - 4 \sqrt{3} \leq 4uv\leq 4\sqrt{3}\]
所以，題目所要求的最大值為 \(4\sqrt{3}\)，最小值為 \(-4\sqrt{3}.\) 謝謝瑋岳老師的妙解
小弟是用幾何來看, 令x^2-y^2=k
再來用"參數式"或"共切線"來解,答案都怪怪的
不知版上老師能否提供"幾何解"妙解
不過在此還是謝謝瑋岳老師不吝告知 令 [i]x[/i]=[i]u[/i]+[i]v y=u-v[/i]
請問為何會這樣令呢 有跡可尋嗎
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