驗證\( \displaystyle \root 3 \of {cos \frac{2 \pi}{9}}+\root 3 \of{cos \frac{4 \pi}{9}}+\root 3 \of{cos \frac{8 \pi}{9}}=\root 3 \of{\frac{3}{2}\root 3 \of 9-3} \)
驗證\( \displaystyle \root 3 \of{cos \frac{2 \pi}{9}cos \frac{4 \pi}{9}}+\root 3 \of{cos \frac{4 \pi}{9}cos \frac{8 \pi}{9}}+\root 3 \of{cos \frac{8 \pi}{9}cos \frac{2 \pi}{9}}=\root 3 \of{\frac{3}{4}(1-\root 3 \of 9)} \)
[url=https://math.pro/db/thread-1041-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1041-1-1.html[/url]
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[color=red](%i1)[/color]
a:cos(2*%pi/9);
b:cos(4*%pi/9);
c:cos(8*%pi/9);
[color=red](%o1)[/color] \( \displaystyle cos(\frac{2 \pi}{9}) \)
[color=red](%o2)[/color] \( \displaystyle cos(\frac{4 \pi}{9}) \)
[color=red](%o3)[/color] \( \displaystyle cos(\frac{8 \pi}{9}) \)
[color=red](%i4)[/color]
(a*b)^(1/3)+(b*c)^(1/3)+(c*a)^(1/3);
float(%);
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle cos(\frac{4 \pi}{9})^{1/3}cos(\frac{8 \pi}{9})^{1/3}+cos(\frac{2 \pi}{9})^{1/3}cos(\frac{8 \pi}{9})^{1/3}+cos(\frac{2 \pi}{9})^{1/3}cos(\frac{4 \pi}{9})^{1/3} \)
[color=red](%o5)[/color] -0.93219386761704
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]
(3/4*(1-9^(1/3)))^(1/3);
float(%);[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( \displaystyle \frac{3^{1/3}(1-9^{1/3})^{1/3}}{4^{1/3}} \)
[color=red](%o7)[/color] -0.93219386761704
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]
a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3);
float(%);[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( \displaystyle cos(\frac{8 \pi}{9})^{1/3}+cos(\frac{4 \pi}{9})^{1/3}+cos(\frac{2 \pi}{9})^{1/3} \)
[color=red](%o9)[/color] 0.49341462591879
[color=red](%i10)[/color] [color=blue]
(3/2*9^(1/3)-3)^(1/3);
float(%);[/color]
[color=red](%o10)[/color] \( \displaystyle (\frac{3 9^{1/3}}{2}-3)^{1/3} \)
[color=red](%o11)[/color] 0.49341462591879
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設\( \displaystyle f(z)=\frac{z+a}{z+b} \)且\( g(z)=f(f(z)) \)，其中a及b為複數。若\( |a|=1 \)且對所有使得\( g(g(z)) \)有定義的z都滿足\( g(g(z))=z \)，則最大可能的\( |b| \)值與最小可能的\( |b| \)值之差是多少？(A) 0 (B) \( \sqrt{2}-1 \) (C) \( \sqrt{3}-1 \) (D) 1 (E) 2
(2011AMC12 [url=https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html[/url])
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[color=green]定義f(z)函數[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]f(z):=(z+a)/(z+b);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( \displaystyle f(z):=\frac{z+a}{z+b} \)
[color=green]定義g(z)函數[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]g(z):=f(f(z));[/color]
[color=red](%o2)[/color] g(z):=f(f(z))
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]g(g(z));[/color]
[color=red](%o3)[/color]
[color=green]計算g(g(z))=z化簡後的結果[/color]
[color=red](%i4)[/color] [color=blue]ratsimp(%)=z;[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle \frac{(ab^2+2ab+a^2+3a+1)z+ab^3+ab^2+(2a^2+a)b+2a^2+a}{(b^3+b^2+(2a+1)b+2a+1)z+b^4+3ab^2+2ab+a^2+a}=z \)
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]num(lhs(%o4))=rat(denom(lhs(%o4))*rhs(%o4));[/color]
[color=red](%o5)[/color] \( (ab^2+2ab+a^2+3a+1)z+ab^3+ab^2+(2a^2+a)b+2a^2+a=(b^3+b^2+(2a+1)b+2a+1)z^2+(b^4+3ab^2+2ab+a^2+a)z \)
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]rhs(%)-lhs(%);[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( (b^3+b^2+(2a+1)b+2a+1)z^2+(b^4+2ab^2-2a-1)z-ab^3-ab^2+(-2a^2-a)b-2a^2-a \)
[color=green](...)z^2+(...)z+(...)=0
不管複數z是多少代入的結果都是0
可知原式是恆等式,各項係數為0[/color]
[color=red](%i7)[/color] [color=blue]
factor(coeff(%o6,z,2))=0;
factor(coeff(%o6,z,1))=0;
factor(coeff(%o6,z,0))=0;[/color]
[color=red](%o7)[/color] \( (b+1)(b^2+2a+1)=0 \)
[color=red](%o8)[/color] \( (b-1)(b+1)(b^2+2a+1)=0 \)
[color=red](%o9)[/color] \( -a(b+1)(b^2+2a+1)=0 \)
[color=green]從三個式子解出b[/color]
[color=red](%i10)[/color] [color=blue]solve([%o7,%o8,%o9],b);[/color]
[color=red](%o10)[/color] \( [ [b=\sqrt{-2a-1}],[b=-\sqrt{-2a-1}],[b=-1] ] \)
[color=green]因為|a|=1,令a=cos(t)+i*sin(t)代入,求b的範圍[/color]
[color=red](%i11)[/color] [color=blue]ev(%o10[1][1],a=cos(t)+%i*sin(t));[/color]
[color=red](%o11)[/color] \( b=\sqrt{-2(\%i sin(t)+cos(t))-1} \)
[color=green]計算複數b的絕對值[/color]
[color=red](%i12)[/color] [color=blue]trigsimp(cabs(%));[/color]
[color=red](%o12)[/color] \( |b|=(4 cos(t)+5)^{1/4} \)
[color=green]當t=0時|b|有最大值√3[/color]
[color=red](%i13)[/color] [color=blue]ev(%o12,t=0);[/color]
[color=red](%o13)[/color] \( |b|=\sqrt{3} \)
[color=green]當t=π時|b|有最小值1[/color]
[color=red](%i14)[/color] [color=blue]ev(%o12,t=%pi);[/color]
[color=red](%o14)[/color] \( |b|=1 \)
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[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-3-19 08:21 PM 編輯 [/i]]
尤拉在1742年時，將白努力所舉的四次多項式\( f(x) \)分解為二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2+\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1+\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
與二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2-\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1-\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
的乘積。白努利所舉的多項式\( f(x) \)=(以降次排列表示)
(100華江高中二招，[url=https://math.pro/db/thread-1177-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1177-1-1.html[/url])
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[color=green]用公式解得方程式的兩根[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]
x^2-(2+sqrt(4+2*sqrt(7)))*x+(1+sqrt(4+2*sqrt(7))+sqrt(7))=0;
solve(%,x);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( x^2-(\sqrt{2 \sqrt{7}+4}+2)x+\sqrt{2 \sqrt{7}+4}+\sqrt{7}+1=0 \)
[color=red](%o2)[/color]
[ \( \displaystyle x=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \),
\( \displaystyle x=\frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \) ]
[color=green]取第一個根來計算[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]%[1][/color]
[color=red](%o3)[/color] \( \displaystyle x=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \)
[color=green]兩邊都減1[/color]
[color=red](%i4)[/color] [color=blue]ratsimp(%-1);[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle x-1=\frac{\sqrt{2 \sqrt{7}+4}-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i}{2} \)
[color=green]兩邊平方[/color]
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]ratsimp(%^2);[/color]
[color=red](%o5)[/color] \( \displaystyle x^2-2x+1=-\frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}\sqrt{2 \sqrt{7}+4}％i-4}{2} \)
[color=green]rootscontract指令可以將獨立的根號乘在一起
√(x-1)*√(x+1)=√(x^2-1)[/color]
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]rootscontract(%);[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( \displaystyle x^2-2x+1=-\frac{2 \sqrt{-3}-4}{2} \)
[color=green]兩邊都減2[/color]
[color=red](%i7)[/color] [color=blue]ratsimp(%-2);[/color]
[color=red](%o7)[/color] \( x^2-2x-1=-\sqrt{3}％i \)
[color=green]兩邊平方去掉i[/color]
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]%^2;[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( (x^2-2x-1)^2=-3 \)
[color=green]得到答案i[/color]
[color=red](%i9)[/color] [color=blue]expand(%+3);[/color]
[color=red](%o9)[/color] \( x^4-4x^3+2x^2+4x+4=0 \)
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101.2.10補充一題
\( \displaystyle f(x)=\Bigg[\; x^2-\frac{\sqrt{10+2 \sqrt{5}}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{2}x+\sqrt{5} \Bigg]\; \Bigg[\; x^2+\frac{\sqrt{10+2 \sqrt{5}}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{2}x+\sqrt{5} \Bigg]\; \)
求乘開後的\( f(x) \)
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[color=red](%i1)[/color] [color=blue]x^2+(sqrt(10+2*sqrt(5))+sqrt(10-2*sqrt(5)))/2*x+sqrt(5);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( x^2+\frac{(\sqrt{2 \sqrt{5}+10}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}})x}{2}+\sqrt{5} \)
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]x^2-(sqrt(10+2*sqrt(5))+sqrt(10-2*sqrt(5)))/2*x+sqrt(5);[/color]
[color=red](%o2)[/color] \( x^2-\frac{(\sqrt{2 \sqrt{5}+10}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}})x}{2}+\sqrt{5} \)
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]%o1*%o2;[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( \displaystyle \Bigg(\; x^2-\frac{(\sqrt{2 \sqrt{5}+10}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}})x}{2}+\sqrt{5} \Bigg)\; \Bigg(\; x^2+\frac{(\sqrt{2 \sqrt{5}+10}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}})x}{2}+\sqrt{5} \Bigg)\; \)
[color=red](%i4)[/color] [color=blue]expand(%);[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle x^4-\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}} \sqrt{2 \sqrt{5}+10}x^2}{2}+2 \sqrt{5}x^2-5x^2+5 \)
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]rootscontract(%);[/color]
[color=red](%o5)[/color] \( x^4-5x^2+5 \)
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[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-2-10 09:49 PM 編輯 [/i]]
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)，且X、Y均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\; \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，a、b為常數，則\( X^n= \)？
(101臺南二中，[url=https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html[/url])
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[color=red](%i1)[/color] [color=blue]
a*X+b*Y=matrix([1,4],[3,2]);
X+Y=matrix([1,0],[0,1]);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( \displaystyle bY+aX=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)
[color=red](%o2)[/color] \( \displaystyle Y+X=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)
[color=green]solve指令無法解矩陣方程式，只好用加減消去法解出X,Y[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]
ratsimp((%o1-%o2*a)/(b-a));
