例題：線性變換與線性函數
如果 \(f(x)=px+q\)，對於任意實數 \(x\) 及實數 \(p,q\)，我們稱函數 \(f\) 是線性的。如果\(F(x+y)=F(x )+F(y )\) 且 \(F(ax)=a F(x )\)，對於任意實數 \(x, y\) 及實數\(a\)，我們稱 \(F\) 變換是線性的。
下列何者正確？
(A )定義在實數系中的線性變換是線性函數
(B )定義在實數系中的線性函數是線性變換
(C )定義在實數系中的線性函數與線性變換是相同的
(D )在實數系上，線性函數與線性變換並沒有關係
解答：
因為 \(f( 0+0) = f( 0) + f( 0)\)
所以 \(f( 0)=0\)
故對於實數 \(b\neq 0\) 的線性函數 \(f(x)=ax+b\) 而言，並非線性變換.
接下來繼續證明：如果 \(f(x)\) 是定義在實數系上的線性變換，則 \(y= f( x)\) 線性函數.
對於任意相異的實數 \(x_1, x_2\)
令 \(y_1 = f(x_1), y_2=f(x_2)\)
則
\[y_1 - y_2 = f(x_1) - f(x_2) = f(x_1-x_2)\]
\[\Rightarrow\frac{y_1 - y_2}{x_1-x_2} = \frac{f\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2} =f\left( \frac{x_1-x_2}{x_1-x_2} \right) = f(1) \mbox{為定值}\]
令 \(f(1) =a\) 則
\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = a \Rightarrow y_1-y_2 = a\left(x_1 - x_2\right).\]
且因為線性變換滿足 \(f(0)=0\)
所以 \(y_1 - 0 = a\left(x_1 -0\right)\)
可得 \(y_1 = a x_1\)
故
\[f(x_1) = y_1 = a x_1\]
亦即 \(f( x) = a x\) 為線性函數，其中 \(a=f\left(1\right)\) 為定值.
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