排列組合的題目，求矩形與正方形個數
如圖：[align=center]
[table=112][tr][td] [/td][td]
[/td][td]
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[/td][/tr][tr][td]
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[/td][/tr][tr][td]
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[/td][/tr][tr][td]
[/td][td]
[/td][td]
[/td][td]
[/td][td]
[/td][/tr][/table][/align]
上圖中每個小正方形的邊長都是 \(1\) 單位，
(1) 共有幾個正方形，所有正方形面積總和為多少？
(2) 共有幾個矩形，所有矩形面積總和為多少？
解：
(1)
正方形
[align=center]
[table=374][tr][td] 邊長[/td][td]1
[/td][td]2
[/td][td]3
[/td][td]4
[/td][/tr][tr][td] 個數[/td][td] 4×5[/td][td]3×4 [/td][td]2×3 [/td][td]1×2 [/td][/tr][tr][td] 單一個面積[/td][td] \(1^2\)[/td][td]\(2^2\)
[/td][td]\(3^2\)
[/td][td]\(4^2\)
[/td][/tr][/table]
[/align]
正方形個數\(\displaystyle = 4\times 5+3\times 4+2\times 3+1\times2 = \sum\limits_{k=1}^{4}k\left(k+1\right)=40.\)
所有正方形面積總和\(\displaystyle = \left(4\times 5\right)\times1^2+\left(3\times 4\right)\times2^2+\left(2\times 3\right)\times3^2+\left(1\times2\right)\times4^2 = 154.\)
(2)
矩形的個數：
任選兩條垂直的直線，搭配任選兩條水平的直線，就可以形成一個矩形，所以矩形個數為\(\displaystyle C^5_2 C^6_2=150.\)
另解：
設矩形的大小是 \(a\times b\)，則 \(1\leq a\leq4\) 且 \(1\leq b\leq5\)
[align=center]
[table=50%][tr][td] 左方線段長\((a)\)[/td][td] 1[/td][td]2
[/td][td]3
[/td][td]4
[/td][/tr][tr][td] 線段個數[/td][td] 4[/td][td]3
[/td][td]2
[/td][td]1
[/td][/tr][/table]
[/align]且
[align=center]
[table=50%][tr][td] 上方線段長\((b)\)[/td][td] 1[/td][td]2
[/td][td]3
[/td][td]4
[/td][td]5
[/td][/tr][tr][td] 線段個數[/td][td] 5[/td][td]4
[/td][td]3[/td][td]2
[/td][td]1[/td][/tr][/table]
[/align]
\[\mbox{矩形個數}=\left(4+3+2+1\right)\left(5+4+3+2+1\right)=150\]
且
\[\mbox{所有矩形的面積總和=}\left(4\times1+3\times2+2\times3+1\times4\right)\left(5\times1+4\times2+3\times3+2\times4+1\times5\right)\]
\[=700.\]
頁:
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