ratsimp((-%o1+%o2*b)/(b-a));[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( \displaystyle Y=\Bigg[\; \matrix{-\frac{a-1}{b-a} & \frac{4}{b-a} \cr \frac{3}{b-a} & -\frac{a-2}{b-a}} \Bigg]\; \)
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle X=\Bigg[\; \matrix{\frac{b-1}{b-a} & -\frac{4}{b-a} \cr -\frac{3}{b-a} & \frac{b-2}{b-a}} \Bigg]\; \)
[color=green]X.Y相乘為0矩陣[/color]
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]rhs(%o4).rhs(%o3)=matrix([0,0],[0,0]);[/color]
[color=red](%o5)[/color] \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-\frac{(a-1)(b-1)}{(b-a)^2}-\frac{12}{(b-a)^2} & \frac{4(b-1)}{(b-a)^2}+\frac{4(a-2)}{(b-a)^2} \cr \frac{3(b-2)}{(b-a)^2}+\frac{3(a-1)}{(b-a)^2} & -\frac{(a-2)(b-2)}{(b-a)^2}-\frac{12}{(b-a)^2}} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
[color=green]相乘後各元素為0[/color]
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]
lhs(%o5)[1][1]=rhs(%o5)[1][1];
lhs(%o5)[2][1]=rhs(%o5)[2][1];[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( \displaystyle -\frac{(a-1)(b-1)}{(b-a)^2}-\frac{12}{(b-a)^2}=0 \)
[color=red](%o7)[/color] \( \displaystyle \frac{3(b-2)}{(b-a)^2}+\frac{3(a-1)}{(b-a)^2}=0 \)
[color=green]整理式子[/color]
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]
factor(%o6);
factor(%o7);[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( \displaystyle -\frac{ab-b-a+13}{(b-a)^2}=0 \)
[color=red](%o9)[/color] \( \displaystyle \frac{3(b+a-3)}{(b-a)^2}=0 \)
[color=green]解出a,b，得到兩解，但第二組不合[/color]
[color=red](%i10)[/color] [color=blue]solve([%o8,%o9],[a,b]);[/color]
[color=red](%o10)[/color] \( [ [a=5,b=-2],[a=-2,b=5] ] \)
[color=green]將第一組解代回X,Y矩陣[/color]
[color=red](%i11)[/color] [color=blue]
ev(%o3,%o10[1]);
ev(%o4,%o10[1]);[/color]
[color=red](%o11)[/color] \( \displaystyle Y=\Bigg[\; \matrix{\frac{4}{7} & -\frac{4}{7} \cr -\frac{3}{7} & \frac{3}{7}} \Bigg]\; \)
[color=red](%o12)[/color] \( \displaystyle X=\Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)
[color=green]計算X矩陣的平方會得到自己(X^2=X)，所以X的n次方還是自己[/color]
[color=red](%i13)[/color] [color=blue]rhs(%).rhs(%);[/color]
[color=red](%o13)[/color] \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-18 07:54 PM 編輯 [/i]]
上學期教到數據分析時，想要修改課本的題目數據讓學生練習
但改了一個數字平均數就變成分數或標準差變成根號，改來改去就是湊不出整數的答案
讓我想到能否用maxima幫忙檢查，於是就花了一些時間寫成程式
回頭想想相關係數、回歸直線應該也能寫成程式，將來要命題時就有很多現成的題目可以用
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[color=green]makelist和random：隨機產生list
mean：從list資料中計算平均數
std：從list資料中計算標準差
integerp：檢查是否為整數[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]
StandardDeviation(LowerBound,UpperBound,n):=block(
for i:1 thru 1000 do
(data:makelist(random(UpperBound-LowerBound+1)+LowerBound,n),
mean:mean(data),
std:std(data),
if integerp(mean)=true and integerp(std)=true then
print(data,"平均數=",mean,"標準差=",std)
)
)$[/color]
[color=green]StandardDeviation(下界,上界,個數)[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]StandardDeviation(6,15,5);[/color]
[5,10,15,15,15] [i]平均數[/i]=12 [i]標準差[/i]=4
[6,8,9,10,12] [i]平均數[/i]=9 [i]標準差[/i]=2
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指令：StandardDeviation(50,100,5);
說明：從50到100的範圍中任意取5筆資料
範例：甲生第一次月考五科成績分別為82,80,54,68,71，則成績的平均數為[u] 71 [/u]，標準差為[u] 10 [/u]？
其他範例
58,56,59,70,52平均數59,標準差6
83,65,76,77,79平均數76,標準差6
84,90,93,76,72平均數83,標準差8
74,73,67,85,61平均數72,標準差8
94,86,92,98,75平均數89,標準差8
82,67,87,97,77平均數82,標準差10
指令：StandardDeviation(170,190,5);
說明：從170到190的範圍中任意取5筆資料
範例：籃球隊5位先發球員的身高為178,182,181,180,184公分，試求此5人身高的平均數為[u] 181 [/u]，標準差為[u] 2 [/u]？
其他範例
172,178,175,184,176平均數177標準差4
186,183,180,174,182平均數181標準差4
176,170,174,178,182平均數176標準差4
172,176,178,175,184平均數177標準差4
182,188,176,184,180平均數182標準差4
177,178,190,174,186平均數181標準差6
指令：StandardDeviation(40,80,6);
說明：從40到80的範圍中任意取6筆資料
範例：某高中一年二班其中6位學生的體重為68,62,70,73,67,74公斤，則此6人的平均數為[u] 69 [/u]，標準差為[u] 4 [/u]？
其他範例
77,65,67,68,61,64平均數67標準差5
52,50,52,53,61,44平均數52標準差5
67,65,73,59,55,59平均數63標準差6
73,55,61,57,66,60平均數62標準差6
41,52,53,53,58,43平均數50標準差6
73,80,65,73,55,74平均數70標準差8
64,60,48,55,66,73平均數61標準差8
指令：StandardDeviation(6,15,5);
說明：從6到15的範圍中任意取5筆資料
範例：甲生的五科學測成績分別為9,6,12,10,8級分，則平均數為[u] 9 [/u]，標準差為[u] 2 [/u]？
其他範例
11,12,9,13,15平均數12標準差2
10,12,8,11,14平均數11標準差2
13,13,13,8,13平均數12標準差2
11,7,13,10,9平均數10標準差2
14,10,12,8,11平均數11標準差2
10,15,15,15,15平均數14標準差2
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-8-23 10:36 PM 編輯 [/i]]
產生分組的資料，並檢驗平均數和標準差是否為整數
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]
GroupStandardDeviation(LowerBound,Group,n):=block(
for i:1 thru 1000 do
(datas:create_list([LowerBound+10*j,random(n)+1],j,0,Group-1),
list:[],
for data in datas do
list:append(create_list(data[1],i,1,data[2]),list),
mean:mean(list),
std:std(list),
if integerp(mean)=true and integerp(std)=true then
print("分組資料",datas,"平均數=",mean,"標準差=",std)
)
)$[/color]
[color=green]GroupStandardDeviation(第一組的組中點,組數,個數)[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]GroupStandardDeviation(55,5,10);[/color]
[i]分組資料[/i][[55,3],[65,1],[75,2],[85,3],[95,1]][i]平均數[/i]=73[i]標準差[/i]=14
[i]分組資料[/i][[55,2],[65,9],[75,1],[85,5],[95,3]][i]平均數[/i]=74[i]標準差[/i]=13
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
指令：GroupStandardDeviation(55,5,10);
說明：從第一組組中點55開始，共取5組，每組個數小於10位
範例：某班月考的數學成績統計如下
[table=98%][tr][td][align=center]成績[/align][/td][td]50~60[/td][td]60~70[/td][td]70~80[/td][td]80~90[/td][td]90~100[/td][/tr][tr][td][align=center]人數[/align][/td][td]1[/td][td]8[/td][td]8[/td][td]2[/td][td]1[/td][/tr][/table]求全班的平均數為[u] 72 [/u]，標準差[u] 9 [/u]。
其他範例：
分組資料[[55,3],[65,1],[75,2],[85,3],[95,1]]平均數73標準差14
分組資料[[55,2],[65,9],[75,1],[85,5],[95,3]]平均數74標準差13
分組資料[[55,1],[65,2],[75,4],[85,8],[95,5]]平均數82標準差11
分組資料[[55,9],[65,5],[75,3],[85,3],[95,4]]平均數70標準差15
指令：GroupStandardDeviation(155,4,15);
說明：從第一組組中點155開始，共取4組，每組個數小於15位
範例：20名學生的身高統計如下：
[table=98%][tr][td][align=center]身高[/align][/td][td]150~160[/td][td]160~170[/td][td]170~180[/td][td]180~190[/td][/tr][tr][td][align=center]人數[/align][/td][td]5[/td][td]5[/td][td]9[/td][td]1[/td][/tr][/table]求這20名學生的平均身高為[u] 168 [/u]，標準差[u] 9 [/u]。
其他範例：
分組資料[[155,11],[165,12],[175,15],[185,2]]平均數167標準差9
分組資料[[155,7],[165,9],[175,12],[185,2]]平均數168標準差9
分組資料[[155,3],[165,11],[175,9],[185,2]]平均數169標準差8
分組資料[[155,3],[165,7],[175,9],[185,1]]平均數169標準差8
指令：GroupStandardDeviation(45,5,10);
說明：從第一組組中點45開始，共取5組，每組個數小於10位
範例：有25位學生的體重統計如下：
[table=98%][tr][td][align=center]體重[/align][/td][td]40~50[/td][td]50~60[/td][td]60~70[/td][td]70~80[/td][td]80~90[/td][/tr][tr][td][align=center]人數[/align][/td][td]6[/td][td]5[/td][td]9[/td][td]3[/td][td]2[/td][/tr][/table]其體重的平均數[u] 61 [/u]，標準差[u] 12 [/u]。
其他範例：
分組資料[[45,2],[55,8],[65,9],[75,10],[85,1]]平均數65標準差10
分組資料[[45,7],[55,3],[65,9],[75,5],[85,1]]平均數61標準差12
分組資料[[45,6],[55,5],[65,5],[75,3],[85,1]]平均數59標準差12
分組資料[[45,6],[55,10],[65,4],[75,3],[85,2]]平均數59標準差12
計算相關係數
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=green]要先載入descriptive.mac才能使用cov指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("descriptive.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/descriptive/descriptive.mac[/i]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]
CorrelationCoefficient(XLowerBound,XUpperBound,YLowerBound,YUpperBound,n):=block(
for i:1 thru 10000 do
(x:create_list(random(XUpperBound-XLowerBound+1)+XLowerBound,i,1,n),
y:create_list(random(YUpperBound-YLowerBound+1)+YLowerBound,i,1,n),
data:matrix(x,y),
cov:cov(transpose(data)),
denom:sqrt(cov[1,1]*cov[2,2]),
if cov[1,2]#0 and cov[1,1]#0 and cov[2,2]#0 and
integerp(cov[1,1])=true and integerp(cov[2,2])=true and
integerp(denom)=true then
(print("資料",data),
print("第一組 平均",mean(x),"標準差",std(x)),
print("第二組 平均",mean(y),"標準差",std(y)),
print("共變數",cov[1,2],"相關係數",cov[1,2]/denom)
)
)
)$[/color]
[color=green]CorrelationCoefficient(第一組下界,第一組上界,第二組下界,第二組上界,個數)[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]CorrelationCoefficient(160,175,55,75,5);[/color]
資料\( \Bigg[\; \matrix{164 & 165 & 161 & 167 & 163 \cr 61 & 64 & 58 & 62 & 70} \Bigg]\; \)
第一組 平均164標準差2
第二組 平均63標準差4
共變數\( \displaystyle \frac{6}{5} \)相關係數\( \displaystyle \frac{3}{20} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{174 & 166 & 163 & 167 & 165 \cr 72 & 60 & 73 & 74 & 56} \Bigg]\; \)
第一組 平均167標準差\( \sqrt{14} \)
第二組 平均67標準差\( 2\sqrt{14} \)
共變數8相關係數\( \displaystyle \frac{2}{7} \)
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
指令：CorrelationCoefficient(160,175,55,75,5);
說明：第一組範圍為160~175，第二組範圍為55~75，產生5筆資料
範例：高一某班的5位同學身高與體重的資料如下表所示
[table=70%][tr][td][align=center]身高(公分)[/align][/td][td]164[/td][td]165[/td][td]161[/td][td]167[/td][td]163[/td][/tr][tr][td][align=center]體重(公斤)[/align][/td][td]61[/td][td]64[/td][td]58[/td][td]62[/td][td]70[/td][/tr][/table]
求身高與體重的相關係數為\( \displaystyle \frac{3}{20} \)。
其他範例：
資料\( \Bigg[\; \matrix{174 & 166 & 163 & 167 & 165 \cr 72 & 60 & 73 & 74 & 56} \Bigg]\; \)
第一組 平均167標準差\( \sqrt{14} \)
第二組 平均67標準差\( 2\sqrt{14} \)
共變數8相關係數\( \displaystyle \frac{2}{7} \)
指令：CorrelationCoefficient(50,80,60,90,5);
說明：第一組範圍50~80，第二組範圍60~90，個數5個
範例：五位同學的英文和數學段考成績如下表：
[table=70%][tr][td][align=center]英文[/align][/td][td]68[/td][td]71[/td][td]64[/td][td]75[/td][td]62[/td][/tr][tr][td][align=center]數學[/align][/td][td]80[/td][td]67[/td][td]76[/td][td]79[/td][td]73[/td][/tr][/table]
則英文和數學的相關係數為\( \frac{6}{55} \)
其他範例：
資料\( \Bigg[\; \matrix{59 & 80 & 56 & 53 & 62 \cr 76 & 82 & 78 & 89 & 70} \Bigg]\; \)
第一組 平均62標準差\( 3\sqrt{10} \)
第二組 平均79標準差\( 2\sqrt{10} \)
共變數\( \displaystyle -\frac{21}{5} \)相關係數\( \displaystyle -\frac{7}{100} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{61 & 62 & 68 & 64 & 55 \cr 68 & 77 & 79 & 60 & 76} \Bigg]\; \)
第一組 平均62標準差\( 3\sqrt{2} \)
第二組 平均72標準差\( 5\sqrt{2} \)
共變數\( \displaystyle -\frac{6}{5} \)相關係數\( \displaystyle -\frac{1}{25} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{52 & 50 & 58 & 54 & 56 \cr 68 & 72 & 76 & 80 & 84} \Bigg]\; \)
第一組 平均54標準差\( 2\sqrt{2} \)
第二組 平均76標準差\( 4\sqrt{2} \)
共變數\( \displaystyle \frac{48}{5} \)相關係數\( \displaystyle \frac{3}{5} \)
但數字太大學生計算時容易出錯，平均一錯後面整個答案都是錯的
以下的數字比較簡單，適合用在平時測驗及期中考試
資料\( \Bigg[\; \matrix{3 & 3 & 1 & 5 \cr 5 & 3 & 3 & 1} \Bigg]\; \)
第一組 平均3標準差\( \sqrt{2} \)
第二組 平均3標準差\( \sqrt{2} \)
共變數\( \displaystyle -1 \)相關係數\( \displaystyle -\frac{1}{2} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{5 & 5 & 5 & 1 \cr 5 & 1 & 1 & 1} \Bigg]\; \)
第一組 平均4標準差\( \sqrt{3} \)
第二組 平均2標準差\( \sqrt{3} \)
共變數\( \displaystyle 1 \)相關係數\( \displaystyle \frac{1}{3} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{1 & -3 & -1 & -1 \cr 2 & 0 & 0 & -2} \Bigg]\; \)
第一組 平均-1標準差\( \sqrt{2} \)
第二組 平均0標準差\( \sqrt{2} \)
共變數\( \displaystyle 1 \)相關係數\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{-1 & -3 & 3 & -3 \cr 3 & -3 & -3 & -1} \Bigg]\; \)
第一組 平均-1標準差\( \sqrt{6} \)
第二組 平均-1標準差\( \sqrt{6} \)
共變數\( \displaystyle -1 \)相關係數\( \displaystyle -\frac{1}{6} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{2 & -2 & 2 & 2 \cr 3 & 3 & -1 & 3} \Bigg]\; \)
第一組 平均1標準差\( \sqrt{3} \)
第二組 平均2標準差\( \sqrt{3} \)
共變數\( \displaystyle -1 \)相關係數\( \displaystyle -\frac{1}{3} \)
資料\( \Bigg[\; \matrix{-3 & 3 & 1 & -1 \cr -1 & -3 & 3 & 1} \Bigg]\; \)
第一組 平均0標準差\( \sqrt{5} \)
第二組 平均0標準差\( \sqrt{5} \)
共變數\( \displaystyle -1 \)相關係數\( \displaystyle -\frac{1}{5} \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-10-6 08:01 PM 編輯 [/i]]
計算迴歸直線方程式
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=green]要先載入descriptive.mac才能使用cov指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("descriptive.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/descriptive/descriptive.mac[/i]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]
LinearRegression(XLowerBound,XUpperBound,YLowerBound,YUpperBound,n):=block(
for i:1 thru 50 do
(x:create_list(random(XUpperBound-XLowerBound+1)+XLowerBound,i,1,n),
y:create_list(random(YUpperBound-YLowerBound+1)+YLowerBound,i,1,n),
data:matrix(x,y),
cov:cov(transpose(data)),
m:cov[1,2]/cov[1,1],
if cov[1,1]#0 and cov[2,2]#0 and integerp(mean(x))=true and integerp(mean(y))=true then
print("資料",data,"迴歸直線","y-",mean(y),"=",m,"(x-",mean(x),")")
)
)$[/color]
[color=green]LinearRegression(第一組下界,第一組上界,第二組下界,第二組上界,個數)[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]LinearRegression(1,10,1,10,5);[/color]
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{5 & 3 & 6 & 7 & 4 \cr 8 & 3 & 4 & 1 & 4} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-4=-\frac{2}{5}(x-5) \)
[color=red](%o3)[/color] [i]done[/i]
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
指令：LinearRegression(1,10,1,10,5);
說明：第一組範圍為1~10，第二組範圍為1~10，產生5筆資料
範例：設有兩組資料如下：
[table=60%][tr][td][align=center]x[/align][/td][td]5[/td][td]3[/td][td]6[/td][td]7[/td][td]4[/td][/tr][tr][td][align=center]y[/align][/td][td]8[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]1[/td][td]4[/td][/tr][/table]則y對x的迴歸直線方程式為[u] \( \displaystyle y-4=-0.4(x-5) \) [/u]
其他範例：
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{6 & 5 & 4 & 8 & 2 \cr 7 & 2 & 6 & 5 & 10} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-6=-\frac{7}{10}(x-5) \)
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{5 & 5 & 10 & 5 & 5 \cr 10 & 7 & 2 & 9 & 7} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-7=-\frac{5}{4}(x-6) \)
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 & 4 & 9 & 3 & 1 \cr 7 & 7 & 5 & 9 & 7} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-7=-\frac{1}{3}(x-4) \)
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{8 & 1 & 9 & 5 & 7 \cr 10 & 10 & 7 & 6 & 7} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-8=-\frac{1}{5}(x-6) \)
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 & 4 & 2 & 5 & 1 \cr 4 & 5 & 7 & 4 & 10} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-6=-\frac{7}{5}(x-3) \)
資料\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 & 8 & 2 & 7 & 10 \cr 1 & 2 & 7 & 10 & 10} \Bigg]\; \)迴歸直線 \( \displaystyle y-6=\frac{1}{2}(x-6) \)
範例：在一個化學反應中，某化學物質的反應速率為Y g/min與某種催化劑的量X g有關，現在紀錄了5組數據於下表中，試求Y對X的迴歸直線方程式
[table=60%][tr][td][align=center]X[/align][/td][td]6[/td][td]7[/td][td]8[/td][td]9[/td][td]10[/td][/tr][tr][td][align=center]Y[/align][/td][td]6[/td][td]8[/td][td]9[/td][td]9[/td][td]13[/td][/tr][/table]則Y關於X的迴歸直線為\( \displaystyle y-9=\frac{3}{2}(x-8) \)
其他範例：
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr 8 & 8 & 9 & 11 & 14} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-10=\frac{3}{2}(x-8) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr 5 & 6 & 9 & 10 & 10} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-8=\frac{7}{5}(x-8) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr 4 & 4 & 5 & 6 & 11} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-6=\frac{8}{5}(x-8) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr 5 & 7 & 9 & 10 & 14} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-9=\frac{21}{10}(x-8) \)
範例：某冰店為了研究溫度與冰品銷售的影響，經過統計後得到下表：
[table=60%][tr][td][align=center]溫度x℃[/align][/td][td]30[/td][td]31[/td][td]32[/td][td]33[/td][td]34[/td][/tr][tr][td][align=center]份數y份[/align][/td][td]59[/td][td]77[/td][td]94[/td][td]95[/td][td]100[/td][/tr][/table]則y關於x的迴歸直線為[u] \( y-85=10(x-32) \) [/u]
其他範例：
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{30 & 31 & 32 & 33 & 34 \cr 66 & 70 & 72 & 92 & 100} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-80=9(x-32) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{30 & 31 & 32 & 33 & 34 \cr 56 & 58 & 70 & 82 & 99} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-73=11(x-32) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{33 & 34 & 35 & 36 & 37 \cr 82 & 109 & 116 & 123 & 125} \Bigg]\;
\)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-111=10(x-35) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{33 & 34 & 35 & 36 & 37 \cr 83 & 86 & 102 & 106 & 128} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-101=11(x-35) \)
[i]資料[/i]\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{33 & 34 & 35 & 36 & 37 \cr 89 & 103 & 114 & 117 & 127} \Bigg]\; \)[i]迴歸直線[/i] \( \displaystyle y-110=9(x-35) \)
利用lsquares_estimates指令計算迴歸直線方程式
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=green]要先載入lsquares.mac才能使用lsquares_estimates指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("lsquares.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]"C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/lsquares/lsquares.mac"[/i]
[color=green]資料[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]data:matrix([1,9],[2,3],[3,4],[4,7],[5,2]);[/color]
[color=red](%o2)[/color] \( \left[\ \matrix{1 & 9 \cr 2 & 3 \cr 3 & 4 \cr 4 & 7 \cr 5 & 2} \right]\ \)
[color=green]利用最小平方法計算迴歸直線方程式(y=ax+b)
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]lsquares_estimates(data,[x,y],y=a*x+b,[a,b]);[/color]
[color=red](%o3)[/color] [ [a=-1,b=8] ]
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
設\( r \ge s \ge t \ge u \ge 0 \)且滿足\( 5r+4s+3t+6u=2012 \)。試求\( r+s+t+u \)的最大值與最小值。
(101高中數學能力競賽 台北市筆試一試題，[url]https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html[/url])
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=green]要先載入simplex.mac才能使用maximize_lp,minimize_lp指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("simplex.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/contrib/simplex/simplex.mac[/i]
[color=green]按照英文字母順序顯示[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]powerdisp:true;[/color]
[color=red](%o2)[/color] [i]true[/i]
[color=green]假設新的變數x,y,z,w且\( x,y,z,w \ge 0 \)[/color]
[color=red](%i3)[/color]
[color=blue]x=r-s;
y=s-t;
z=t-u;
w=u;[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( x=r-s \)
[color=red](%o4)[/color] \( y=s-t \)
[color=red](%o5)[/color] \( z=t-u \)
[color=red](%o6)[/color] \( w=u \)
[color=green]將舊的變數r,s,t,u改用x,y,z,w表示[/color]
[color=red](%i7)[/color] [color=blue]solve([%o3,%o4,%o5,%o6],[r,s,t,u]);[/color]
[color=red](%o7)[/color] \( [ [r=w+x+y+z,s=w+y+z,t=w+z,u=w] ] \)
[color=green]將限制式5r+4s+3t+6u=2012改用x,y,z,w表示[/color]
[color=red](%i8)[/color]
[color=blue]5*r+4*s+3*t+6*u=2012;
ev(%,%o7);
cond:ratsimp(%);[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( 5r+4s+3t+6u=2012 \)
[color=red](%o9)[/color] \( 6w+3(w+z)+4(w+y+z)+5(w+x+y+z)=2012 \)
[color=red](%o10)[/color] \( 18w+5x+9y+12z=2012 \)
[color=green]將目標函數r+s+t+u改用x,y,z,w表示[/color]
[color=red](%i11)[/color]
[color=blue]r+s+t+u;
obj:ev(%,%o7);[/color]
[color=red](%o11)[/color] \( r+s+t+u \)
[color=red](%o12)[/color] \( 4w+x+2y+3z \)
[color=green]使用線性規劃找最大值
obj目標函數，cond限制式，nonegative_lp非負的變數
當\( \displaystyle x=0,y=0,z=\frac{503}{3},w=0 \)時，有最大值503[/color]
[color=red](%i13)[/color] [color=blue]maximize_lp(obj,[cond]),nonegative_lp=true;[/color]
[color=red](%o13)[/color] \( \displaystyle [503,[z=\frac{503}{3},y=0,x=0,w=0]] \)
[color=green]使用線性規劃找最小值
obj目標函數，cond限制式，nonegative_lp非負的變數
當\( \displaystyle x=\frac{2012}{5},y=0,z=0,w=0 \)時，有最小值\( \displaystyle \frac{2012}{5} \)[/color]
[color=red](%i14)[/color] [color=blue]minimize_lp(obj,[cond]),nonegative_lp=true;[/color]
[color=red](%o14)[/color] \( \displaystyle [\frac{2012}{5},[z=0,y=0,x=\frac{2012}{5},w=0]] \)
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-11-13 06:09 PM 編輯 [/i]]
All 20 diagonals are drawn in a regular octagon. At how many distinct points in the interior of the octagon (not on the boundary) do two or more diagonals intersect?
(A)49 (B)65 (C)70 (D)96 (E)128
(2013AMC10A，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2013_AMC_10A_Problems/Problem_25[/url])
[url]http://www.youtube.com/watch?v=3ovuMRYs--8[/url]
解答可以看上面的連結，但我要藉這個主題來分享一篇論文
Poonen, B. and Rubinstein, M. "The Number of Intersection Points Made by the Diagonals of a Regular Polygon." SIAM J. Disc. Math. 11, 135-156, 1998.
[url]http://www.google.com/search?q=the+number+of+intersection+points+made+by+the+diagonals+of+a+regular+polygon&aq=f&oq=the+number+of+intersection+points+made+by+the+diagonals+of+a+regular+polygon&sourceid=chrome&ie=UTF-8[/url]
[url]http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygonDivisionbyDiagonals.html[/url]
論文第3頁列出交點數和區域數的公式，第7頁列出2條對角線、3條對角線、…、7條對角線的交點數。公式請參閱論文
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ul.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_uc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ur.gif[/img]
[color=green]定義δ(m,n)函數[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]delta(m,n):=if mod(n,m)=0 then 1 else 0;[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( \delta(m,n):=if mod(n,m)=0 then 1 else 0 \)
[color=green]交點數公式I(n)[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]I(n):=binomial(n,4)
+(-5*n^3+45*n^2-70*n+24)/24*delta(2,n)
-(3*n/2)*delta(4,n)
+(-45*n^2+262*n)/6*delta(6,n)
+42*n*delta(12,n)
+60*n*delta(18,n)
+35*n*delta(24,n)
-38*n*delta(30,n)
-82*n*delta(42,n)
-330*n*delta(60,n)
-144*n*delta(84,n)
-96*n*delta(90,n)
-144*n*delta(120,n)
-96*n*delta(210,n);[/color]
[color=red](%o2)[/color]
\( \displaystyle \matrix{I(n):={n \choose 4}+\frac{(-5)n^3+45n^2+(-70)n+24}{24}\delta(2,n) \cr
+(\; -\frac{3n}{2} )\; \delta(4,n) \cr
+\frac{(-45)n^2+262n}{6}\delta(6,n) \cr
+42 n \delta(12,n) \cr
+60 n \delta(18,n) \cr
+35 n \delta(24,n) \cr
+(-38) n \delta(30,n) \cr
+(-82) n \delta(42,n) \cr
+(-330) n \delta(60,n) \cr
+(-144) n \delta(84,n) \cr
+(-96) n \delta(90,n) \cr
+(-144) n \delta(120,n) \cr
+(-96) n \delta(210,n)} \)
[color=green]區域數公式R(n)[/color]
[color=red](%i3)[/color]
[color=blue]R(n):=(n^4-6*n^3+23*n^2-42*n+24)/24
+(-5*n^3+42*n^2-40*n-48)/48*delta(2,n)
-(3*n/4)*delta(4,n)
+(-53*n^2+310*n)/12*delta(6,n)
+(49*n/2)*delta(12,n)
+32*n*delta(18,n)
+19*n*delta(24,n)
-36*n*delta(30,n)
-50*n*delta(42,n)
-190*n*delta(60,n)
-78*n*delta(84,n)
-48*n*delta(90,n)
-78*n*delta(120,n)
-48*n*delta(210,n);[/color]
[color=red](%o3)[/color]
\( \displaystyle \matrix{R(n):=\frac{n^4-6n^3+23 n^2+(-42)n+24}{24} \cr
+\frac{(-5)n^3+42n^2+(-40)n-48}{48}\delta(2,n) \cr
+(\; -\frac{3n}{4} )\; \delta(4,n) \cr
+\frac{(-53)n^2+310n}{12}\delta(6,n) \cr
+\frac{49n}{2}\delta(12,n) \cr
+32 n \delta(18,n) \cr
+19 n \delta(24,n) \cr
+(-36) n \delta(30,n) \cr
+(-50) n \delta(42,n) \cr
+(-190) n \delta(60,n) \cr
+(-78) n \delta(84,n) \cr
+(-48) n \delta(90,n) \cr
+(-78) n \delta(120,n) \cr
+(-48) n \delta(210,n)} \)
[color=green]2條對角線交於一點的個數[/color]
[color=red](%i4)[/color]
[color=blue]a2(n):=n*((n^3-6*n^2+11*n-6)/24
+(-5*n^2+46*n-72)/16*delta(2,n)
-9/4*delta(4,n)
+(-19*n+110)/2*delta(6,n)
+54*delta(12,n)
+84*delta(18,n)
+50*delta(24,n)
-24*delta(30,n)
-100*delta(42,n)
-432*delta(60,n));[/color]
[color=red](%o4)[/color]
\( \displaystyle \matrix{a2(n):=n \Bigg(\; \frac{n^3-6n^2+11n-6}{24} \cr
+\frac{(-5)n^2+46n-72}{16} \delta(2,n) \cr
+\frac{-9}{4}\delta(4,n) \cr
+\frac{(-19)n+110}{2} \delta(6,n) \cr
+54 \delta(12,n) \cr
+84 \delta(18,n) \cr
+50 \delta(24,n) \cr
+(-24) \delta(30,n) \cr
+(-100) \delta(42,n) \cr
+(-432) \delta(60,n) \Bigg)\;} \)
[color=green]3條對角線交於一點的個數[/color]
[color=red](%i5)[/color]
[color=blue]a3(n):=n*((5*n^2-48*n+76)/48*delta(2,n)
+3/4*delta(4,n)
+(7*n-38)/6*delta(6,n)
-8*delta(12,n)
-20*delta(18,n)
-16*delta(24,n)
-19*delta(30,n)
+8*delta(42,n)
+68*delta(60,n)
+60*delta(84,n)
+48*delta(90,n)
+60*delta(120,n)
+48*delta(210,n));[/color]
[color=red](%o5)[/color]
\( \displaystyle \matrix{a3(n):=n\Bigg(\; \frac{5n^2-48n+76}{48}\delta(2,n) \cr
+\frac{3}{4} \delta(4,n) \cr
+\frac{7n-38}{6}\delta(6,n) \cr
+(-8)\delta(12,n) \cr
+(-20)\delta(18,n) \cr
+(-16)\delta(24,n) \cr
+(-19)\delta(30,n) \cr
+8 \delta(42,n) \cr
+68 \delta(60,n) \cr
+60 \delta(84,n) \cr
+48 \delta(90,n) \cr
+60 \delta(120,n) \cr
+48 \delta(210,n) \Bigg)\;} \)
[color=green]4條對角線交於一點的個數[/color]
[color=red](%i6)[/color]
[color=blue]a4(n):=n*((7*n-42)/12*delta(6,n)
-5/2*delta(12,n)
-4*delta(18,n)
+3*delta(24,n)
+6*delta(42,n)
+34*delta(60,n)
-6*delta(84,n)
-6*delta(120,n));[/color]
[color=red](%o6)[/color]
\( \displaystyle \matrix{a4(n):=n\Bigg(\; \frac{7n-42}{12}\delta(6,n) \cr
-\frac{5}{2}\delta(12,n) \cr
+(-4)\delta(18,n) \cr
+3 \delta(24,n) \cr
+6 \delta(42,n) \cr
+34 \delta(60,n) \cr
+(-6) \delta(84,n) \cr
+(-6) \delta(120,n) \Bigg)\;} \)
[color=green]5條對角線交於一點的個數[/color]
[color=red](%i7)[/color]
[color=blue]a5(n):=n*((n-6)/4*delta(6,n)
-3/2*delta(12,n)
-2*delta(24,n)
+4*delta(42,n)
+6*delta(84,n)
+6*delta(120,n));[/color]
[color=red](%o7)[/color]
\( \displaystyle \matrix{a5(n):=n\Bigg(\; \frac{n-6}{4}\delta(6,n) \cr
-\frac{3}{2} \delta(12,n) \cr
+(-2) \delta(24,n) \cr
+4 \delta(42,n) \cr
+6 \delta(84,n) \cr
+6 \delta(120,n) \Bigg)\;} \)
[color=green]6條對角線交於一點的個數[/color]
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]a6(n):=n*(4*delta(30,n)-4*delta(60,n));[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( a6(n):=n(4\delta(30,n)-4 \delta(60,n)) \)
[color=green]7條對角線交於一點[/color]
[color=red](%i9)[/color] [color=blue]a7(n):=n*(delta(30,n)+4*delta(60,n));[/color]
[color=red](%o9)[/color] \( a7(n):=n(\delta(30,n)+4 \delta(60,n)) \)
[color=green]以論文第2頁的正30邊形為例，有16801個交點，有21480個區域。
2條對角線交於一點有13800個
3條對角線交於一點有2250個
4條對角線交於一點有420個
5條對角線交於一點有180個
6條對角線交於一點有120個
7條對角線交於一點有30個
15條對角線交於一點有1個(中心)[/color]
[color=red](%i10)[/color]
[color=blue]n:30;
I(n);
R(n);
a2(n);
a3(n);
a4(n);
a5(n);
a6(n);
a7(n);[/color]
[color=red](%o10)[/color] 30
[color=red](%o11)[/color] 16801
[color=red](%o12)[/color] 21480
[color=red](%o13)[/color] 13800
[color=red](%o14)[/color] 2250
[color=red](%o15)[/color] 420
[color=red](%o16)[/color] 180
[color=red](%o17)[/color] 120
[color=red](%o18)[/color] 30
[img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_ll.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lc.gif[/img][img]http://www.permucode.com/maxima/wxm_lr.gif[/img]
由邊長為1的正三角形堆疊n層，試問邊長為6時(即\( a_6 \))，所有大大小小之平行四邊形總數為
(101陽明高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1433&page=1#pid6580[/url])
公式：\( \displaystyle 3C_{4}^{n+2} \)
可以再進一步問正三角形個數有多少
M. E. Larsen, The eternal triangle - a history of a counting problem, College Math. J., 20 (1989), 370-392.
[url]http://www.google.com/search?q=The+eternal+triangle+-+a+history+of+a+counting+problem&aq=f&oq=The+eternal+triangle+-+a+history+of+a+counting+problem&sourceid=chrome&ie=UTF-8[/url]
[url]http://oeis.org/A002717[/url]
[url]http://www.math.ku.dk/~mel/mel.pdf[/url]
正三角形個數\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{n(n+2)(2n+1)}{8} \Bigg]\; \)
其中還可以細分兩種正三角形
△正三角形個數：\( \displaystyle C_3^{n+2} \)
▽正三角形個數：\( \displaystyle \frac{n(n+2)(2n-1)}{24}-\frac{\delta(n)}{8} \) ， \( \displaystyle \delta(n)=\cases{0 \text{for $n$ even} \cr 1 \text{for $n$ odd}} \)
[color=green]正三角形個數公式f(n)[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]f(n):=floor((n*(n+2)*(2*n+1))/8);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( \displaystyle f(n) :=floor \Bigg(\;\frac{n(n+2)(2n+1)}{8} \Bigg)\; \)
[color=green]△正三角形個數[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]Delta(n):=binomial(n+2,3);[/color]
[color=red](%o2)[/color] \( \Delta(n) :=\Bigg(\; \matrix{n+2 \cr 3} \Bigg)\; \)
[color=green]定義δ(n)函數[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]delta(n):=if evenp(n)=true then 0 else 1;[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( \delta(n) \):=if evenp(n)=true then 0 else 1
[color=green]▽正三角形個數
nabla符號為▽，[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Nabla_symbol[/url][/color]
[color=red](%i4)[/color] [color=blue]nabla(n):=n*(n+2)*(2*n-1)/24-delta(n)/8;[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle nabla(n) :=\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}-\frac{\delta(n)}{8} \)
[color=green]以論文第1頁的n=6為例
正三角形78個
△正三角形56個
▽正三角形22個[/color]
[color=red](%i5)[/color]
[color=blue]n:6;
f(n);
Delta(n);
nabla(n);[/color]
[color=red](%o5)[/color] 6
[color=red](%o6)[/color] 78
[color=red](%o7)[/color] 56
[color=red](%o8)[/color] 22
隨機產生數獨
h ttp://www.cymric.jp/maxima/sudoku.html (連結失效)
改放在[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=4717&k=40f88f5f14235e54987d24da04ee1e01&t=1538952070[/url]
將sudoku.mac放在C:\Program Files\Maxima-5.31.2\share\maxima\5.31.2\share目錄底下
開啟maxima輸入以下的指令
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("sudoku.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]"C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.2/share/maxima/5.31.2/share/sudo.mac"[/i]
[color=green]有50%的機會傳回-1代表產生數獨失敗[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]sudoku();[/color]
[color=red](%o2)[/color] \( \displaystyle \left[ \matrix{9 & 2 & 1 & 5 & 3 & 7 & 6 & 8 & 4 \cr
4 & 3 & 7 & 8 & 2 & 6 & 1 & 5 & 9 \cr
6 & 8 & 5 & 4 & 9 & 1 & 3 & 2 & 7 \cr
2 & 1 & 8 & 7 & 6 & 9 & 4 & 3 & 5 \cr
3 & 9 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 6 & 1 \cr
7 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 2 & 9 & 8 \cr
5 & 4 & 9 & 3 & 7 & 2 & 8 & 1 & 6 \cr
8 & 6 & 3 & 9 & 1 & 4 & 5 & 7 & 2 \cr
1 & 7 & 2 & 6 & 5 & 8 & 9 & 4 & 3} \right] \)
設銳角三角形ABC的外接圓半徑為8，已知外接圓圓心到\( \overline{AB} \)的距離2，而到\( \overline{BC} \)的距離為7，則\( \overline{AC}= \)？
(102學測)
學測這題只問\( \overline{AC} \)長度所以比較簡單，可以改求外接圓圓心到\( \overline{AC} \)的距離為何？但為了數字好算，我寫了一個小程式來找有哪些正整數解。
設外接圓圓心為R，圓心到\( \overline{AB} \)的距離為a，到\( \overline{BC} \)的距離為b，到\( \overline{CA} \)的距離為c，試找出正整數解\( (a,b,c,R)= \)？
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=2562&k=919229f43e1f874dd7af848e8d52a54a&t=1413715574&noupdate=yes[/img]
\( \displaystyle sin B=sin(\theta_1+\theta_2)=sin \theta_1 cos \theta_2+cos \theta_1 sin \theta_2=\frac{a}{R} \cdot \frac{\sqrt{R^2-b^2}}{R}+\frac{\sqrt{R^2-a^2}}{R} \cdot \frac{b}{R} \)
AC弧的圓周角為\( \theta_1+\theta_2 \)，圓心角為\( 2 \theta \)，所以\( 2(\theta_1+\theta_2)=2 \theta \)，\( sin(\theta_1+\theta_2)=sin \theta \)
\( \displaystyle \frac{a \sqrt{R^2-b^2}+b \sqrt{R^2-a^2}}{R^2}=\frac{\sqrt{R^2-c^2}}{R} \)
\( a \sqrt{R^2-b^2}+b \sqrt{R^2-a^2}-R \sqrt{R^2-c^2}=0 \)
[color=green]要檢驗的式子[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]equation:a*sqrt(R^2-b^2)+b*sqrt(R^2-a^2)-R*sqrt(R^2-c^2);[/color]
[color=red](%o1)[/color] \( -R \sqrt{R^2-c^2}+a \sqrt{R^2-b^2}+b \sqrt{R^2-a^2} \)
[color=green]將符合上式的(a,b,c,R)印出來[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]for R:3 thru 30 do
(for c:1 thru R-1 do
(for b:1 thru c-1 do
(for a:1 thru b-1 do
(if ev(equation,[a=a,b=b,c=c,R=R])=0 then
(print("a=",a,",b=",b,",c=",c,",R=",R)
)
)
)
)
);[/color]
\( a=2,b=7,c=11,R=14 \)
\( a=2,b=9,c=12,R=16 \)
\( a=6,b=11,c=14,R=21 \)
\( a=1,b=13,c=22,R=26 \)
\( a=4,b=14,c=22,R=28 \)
\( a=3,b=14,c=25,R=30 \)
[color=red](%o2)[/color] [i]done[/i]
範例1：
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=2563&k=bb5c596732fa49ba4fc9beacda824700&t=1413715574&noupdate=yes[/img]
設銳角三角形\( ABC \)的外接圓半徑為14，已知外接圓圓心到\( \overline{AB} \)的距離2，而到\( \overline{BC} \)的距離為7，則外接圓圓心到\( \overline{CA} \)的距離為？
範例2：
設銳角三角形ABC的外接圓圓心為\( O \)，已知圓心\( O \)到\( \overline{AB} \)的距離2，圓心\( O \)到\( \overline{BC} \)的距離為7，圓心\( O \)到\( \overline{CA} \)的距離為11，則外接圓半徑為？
(提示：要改用\( cos(\theta_1+\theta_2)=cos \theta \)計算)
設三角形ABC的外接圓半徑為\( R \)，外接圓圓心到三邊的距離為\( a,b,c \)，試證：\( R \)為三次方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)的一根。
三個半徑為1的圓兩兩外切且內切於一個正方形，試問正方形的邊長是[u] [/u]？
(102松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-1655-1-1.html[/url])
[img]http://www2.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/cs3.gif[/img]
正方形邊長為1，內部8個等圓相切如圖，若圓半徑為\( \displaystyle \frac{a+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{4} \)，其中\( a,b,c \)均為自然數，求\( (a,b,c)= \)[u] [/u]。
(103彰化高中科學班，[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=3074&k=6815e6b240f81cd4ef9bee0748f5189c&t=1441633124[/url])
[img]http://www2.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/cs8.gif[/img]
這個網頁列出了1到24個單位圓的最小正方形邊長為何？
[url]http://www2.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/[/url]
我利用maxima的非線性規劃函數fmin_cobyla求2,3,5個單位圓的最小正方形邊長，只是\( n=5 \)時就得不到正確答案。
[color=green]要先載入fmin_cobyla.mac才能使用fmin_cobyla指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("fmin_cobyla.mac");[/color]
[color=red](%o1)[/color] [i]C:/Program Files/Maxima-sbcl-5.37.1/share/maxima/5.37.1/share/cobyla/fmin_cobyla.mac[/i]
[color=green]設定5位小數[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]fpprintprec:5;[/color]
[color=red](%o2)[/color] 5
[color=green]求內含2個單位圓的最小正方形邊長(s=2+√2)[/color]
[color=red](%i3)[/color]
[color=blue]solution:fmin_cobyla(s,[s,x1,y1,x2,y2],[1,1,1,1,1],
constraints=[1<=x1,x1<=s-1,
1<=y1,y2<=s-1,
1<=x2,x2<=s-1,
1<=y2,y2<=s-1,
sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)>=2]);[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( [[s=3.4142,x1=2.4142,y1=1.0,x2=1.0,y2=2.4142],3.4142,62,0] \)
[color=green]求內含3個單位圓的最小正方形邊長(s=2+1/√2+√6/2)[/color]
[color=red](%i4)[/color]
[color=blue]solution:fmin_cobyla(s,[s,x1,y1,x2,y2,x3,y3],[1,1,1,1,1,1,1],
constraints=[1<=x1,x1<=s-1,
1<=y1,y2<=s-1,
1<=x2,x2<=s-1,
1<=y2,y2<=s-1,
1<=x3,x3<=s-1,
1<=y3,y3<=s-1,
sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)>=2,
sqrt((x2-x3)^2+(y2-y3)^2)>=2,
sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)>=2]);[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( [[s=3.9319,x1=1.0,y1=1.0,x2=1.5176,y2=2.9319,x3=2.9319,y3=1.5176],3.9319,111,0] \)
[color=green]求內含5個單位圓的最小正方形邊長(s=2+2√2)
只是無法得到正確答案[/color]
[color=red](%i5)[/color]
[color=blue]solution:fmin_cobyla(s,[s,x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5],[1,2,1,3,1,4,2,4,1,2,1],
constraints=[1<=x1,x1<=s-1,
1<=y1,y2<=s-1,
1<=x2,x2<=s-1,
1<=y2,y2<=s-1,
1<=x3,x3<=s-1,
1<=y3,y3<=s-1,
1<=x4,x4<=s-1,
1<=y4,y4<=s-1,
1<=x5,x5<=s-1,
1<=y5,y5<=s-1,
sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)>=2,
sqrt((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)>=2,
sqrt((x1-x4)^2+(y1-y4)^2)>=2,
sqrt((x1-x5)^2+(y1-y5)^2)>=2,
sqrt((x2-x3)^2+(y2-y3)^2)>=2,
sqrt((x2-x4)^2+(y2-y4)^2)>=2,
sqrt((x2-x5)^2+(y2-y5)^2)>=2,
sqrt((x3-x4)^2+(y3-y4)^2)>=2,
sqrt((x3-x5)^2+(y3-y5)^2)>=2,
sqrt((x4-x5)^2+(y4-y5)^2)>=2]);[/color]
[color=red](%o5)[/color] \( [[s=5.0907,x1=1.0,y1=3.0,x2=3.0,y2=1.0,x3=2.6764,y3=4.0907,x4=4.0907,y4=2.6764,x5=1.0,y5=1.0],5.0907,236,0] \)
原本maxima都是用Gnuplot當作預設的繪圖介面，這個網列有許多maxima和Gnuplot的範例
[url]http://riotorto.users.sourceforge.net/Maxima/vtk/index.html[/url]
最新的windows的maxima 5.38加入VTK，關於VTK我取自wiki的介紹。
視覺化工具函式庫（VTK， Visualization Toolkit）是一個開放源碼，跨平台、支援平行處理（VTK曾用於處理大小近乎1個Petabyte的資料，其平台為美國Los Alamos國家實驗室所有的具1024個處理器之大型系統）的圖形應用函式庫。
[url]https://zh.wikipedia.org/wiki/VTK[/url]
這個網頁列出非常多maxima和VTK的範例
[url]http://riotorto.users.sourceforge.net/vtk/[/url]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("draw") $[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]draw_renderer : 'vtk $[/color]
[color=green]範例取自[/color][url]http://riotorto.users.sourceforge.net/vtk/solids/index.html[/url]
[color=red](%i3)[/color]
[color=blue]draw3d(
color = red,
sphere([0,2,0],1),
color = green,
sphere([0,2,2],1),
color = blue,
sphere([0,2,4],1) ) $[/color]
[img]http://riotorto.users.sourceforge.net/Maxima/vtk/sphere/vtksol1.png[/img]
解\(2x^2-11[\;x ]\;+12=0 \)
(建中通訊解題第24期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
若\(x\)是實數，定義\([\;x ]\;\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，試求方程式\( 2x^2-5[\;x ]\;+1=0 \)的解。
(建中通訊解題第52期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
[]表高斯符號，求解\(3x^2-19 \cdot [\;x ]\;+20=0\)。
(105高雄餐旅大學附屬高中，[url]https://math.pro/db/thread-2527-1-2.html[/url])
111.4.24補充
假設\([\; ]\;\)為高斯記號(說明：例如\([\;a ]\;\)表示小於或等於實數\(a\)的最大整數)，請求出方程式\(x^2-12[\;x ]\;+11=0\)的所有解[u] [/u]。
(111桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-3632-1-1.html[/url])
我以建中通訊解題第24期這題示範如何用maxima解題，網友可自行更換係數測試。
[color=green]要先載入solve_rat_ineq才能使用solve_rat_ineq指令[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]load("solve_rat_ineq");[/color]
[color=red](%o1)[/color] C:\maxima-5.38.0\share\maxima\5.38.0_dirty\share\solve_rat_ineq\solve_rat_ineq.mac
[color=green]高斯函數方程式2x^2-11[x]+12=0[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]Equation:2*x^2-11*floor(x)+12;[/color]
[color=red](%o2)[/color] \(-11 floor(x)+2x^2+12 \)
[color=green]移項得到[x]=(2x^2+12)/11[/color]
[color=red](%i3)[/color] [color=blue]FloorX:solve(Equation,floor(x));[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle [\; floor(x)=\frac{2x^2+12}{11} ]\; \)
[color=green]利用x-1<[x]，求x的範圍[/color]
[color=red](%i4)[/color] [color=blue]x-1<rhs(FloorX[1]);[/color]
[color=red](%o4)[/color] \( \displaystyle x-1<\frac{2x^2+12}{11} \)
[color=green]x的範圍為所有實數[/color]
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]solve_rat_ineq(%);[/color]
0 errors, 0 warnings
[color=red](%o5)[/color] [i]all[/i]
[color=green]利用[x]≦x，求x的範圍[/color]
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]rhs(FloorX[1])<=x;[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( \displaystyle \frac{2x^2+12}{11}<=x \)
[color=green]x的範圍為3/2≦x≦4[/color]
[color=red](%i7)[/color] [color=blue]solve_rat_ineq(%);[/color]
[color=red](%o7)[/color] \( \displaystyle [\;[\; x>=\frac{3}{2},x<=4 ]\; ]\; \)
[color=green]3/2≦x≦4範圍內，[x]有2,3,4三種可能[/color]
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]FloorXInteger:create_list(x,x,ceiling(rhs(%[1][1])),floor(rhs(%[1][2])));[/color]
[color=red](%o8)[/color] \( [\;2,3,4 ]\; \)
[color=green]將[x]值代回原方程式，解出x[/color]
[color=red](%i9)[/color]
[color=blue]for floorx in FloorXInteger do
(print("當[x]=",floorx,"時"),
equation:ev(Equation,floor(x)=floorx),
print("解方程式",equation,"=0"),
solution:solve(equation,x),
print("解為",solution),
for sol in solution do
(X:rhs(sol),
if floor(rhs(sol))=floorx then
(print("驗算[",X,"]=",floor(X),"是否等於",floorx,"是,正確答案為",sol))
else
(print("驗算[",X,"]=",floor(X),"是否等於",floorx,"否,不為正確答案"))
),
print(" ")
);[/color]
當\([\;x ]\;=2\)時
解方程式\( 2x^2-10=0 \)
解為\( [\;x=-\sqrt{5},x=\sqrt{5} ]\; \)
驗算\([\;-\sqrt{5} ]\;=-3\)是否等於2 否,不為正確答案
驗算\([\; \sqrt{5} ]\;=2\)是否等於2 是,正確答案為\(x=\sqrt{5}\)
當\([\;x ]\;=3\)時
解方程式\(2x^2-21=0\)
解為\( \displaystyle [\;x=-\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}},x=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}} ]\; \)
驗算\( \displaystyle \Bigg[\; -\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}} \Bigg]\;=-4 \)是否等於3 否,不為正確答案
驗算\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}} \Bigg]\;=3 \)是否等於3 是,正確答案為\( \displaystyle x=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}} \)
當\([\;x ]\;=4\)時
解方程式\(2x^2-32=0\)
解為\( [\;x=-4,x=4 ]\; \)
驗算\([\;-4 ]\;=-4\)是否等於4 否,不為正確答案
驗算\([\;4 ]\;=4\)是否等於4 是,正確答案為\(x=4\)
[color=red](%o9)[/color] [i]done[/i]
已知\( \Delta ABC \)三邊所在的三直線\( L_{AB} \)：\( a_1x+b_1y=c_1 \)，\( L_{AC} \)：\( a_2x+b_2y=c_2 \)，\( L_{BC} \)：\(a_3x+b_3y=c_3\)，則\( \Delta \)的面積為\( \displaystyle \frac{1}{2}\frac{\left| \matrix{a_1&b_1&c_1 \cr a_2&b_2&c_2 \cr a_3&b_3&c_3} \right|^2}{\left| \matrix{a_1&b_1\cr a_2&b_2} \right| \cdot \left| \matrix{a_2&b_2\cr a_3&b_3} \right| \cdot \left| \matrix{a_3&b_3\cr a_1&b_1} \right|} \)之絕對值。
阮瑞泰(2013)：已知三角形三邊所在直線方程式之面積公式。科學教育月刊，362 期(9月號)，p43～48。
[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/6256404c381784d09345bb5d/04-102038-%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E4%B8%89%E9%82%8A%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E4%B9%8B%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(%E6%9C%88%E5%88%8A%E4%BF%AE%E6%94%B997-%E5%8D%B0).pdf[/url]
陳建燁(2015)： 「已知三邊直線方程式之三角形面積公式」的另一種證法。科學教育月刊，第 382 期(9 月號)，p32～34。
[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/62564017381784d09345bac7/03-104040-(%E7%9F%A5%E8%AD%98)%E5%8F%A6%E8%AD%89%E3%80%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E9%82%8A%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E4%B9%8B%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%80%8D(%E6%9C%88%E5%88%8A).pdf[/url]
[color=green]改變變數顯示順序
例:x+y+z+1=0;
原本為z+y+x+1=0;
變成1+x+y+z=0;[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]powerdisp:true;[/color]
[color=red](%o1)[/color] true
[color=green]計算三角形面積副程式[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]Triangle(L1,L2,L3):=block
([augcoef,subaugcoef,detaugcoef,detsubaugcoef],
augcoef:augcoefmatrix([L1,L2,L3],[x,y]),
detaugcoef:determinant(augcoef),
print("取出三個直線的係數",matrix([L1],[L2],[L3]),"=>",augcoef,",行列式值=",detaugcoef),
subaugcoef:create_list(submatrix(i,augcoef,3),i,1,3),
detsubaugcoef:create_list(determinant(subaugcoef[ i ]),i,1,3),
print("取",matrix(["L2:",L2],["L3:",L3]),"的x,y係數=>",subaugcoef[1],"行列式值=",detsubaugcoef[1]),
print("取",matrix(["L1:",L1],["L3:",L3]),"的x,y係數=>",subaugcoef[2],"行列式值=",detsubaugcoef[2]),
print("取",matrix(["L1:",L1],["L2:",L2]),"的x,y係數=>",subaugcoef[3],"行列式值=",detsubaugcoef[3]),
print("三角形面積=1/2*",augcoef,"^2/|",subaugcoef[1],subaugcoef[2],subaugcoef[3],"|"),
print("=1/2*",detaugcoef,"^2/|",detsubaugcoef[1],"*",detsubaugcoef[2],"*",detsubaugcoef[3],"|"),
print("=",1/2*detaugcoef^2/abs(detsubaugcoef[1]*detsubaugcoef[2]*detsubaugcoef[3]))
)$[/color]
[color=green]三個直線方程式[/color]
[color=red](%i5)[/color]
[color=blue]L1:x+y=1;
L2:x-y=1;
L3:x+2*y=4;[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( x+y=1 \)
[color=red](%o4)[/color] \( x-y=1 \)
[color=red](%o5)[/color] \( x+2y=4 \)
[color=green]得到三角形面積[/color]
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]Triangle(L1,L2,L3);[/color]
取出三個直線的係數\( \left[ \matrix{x+y=1 \cr x-y=1 \cr x+2y=4} \right] \)=>\( \left[ \matrix{1&1&-1\cr 1&-1&-1\cr 1&2&-4} \right] \),行列式值\(=6\)
取\( \left[ \matrix{L2:&x-y=1 \cr L3:&x+2y=4}\right] \)的\(x,y\)係數=>\( \left[ \matrix{1&-1 \cr 1&2} \right] \)行列式值\(=3\)
取\( \left[ \matrix{L1:&x+y=1 \cr L3:&x+2y=4}\right] \)的\(x,y\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1 \cr 1&2} \right] \)行列式值\(=1\)
取\( \left[ \matrix{L1:&x+y=1 \cr L2:&x-y=1}\right] \)的\(x,y\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1 \cr 1&-1} \right] \)行列式值\(=-2\)
三角形面積\( =1/2*\left[ \matrix{1&1&-1\cr 1&-1&-1\cr 1&2&-4} \right]^2/|\; \left[ \matrix{1&-1\cr 1&2}\right] \left[ \matrix{1&1\cr 1&2}\right] \left[ \matrix{1&1\cr 1&-1}\right] |\; \)
\( =1/2*6^2/|\; 3*1*-2 |\; \)
\( =3\)
[color=red](%o6)[/color]
3
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
在空間中，已知某一四面體\(ABCD\)的四個面所在的平面方程式分別為：
\(E_1\)：\( a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \)，\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\)
\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0\)，\(E_4\)：\(a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0\)。
令\(A\)為\(E_2,E_3,E_4\)三平面的交點，\(B\)為\(E_1,E_3,E_4\)三平面的交點，
\(C\)為\(E_1,E_2,E_4\)三平面的交點，\(D\)為\(E_1,E_2,E_3\)三平面的交點。
則四面體體積\( \displaystyle V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot \frac{|\; \left| \matrix{a_1&b_1&c_1&d_1 \cr a_2&b_2&c_2&d_2 \cr a_3&b_3&c_3&d_3 \cr a_4&b_4&c_4&d_4} \right| |\;^3}{|\; \left| \matrix{a_2&b_2&c_2 \cr a_3&b_3&c_3 \cr a_4&b_4&c_4} \right| \cdot \left| \matrix{a_1&b_1&c_1 \cr a_3&b_3&c_3 \cr a_4&b_4&c_4} \right| \cdot \left| \matrix{a_1&b_1&c_1 \cr a_2&b_2&c_2 \cr a_4&b_4&c_4} \right| \cdot \left| \matrix{a_1&b_1&c_1 \cr a_2&b_2&c_2 \cr a_3&b_3&c_3} \right| |\;} \)。
陳建燁(2015)： 已知四面方程式之四面體體積公式。科學教育月刊，第 388 期(5月號)，p32～35。
[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/105(386-395)/388-PDF/03-104054-(知識)已知四面方程式之四面體體積公式(修改).pdf[/url]
[color=green]改變變數顯示順序
例:x+y+z+1=0;
原本為z+y+x+1=0;
變成1+x+y+z=0;[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]powerdisp:true;[/color]
[color=red](%o1)[/color] true
[color=green]計算四面體體積副程式[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]Tetrahedron(E1,E2,E3,E4):=block
([augcoef,subaugcoef,detaugcoef,detsubaugcoef],
augcoef:augcoefmatrix([E1,E2,E3,E4],[x,y,z]),
print("取出四個平面的係數",matrix([E1],[E2],[E3],[E4]),"=>",augcoef),
subaugcoef:create_list(submatrix(1,augcoef,i),i,1,4),/*針對第1列降階*/
detsubaugcoef:create_list(determinant(subaugcoef[ i ]),i,1,4),
print("針對第1列降階計算行列式值",augcoef),
print("=+",augcoef[1,1],subaugcoef[1],
"-",augcoef[1,2],subaugcoef[2],
"+",augcoef[1,3],subaugcoef[3],
"-",augcoef[1,4],subaugcoef[4]),
print("=+",augcoef[1,1],"*",detsubaugcoef[1],
"-",augcoef[1,2],"*",detsubaugcoef[2],
"+",augcoef[1,3],"*",detsubaugcoef[3],
"-",augcoef[1,4],"*",detsubaugcoef[4]),
print("=",detaugcoef:determinant(augcoef)),
subaugcoef:create_list(submatrix(i,augcoef,4),i,1,4),/*針對第4行降階*/
detsubaugcoef:create_list(determinant(subaugcoef[ i ]),i,1,4),
print("取",matrix(["E2:",E2],["E3:",E3],["E4:",E4]),"的x,y,z係數=>",subaugcoef[1],",行列式值=",detsubaugcoef[1]),
print("取",matrix(["E1:",E1],["E3:",E3],["E4:",E4]),"的x,y,z係數=>",subaugcoef[2],",行列式值=",detsubaugcoef[2]),
print("取",matrix(["E1:",E1],["E2:",E2],["E4:",E4]),"的x,y,z係數=>",subaugcoef[3],",行列式值=",detsubaugcoef[3]),
print("取",matrix(["E1:",E1],["E2:",E2],["E3:",E3]),"的x,y,z係數=>",subaugcoef[4],",行列式值=",detsubaugcoef[4]),
print("四面體體積=1/6*|",augcoef,"|^3/|",subaugcoef[1],"*",subaugcoef[2],"*",subaugcoef[3],"*",subaugcoef[4],"|"),
print("=1/6*|",detaugcoef,"|^3/|",detsubaugcoef[1],"*",detsubaugcoef[2],"*",detsubaugcoef[3],"*",detsubaugcoef[4],"|"),
print("=",1/6*abs(detaugcoef)^3/abs(detsubaugcoef[1]*detsubaugcoef[2]*detsubaugcoef[3]*detsubaugcoef[4]))
)$[/color]
[color=green]4個平面方程式[/color]
[color=red](%i6)[/color]
[color=blue]E1:x+y+z-2=0;
E2:x+y-z=0;
E3:x-y+z=0;
E4:-x+y+z=0;[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( -2+x+y+z=0 \)
[color=red](%o4)[/color] \( x+y-z=0 \)
[color=red](%o5)[/color] \( x-y+z=0 \)
[color=red](%o6)[/color] \( -x+y+z=0 \)
[color=green]得到四面體體積[/color]
[color=red](%i7)[/color] [color=blue]Tetrahedron(E1,E2,E3,E4);[/color]
取出四個平面的係數\( \left[ \matrix{-2+x+y+z=0 \cr x+y-z=0 \cr x-y+z=0 \cr -x+y+z=0} \right] \)=>\( \left[ \matrix{1&1&1&-2 \cr 1&1&-1&0 \cr 1&-1&1&0 \cr -1&1&1&0} \right] \)
針對第1列降階計算行列式值\( \left[ \matrix{1&1&1&-2 \cr 1&1&-1&0 \cr 1&-1&1&0 \cr -1&1&1&0} \right] \)
\( =+1 \left[ \matrix{1&-1&0\cr -1&1&0\cr 1&1&0} \right]-1\left[ \matrix{1&-1&0\cr 1&1&0\cr -1&1&0} \right]+1\left[ \matrix{1&1&0\cr 1&-1&0\cr -1&1&0} \right]--2\left[ \matrix{1&1&-1\cr 1&-1&1\cr -1&1&1} \right] \)
\( =+1*0-1*0+1*0--2*-4 \)
\(=-8\)
取\( \left[ \matrix{L2:&x+y-z=0 \cr L3:&x-y+z=0 \cr L4:&-x+y+z=0} \right] \)的\(x,y,z\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1&-1 \cr 1&-1&1 \cr -1&1&1 } \right] \),行列式值\(=-4\)
取\( \left[ \matrix{L1:&-2+x+y+z=0 \cr L3:&x-y+z=0 \cr L4:&-x+y+z=0} \right] \)的\(x,y,z\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&-1&1 \cr -1&1&1 } \right] \),行列式值\(=-4\)
取\( \left[ \matrix{L1:&-2+x+y+z=0 \cr L2:&x+y-z=0 \cr L4:&-x+y+z=0} \right] \)的\(x,y,z\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&1&-1 \cr -1&1&1 } \right] \),行列式值\(=4\)
取\( \left[ \matrix{L1:&-2+x+y+z=0 \cr L2:&x+y-z=0& \cr L3:&x-y+z=0&} \right] \)的\(x,y,z\)係數=>\( \left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&1&-1 \cr 1&-1&1} \right] \),行列式值\(-4\)
四面體體積\(=1/6*|\; \left[ \matrix{1&1&1&-2\cr 1&1&-1&0\cr 1&-1&1&0\cr -1&1&1&0}\right] |\;^3/|\; \left[ \matrix{1&1&-1 \cr 1&-1&1 \cr -1&1&1}\right]*\left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&-1&1 \cr -1&1&1}\right]*\left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&1&-1 \cr -1&1&1}\right]*\left[ \matrix{1&1&1 \cr 1&1&-1 \cr 1&-1&1}\right] |\;\)
\( =1/6*|\; -8 |\;^3/|\; -4*-4*4*-4 |\; \)
\( =\displaystyle \frac{1}{3} \)
[color=red](%o7)[/color] \( \displaystyle \frac{1}{3} \)
用行列式計算平面上的平行四邊形面積與空間中的平行六面體體積
[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/62564045381784d09345bb4e/04-102042-%E7%94%A8%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%A8%88%E7%AE%97(%E6%9C%88%E5%88%8A%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf[/url]
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
已知\( \Bigg\{\; \matrix{t_1 \le a_1x+b_1y \le t_2 \cr s_1 \le a_2x+b_2y \le s_2} \)求滿足條件的點\((x,y)\)所形成的平行四邊形面積\( \displaystyle =\frac{(t_2-t_1)(s_2-s_1)}{\left|\ \matrix{a_1&b_1 \cr a_2&b_2} \right|\ } \)的絕對值。
我以100新北市國中聯招這題示範如何使用Parallelogram(L1,L2)副程式。
在坐標平面上\(L_1\)：\(x-y=0\)、\( L_2 \)：\( x-y=h \)，\( h<0 \)、\( L_3 \)：\( \displaystyle y=-\frac{5}{2} \)及\(x\)軸四條直線圍出一個面積為10的平行四邊形，若直線\(L_2\)與\(y\)軸交點於點\( (0,k) \)，則\( k+h \)為何？
(A)0 (B)2 (C)4 (D)8
(100新北市國中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-1135-1-1.html[/url])
105.12.7補充
求區域\( S=\{\; (x,y)|\; 0\le a \le 1,0 \le b \le 1,x=a+b+1,y=2a-3b+1 \}\; \)所圍成的區域面積[u] [/u]
(105台南女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2488&page=2#pid15152[/url])
110.7.29補充
在坐標平面上\(|\;x+2y|\;=3\)與\(|\;x-2y|\;=3\)所圍成的圖形面積為[u] [/u]平方單位。
(110建功高中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-3535-1-1.html[/url])
[color=green]改變變數顯示順序
例:x+y+1=0;
原本為y+x+1=0;
變成1+x+y=0;[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]powerdisp:true;[/color]
[color=red](%o1)[/color] true
[color=green]計算平行四邊形面積副程式[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]Parallelogram(L1,L2):=block
([coef,detcoef],
coef:coefmatrix([L1[2],L2[2]],[x,y]),
detcoef:determinant(coef),
print("取出二個直線的x,y係數",matrix([L1[2]],[L2[2]]),"=>",coef,",行列式值=",detcoef),
print("=|(",L1[3],"-",L1[1],")(",L2[3],"-",L2[1],")/",coef,"|"),
print("=|",L1[3]-L1[1],"*",L2[3]-L2[1],"/",detcoef,"|"),
print("=",abs((L1[3]-L1[1])*(L2[3]-L2[1])/detcoef))
)$[/color]
[color=green]求1≦2x+3y≦4所圍成的平行四邊形面積？
5≦6x+7y≦8[/color]
[color=red](%i4)[/color]
[color=blue]L1:[1,2*x+3*y,4];
L2:[5,6*x+7*y,8];[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( [\; 1,2x+3y,4 ]\; \)
[color=red](%o4)[/color] \( [\; 5,6x+7y,8 ]\; \)
[color=green]求平行四邊形面積[/color]
[color=red](%i5)[/color] [color=blue]Parallelogram(L1,L2);[/color]
取出二個直線的\(x,y\)係數\( \left[ \matrix{2x+3y \cr 6x+7y} \right] \)=>\( \left[ \matrix{2&3 \cr 6&7} \right] \),行列式值\(=-4\)
\( =|\; (4-1)(8-5)/ \left[ \matrix{2&3 \cr 6&7} \right] |\; \)
\( =|\; 3*3/-4 |\; \)
\( \displaystyle =\frac{9}{4}\)
[color=red](%o5)[/color] \( \displaystyle \frac{9}{4} \)
[color=green]h≦x-y≦0,圍出面積為10的平行四邊形，h<0，求h=？
-5/2≦y≦0
(100新北市國中聯招)[/color]
[color=red](%i7)[/color]
[color=blue]L1:[h,x-y,0];
L3:[-5/2,y,0];[/color]
[color=red](%o6)[/color] \( [\;h,x-y,0 ]\; \)
[color=red](%o7)[/color] \( \displaystyle [\; -\frac{5}{2},y,0 ]\; \)
[color=red](%i8)[/color] [color=blue]Parallelogram(L1,L2)=10;[/color]
取出二個直線的\( x,y \)係數\( \left[ \matrix{x-y \cr 6x+7y} \right] \)=>\( \left[ \matrix{1&-1 \cr 6&7} \right] \),行列式值\(=13\)
\( =|\; (0-h)(8-5)/ \left[ \matrix{1&-1 \cr 6&7} \right] |\; \)
\( =|\; -h*3/13 |\; \)
\( \displaystyle =\frac{3 |\; h |\;}{13} \)
[color=red](%o8)[/color] \( \displaystyle \frac{3 |\; h |\;}{13}=10 \)
[color=green]得到h=-130/3(正不合)[/color]
[color=red](%i9)[/color] [color=blue]to_poly_solve(%,h);[/color]
to_poly_solve: to_poly_solver.mac is obsolete; I'm loading to_poly_solve.mac instead.
[color=red](%o9)[/color] %\( \displaystyle union \left( [\; h=-\frac{130}{3} ]\;,[\; h=\frac{130}{3} ]\; \right)\)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
已知\( \cases{\matrix{t_1 \le a_1x+b_1y+c_1z \le t_2 \cr s_1 \le a_2x+b_2y+c_2z \le s_2 \cr u_1 \le a_3x+b_3y+c_3z \le u_2}} \)求滿足條件的\((x,y,z)\)所形成的平行六面體體積\( \displaystyle =\frac{(t_2-t_1)(s_2-s_1)(u_2-u_1)}{\left|\ \matrix{a_1&b_1&c_1 \cr a_2&b_2&c_2 \cr a_3&b_3&c_3} \right|\ } \)的絕對值。
我以2題教甄試題來示範如何使用Parallelepiped(L1,L2,L3)副程式。
由三組平行平面\( \cases{\matrix{0 \le x+2y \le 4 \cr -1 \le x-3y+z \le 3 \cr 1 \le x+3y-2z \le 7}} \)所圍成的平行六面體體積為？
(99文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993[/url])
設空間中\( P(x,y,z) \)滿足不等式\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} \)，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
(102新化高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038[/url])
[color=green]改變變數顯示順序
例:x+y+z+1=0;
原本為z+y+x+1=0;
變成1+x+y+z=0;[/color]
[color=red](%i1)[/color] [color=blue]powerdisp:true;[/color]
[color=red](%o1)[/color] true
[color=green]計算平行六面體體積副程式[/color]
[color=red](%i2)[/color]
[color=blue]Parallelepiped(L1,L2,L3):=block
([coef,detcoef],
coef:coefmatrix([L1[2],L2[2],L3[2]],[x,y,z]),
detcoef:determinant(coef),
print("取出三個直線的x,y,z係數",matrix([L1[2]],[L2[2]],[L3[2]]),"=>",coef,",行列式值=",detcoef),
print("=|(",L1[3],"-",L1[1],")(",L2[3],"-",L2[1],")(",L3[3],"-",L3[1],")/",coef,"|"),
print("=|",L1[3]-L1[1],"*",L2[3]-L2[1],"*",L3[3]-L3[1],"/",detcoef,"|"),
print("=",abs((L1[3]-L1[1])*(L2[3]-L2[1])*(L3[3]-L3[1])/detcoef))
)$[/color]
[color=green] 0≦x+2y ≦4
求-1≦x-3y+z ≦3所圍成的平行六面體體積？
1≦x+3y-2z≦7
(99文華高中)[/color]
[color=red](%i5)[/color]
[color=blue]L1:[0,x+2*y,4];
L2:[-1,x-3*y+z,3];
L3:[1,x+3*y-2*z,7];[/color]
[color=red](%o3)[/color] \( [\; 0,x+2y,4 ]\; \)
[color=red](%o4)[/color] \( [\; -1,x-3y+z,3 ]\; \)
[color=red](%o5)[/color] \( [\; 1,x+3y-2z,7 ]\; \)
[color=green]得到平行六面體體積[/color]
[color=red](%i6)[/color] [color=blue]Parallelepiped(L1,L2,L3);[/color]
取出三個直線的\(x,y,z\)係數\( \left[ \matrix{x+2y \cr x-3y+z \cr x+3y-2z} \right] \)=>\( \left[ \matrix{1&2&0\cr 1&-3&-1\cr 1&3&-2} \right] \),行列式值\(=9\)
\( =|\; (4-0)(3--1)(7-1)/\left[ \matrix{1&2&0\cr 1&-3&1\cr 1&3&-2} \right] |\; \)
\( =|\; 4*4*6/9 |\; \)
\( \displaystyle =\frac{32}{3} \)
[color=red](%o6)[/color] \( \displaystyle \frac{32}{3} \)
[color=green] 0≦x+y≦2
求0≦y+z≦2所圍成的平行六面體體積？
0≦x+z≦2
(102新化高中)[/color]
[color=red](%i9)[/color]
[color=blue]L1:[0,x+y,2];
L2:[0,y+z,2];
L3:[0,x+z,2];[/color]
[color=red](%o7)[/color] \( [\; 0,x+y,2 ]\; \)
[color=red](%o8)[/color] \( [\; 0,y+z,2 ]\; \)
[color=red](%o9)[/color] \( [\; 0,x+z,2 ]\; \)
[color=green]得到平行六面體體積[/color]
[color=red](%i10)[/color] [color=blue]Parallelepiped(L1,L2,L3);[/color]
取出三個直線的\(x,y,z\)係數\( \left[ \matrix{x+y \cr y+z \cr x+z} \right] \)=>\( \left[ \matrix{1&1&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1} \right] \),行列式值\(=2\)
\( =|\; (2-0)(2-0)(2-0)/\left[ \matrix{1&1&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1} \right] |\; \)
\( =|\; 2*2*2/2 |\; \)
\( =4 \)
[color=red](%o10)[/color] 4
在坐標平面上以\(\Omega\)表曲線\(y=x-x^2\)與直線\(y=0\)所圍的有界區域。
(1)試求\(\Omega\)的面積。（3分）
(2)若直線\(y=cx\)將\(\Omega\)分成面積相等的兩塊區域，試求\(c\)之值。
(103指考數甲，[url]https://math.pro/db/thread-1992-1-1.html[/url])
[color=red](%i1)[/color]
[color=blue]HalfArea(y):=block
([Bound,LowerB,UpperB,Area,Equation,c],
print("y=",y,"和x軸交點的x坐標",Bound:sort(solve(y=0,x))),
[LowerB,UpperB]:map(rhs,Bound),
print("∫積分從",LowerB,"到",UpperB,"(",y,")dx=",Area:integrate(y,x,LowerB,UpperB)),
print("y=",y,"和y=cx交點的x坐標",Bound:sort(solve(y=c*x,x))),
[LowerB,UpperB]:map(rhs,Bound),
print("∫積分從",LowerB,"到",UpperB,"(",y-c*x,")dx為原來面積的一半"),
print("積分結果",Equation:factor(integrate(y-c*x,x,LowerB,UpperB)),"=",1/2,"*",Area),
print("去掉分數",Equation: (Equation=1/2*Area)*denom(lhs(Equation))),
print("開三次根號",Equation:Equation^(1/3)),
print("實數",c:solve(Equation,c)[1]),
return(rhs(c))
)$[/color]
[color=red](%i2)[/color] [color=blue]c:HalfArea(x-x^2);[/color]
\(y=x-x^2\)和\(x\)軸交點的\(x\)坐標\( \left[x=0,x=1 \right] \)
∫積分從0到1\(\displaystyle (x-x^2)dx=\frac{1}{6}\)
\(y=x-x^2\)和\(y=cx\)交點的\(x\)坐標\(\left[x=0,x=1-c\right]\)
∫積分從0到\(1-c(-x^2-cx+x)dx\)為原來面積的一半
積分結果\(\displaystyle -\frac{(c-1)^3}{6}=\frac{1}{2}*\frac{1}{6} \)
去掉分數\(\displaystyle -(c-1)^3=\frac{1}{2}\)
開三次根號\( \displaystyle 1-c=\frac{1}{2^{1/3}} \)
實數\( \displaystyle c=\frac{2^{1/3}-1}{2^{1/3}} \)
[color=red](%o2)[/color] \( \displaystyle \frac{2^{1/3}-1}{2^{1/3}} \)
[url]https://math.pro/db/thread-3030-1-2.html[/url]
已知三角形的內心到三頂點的距離分別為6，4，3，求此三角形面積為何？
原題的內切圓半徑不好算，不適合命題。
嘗試其他距離是否有簡單解，以下試兩種方案
方案1.\(x,y,z\)為整數，結論：方程式\(2xyzr^3+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)r^2−x^2y^2z^2=0\)沒有簡單解，不適合命題。
方案2.\(x,y,z\)加上根號，結論：方程式\(2\sqrt{xyz}r^3+(xy+yz+zx)r^2−xyz=0\)有簡單解，適合命題。
當\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=\sqrt{10}\)時，內切圓半徑\(r=1\)，三角形三邊長為3,4,5，面積為6
題目：已知三角形的內心到三頂點的距離分別為\(\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}\)，求此三角形面積為何？6
[color=green]是否有整數x,y,z讓方程式\(2xyzr^3+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)r^2-x^2y^2z^2=0\)有簡單解
結論：方程式沒有簡單解，不適合命題[/color]
[color=red](%i1)[/color]
[color=blue]n:10;
for x:1 thru n do
(for y:x+1 thru n do
(for z:y+1 thru n do
(equation:2*x*y*z*r^3+(x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2)*r^2-x^2*y^2*z^2,
print("x=",x,",y=",y,",z=",z,",方程式",factor(equation),"=0")
)
)
);[/color]
[color=red](%o1)[/color] 10
\( x=1,y=2,z=3\),方程式\(12r^3+49r^2-36=0\)
\( x=1,y=2,z=4\),方程式\(4(4r^3+21r^2-16)=0\)
\( x=1,y=2,z=5\),方程式\(20r^3+129r^2-100=0\)
\( x=1,y=2,z=6\),方程式\(8(3r^3+23r^2-18)=0\)
\( x=1,y=2,z=7\),方程式\(28r^3+249r^2-196=0\)
\( x=1,y=2,z=8\),方程式\(4(8r^3+81r^2-64)=0\)
\( x=1,y=2,z=9\),方程式\(36r^3+409r^2-324=0\)
\( x=1,y=2,z=10\),方程式\(8(5r^3+63r^2-50)=0\)
\( x=1,y=3,z=4\),方程式\(24r^3+169r^2-144=0\)
\( x=1,y=3,z=5\),方程式\(30r^3+259r^2-225=0\)
\( x=1,y=3,z=6\),方程式\(9(4r^3+41r^2-36)=0\)
\( x=1,y=3,z=7\),方程式\(42r^3+499r^2-441=0\)
\( x=1,y=3,z=8\),方程式\(48r^3+649r^2-576=0\)
\( x=1,y=3,z=9\),方程式\(9(6r^3+91r^2-81)=0\)
\( x=1,y=3,z=10\),方程式\(60r^3+1009r^2-900=0\)
\( x=1,y=4,z=5\),方程式\(40r^3+441r^2-400=0\)
\( x=1,y=4,z=6\),方程式\(4(12r^3+157r^2-144)=0\)
\( x=1,y=4,z=7\),方程式\(56r^3+849r^2-784=0\)
\( x=1,y=4,z=8\),方程式\(16(4r^3+69r^2-64)=0\)
\( x=1,y=4,z=9\),方程式\(72r^3+1393r^2-1296=0\)
\( x=1,y=4,z=10\),方程式\(4(20r^3+429r^2-400)=0\)
\( x=1,y=5,z=6\),方程式\(60r^3+961r^2-900=0\)
\( x=1,y=5,z=7\),方程式\(70r^3+1299r^2-1225=0\)
\( x=1,y=5,z=8\),方程式\(80r^3+1689r^2-1600=0\)
\( x=1,y=5,z=9\),方程式\(90r^3+2131r^2-2025=0\)
\( x=1,y=5,z=10\),方程式\(25(4r^3+105r^2-100)=0\)
\( x=1,y=6,z=7\),方程式\(84r^3+1849r^2-1764=0\)
\( x=1,y=6,z=8\),方程式\(4(24r^3+601r^2-576)=0\)
\( x=1,y=6,z=9\),方程式\(9(12r^3+337r^2-324)=0\)
\( x=1,y=6,z=10\),方程式\(8(15r^3+467r^2-450)=0\)
\( x=1,y=7,z=8\),方程式\(112r^3+3249r^2-3136=0\)
\( x=1,y=7,z=9\),方程式\(126r^3+4099r^2-3969=0\)
\( x=1,y=7,z=10\),方程式\(140r^3+5049r^2-4900=0\)
\( x=1,y=8,z=9\),方程式\(144r^3+5329r^2-5184=0\)
\( x=1,y=8,z=10\),方程式\(4(40r^3+1641r^2-1600)=0\)
\( x=1,y=9,z=10\),方程式\(180r^3+8281r^2-8100=0\)
\( x=2,y=3,z=4\),方程式\(4(12r^3+61r^2-144)=0\)
\( x=2,y=3,z=5\),方程式\(60r^3+361r^2-900=0\)
\( x=2,y=3,z=6\),方程式\(72(r^3+7r^2-18)=0\)
\( x=2,y=3,z=7\),方程式\(84r^3+673r^2-1764=0\)
\( x=2,y=3,z=8\),方程式\(4(24r^3+217r^2-576)=0\)
\( x=2,y=3,z=9\),方程式\(9(12r^3+121r^2-324)=0\)
\( x=2,y=3,z=10\),方程式\(8(15r^3+167r^2-450)=0\)
\( x=2,y=4,z=5\),方程式\(4(20r^3+141r^2-400)=0\)
\( x=2,y=4,z=6\),方程式\(16(6r^3+49r^2-144)=0\)
\( x=2,y=4,z=7\),方程式\(4(28r^3+261r^2-784)=0\)
\( x=2,y=4,z=8\),方程式\(64(2r^3+21r^2-64)=0\)
\( x=2,y=4,z=9\),方程式\(4(36r^3+421r^2-1296)=0\)
\( x=2,y=4,z=10\),方程式\(16(10r^3+129r^2-400)=0\)
\( x=2,y=5,z=6\),方程式\(8(15r^3+143r^2-450)=0\)
\( x=2,y=5,z=7\),方程式\(140r^3+1521r^2-4900=0\)
\( x=2,y=5,z=8\),方程式\(4(40r^3+489r^2-1600)=0\)
\( x=2,y=5,z=9\),方程式\(180r^3+2449r^2-8100=0\)
\( x=2,y=5,z=10\),方程式\(200(r^3+15r^2-50)=0\)
\( x=2,y=6,z=7\),方程式\(8(21r^3+263r^2-882)=0\)
\( x=2,y=6,z=8\),方程式\(16(12r^3+169r^2-576)=0\)
\( x=2,y=6,z=9\),方程式\(72(3r^3+47r^2-162)=0\)
\( x=2,y=6,z=10\),方程式\(16(15r^3+259r^2-900)=0\)
\( x=2,y=7,z=8\),方程式\(4(56r^3+897r^2-3136)=0\)
\( x=2,y=7,z=9\),方程式\(252r^3+4489r^2-15876=0\)
\( x=2,y=7,z=10\),方程式\(8(35r^3+687r^2-2450)=0\)
\( x=2,y=8,z=9\),方程式\(4(72r^3+1441r^2-5184)=0\)
\( x=2,y=8,z=10\),方程式\(16(20r^3+441r^2-1600)=0\)
\( x=2,y=9,z=10\),方程式\(8(45r^3+1103r^2-4050)=0\)
\( x=3,y=4,z=5\),方程式\(120r^3+769r^2-3600=0\)
\( x=3,y=4,z=6\),方程式\(36(4r^3+29r^2-144)=0\)
\( x=3,y=4,z=7\),方程式\(168r^3+1369r^2-7056=0\)
\( x=3,y=4,z=8\),方程式\(16(12r^3+109r^2-576)=0\)
\( x=3,y=4,z=9\),方程式\(9(24r^3+241r^2-1296)=0\)
\( x=3,y=4,z=10\),方程式\(4(60r^3+661r^2-3600)=0\)
\( x=3,y=5,z=6\),方程式\(9(20r^3+161r^2-900)=0\)
\( x=3,y=5,z=7\),方程式\(210r^3+1891r^2-11025=0\)
\( x=3,y=5,z=8\),方程式\(240r^3+2401r^2-14400=0\)
\( x=3,y=5,z=9\),方程式\(9(30r^3+331r^2-2025)=0\)
\( x=3,y=5,z=10\),方程式\(25(12r^3+145r^2-900)=0\)
\( x=3,y=6,z=7\),方程式\(9(28r^3+281r^2-1764)=0\)
\( x=3,y=6,z=8\),方程式\(36(8r^3+89r^2-576)=0\)
\( x=3,y=6,z=9\),方程式\(81(4r^3+49r^2-324)=0\)
\( x=3,y=6,z=10\),方程式\(72(5r^3+67r^2-450)=0\)
\( x=3,y=7,z=8\),方程式\(336r^3+4153r^2-28224=0\)
\( x=3,y=7,z=9\),方程式\(9(42r^3+571r^2-3969)=0\)
\( x=3,y=7,z=10\),方程式\(420r^3+6241r^2-44100=0\)
\( x=3,y=8,z=9\),方程式\(9(48r^3+721r^2-5184)=0\)
\( x=3,y=8,z=10\),方程式\(4(120r^3+1969r^2-14400)=0\)
\( x=3,y=9,z=10\),方程式\(9(60r^3+1081r^2-8100)=0\)
\( x=4,y=5,z=6\),方程式\(4(60r^3+469r^2-3600)=0\)
\( x=4,y=5,z=7\),方程式\(280r^3+2409r^2-19600=0\)
\( x=4,y=5,z=8\),方程式\(16(20r^3+189r^2-1600)=0\)
\( x=4,y=5,z=9\),方程式\(360r^3+3721r^2-32400=0\)
\( x=4,y=5,z=10\),方程式\(100(4r^3+45r^2-400)=0\)
\( x=4,y=6,z=7\),方程式\(4(84r^3+781r^2-7056)=0\)
\( x=4,y=6,z=8\),方程式\(64(6r^3+61r^2-576)=0\)
\( x=4,y=6,z=9\),方程式\(36(12r^3+133r^2-1296)=0\)
\( x=4,y=6,z=10\),方程式\(16(30r^3+361r^2-3600)=0\)
\( x=4,y=7,z=8\),方程式\(16(28r^3+309r^2-3136)=0\)
\( x=4,y=7,z=9\),方程式\(504r^3+6049r^2-63504=0\)
\( x=4,y=7,z=10\),方程式\(4(140r^3+1821r^2-19600)=0\)
\( x=4,y=8,z=9\),方程式\(16(36r^3+469r^2-5184)=0\)
\( x=4,y=8,z=10\),方程式\(64(10r^3+141r^2-1600)=0\)
\( x=4,y=9,z=10\),方程式\(4(180r^3+2749r^2-32400)=0\)
\( x=5,y=6,z=7\),方程式\(420r^3+3889r^2-44100=0\)
\( x=5,y=6,z=8\),方程式\(4(5r+24)(24r^2+125r-600)=0\)
\( x=5,y=6,z=9\),方程式\(9(60r^3+649r^2-8100)=0\)
\( x=5,y=6,z=10\),方程式\(200(3r^3+35r^2-450)=0\)
\( x=5,y=7,z=8\),方程式\(560r^3+5961r^2-78400=0\)
\( x=5,y=7,z=9\),方程式\(630r^3+7219r^2-99225=0\)
\( x=5,y=7,z=10\),方程式\(25(28r^3+345r^2-4900)=0\)
\( x=5,y=8,z=9\),方程式\(720r^3+8809r^2-129600=0\)
\( x=5,y=8,z=10\),方程式\(100(8r^3+105r^2-1600)=0\)
\( x=5,y=9,z=10\),方程式\(25(36r^3+505r^2-8100)=0\)
\( x=6,y=7,z=8\),方程式\(4(168r^3+1801r^2-28224)=0\)
\( x=6,y=7,z=9\),方程式\(9(84r^3+961r^2-15876)=0\)
\( x=6,y=7,z=10\),方程式\(8(105r^3+1283r^2-22050)=0\)
\( x=6,y=8,z=9\),方程式\(36(24r^3+289r^2-5184)=0\)
\( x=6,y=8,z=10\),方程式\(16(60r^3+769r^2-14400)=0\)
\( x=6,y=9,z=10\),方程式\(72(15r^3+203r^2-4050)=0\)
\( x=7,y=8,z=9\),方程式\(1008r^3+12289r^2-254016=0\)
\( x=7,y=8,z=10\),方程式\(4(280r^3+3609r^2-78400)=0\)
\( x=7,y=9,z=10\),方程式\(1260r^3+16969r^2-396900=0\)
\( x=8,y=9,z=10\),方程式\(4(360r^3+4921r^2-129600)=0\)
[color=red](%o2)[/color] [i]done[/i]
[color=green]是否有\(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\)讓方程式\(2\sqrt{xyz}r^3+(xy+yz+zx)r^2-xyz=0\)有簡單解
結論：當\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=\sqrt{10}\)時，內切圓半徑\(r=1\)，三角形三邊長為3,4,5，面積為6，適合命題[/color]
[color=red](%i3)[/color]
[color=blue]n:10;
for x:1 thru n do
(for y:x+1 thru n do
(for z:y+1 thru n do
(equation:2*sqrt(x*y*z)*r^3+(x*y+y*z+z*x)*r^2-x*y*z,
print("x=",sqrt(x),",y=",sqrt(y),",z=",sqrt(z),",方程式",factor(equation),"=0")
)
)
);[/color]
[color=red](%o3)[/color] 10
\(x=1,y=\sqrt{2},z=\sqrt{3}\),方程式\(2\sqrt{6}r^3+11r^2-6=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=2\),方程式\(2(2^{3/2}r^3+7r^2-4)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=\sqrt{5}\),方程式\(2\sqrt{10}r^3+17r^2-10=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=\sqrt{6}\),方程式\(4(\sqrt{3}r^3+5r^2-3)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{14}r^3+23r^2-14=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4r^3+13r^2-8)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=3\),方程式\(32^{3/2}r^3+29r^2-18=0\)
\(x=1,y=\sqrt{2},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{5}r^3+8r^2-5)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=2\),方程式\(4\sqrt{3}r^3+19r^2-12=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=\sqrt{5}\),方程式\(2\sqrt{15}r^3+23r^2-15=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=\sqrt{6}\),方程式\(3(2^{3/2}r^3+9r^2-6)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{21}r^3+31r^2-21=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{6}r^3+35r^2-24=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{3}r^3+13r^2-9)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{3},z=\sqrt{10}\),方程式\(2\sqrt{30}r^3+43r^2-30=0\)
\(x=1,y=2 ,z=\sqrt{5}\),方程式\(4\sqrt{5}r^3+29r^2-20=0\)
\(x=1,y=2 ,z=\sqrt{6}\),方程式\(2(2\sqrt{6}r^3+17r^2-12)=0\)
\(x=1,y=2 ,z=\sqrt{7}\),方程式\(4\sqrt{7}r^3+39r^2-28=0\)
\(x=1,y=2 ,z=2^{3/2}\),方程式\(4(2^{3/2}r^3+11r^2-8)=0\)
\(x=1,y=2 ,z=3\),方程式\(12r^3+49r^2-36=0\)
\(x=1,y=2 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(2(2\sqrt{10}r^3+27r^2-20)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{5},z=\sqrt{6}\),方程式\(2\sqrt{30}r^3+41r^2-30=0\)
\(x=1,y=\sqrt{5},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{35}r^3+47r^2-35=0\)
\(x=1,y=\sqrt{5},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{10}r^3+53r^2-40=0\)
\(x=1,y=\sqrt{5},z=3\),方程式\(6\sqrt{5}r^3+59r^2-45=0\)
\(x=1,y=\sqrt{5},z=\sqrt{10}\),方程式\(5(2^{3/2}r^3+13r^2-10)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{6},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{42}r^3+55r^2-42=0\)
\(x=1,y=\sqrt{6},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{3}r^3+31r^2-24)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{6},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{6}r^3+23r^2-18)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{6},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{15}r^3+19r^2-15)=0\)
\(x=1,y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{14}r^3+71r^2-56=0\)
\(x=1,y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(6\sqrt{7}r^3+79r^2-63=0\)
\(x=1,y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(2\sqrt{70}r^3+87r^2-70=0\)
\(x=1,y=2^{3/2},z=3\),方程式\(32^{5/2}r^3+89r^2-72=0\)
\(x=1,y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(2(4\sqrt{5}r^3+49r^2-40)=0\)
\(x=1,y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(6\sqrt{10}r^3+109r^2-90=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=2\),方程式\(2(2\sqrt{6}r^3+13r^2-12)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=\sqrt{5}\),方程式\(2\sqrt{30}r^3+31r^2-30=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=\sqrt{6}\),方程式\(12(r^3+3r^2-3)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{42}r^3+41r^2-42=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{3}r^3+23r^2-24)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{6}r^3+17r^2-18)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{3},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{15}r^3+14r^2-15)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=\sqrt{5}\),方程式\(2(2\sqrt{10}r^3+19r^2-20)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=\sqrt{6}\),方程式\(4(2\sqrt{3}r^3+11r^2-12)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=\sqrt{7}\),方程式\(2(2\sqrt{14}r^3+25r^2-28)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=2^{3/2}\),方程式\(8(2r^3+7r^2-8)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=3\),方程式\(2(32^{3/2}r^3+31r^2-36)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(4(2\sqrt{5}r^3+17r^2-20)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=\sqrt{6}\),方程式\(4(\sqrt{15}r^3+13r^2-15)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{70}r^3+59r^2-70=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{5}r^3+33r^2-40)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=3\),方程式\(6\sqrt{10}r^3+73r^2-90=0\)
\(\bbox[border:1px solid black]{x=\sqrt{2},y=\sqrt{5},z=\sqrt{10},方程式20(r-1)(r^2+5r+5)=0}\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{6},z=\sqrt{7}\),方程式\(4(\sqrt{21}r^3+17r^2-21)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{6},z=2^{3/2}\),方程式\(4(2\sqrt{6}r^3+19r^2-24)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{6},z=3\),方程式\(12(\sqrt{3}r^3+7r^2-9)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{6},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{30}r^3+23r^2-30)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{7}r^3+43r^2-56)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(6\sqrt{14}r^3+95r^2-126=0\)
\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{35}r^3+26r^2-35)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2^{3/2},z=3\),方程式\(2(12r^3+53r^2-72)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(2\sqrt{10}r^3+29r^2-40)=0\)
\(x=\sqrt{2},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(4(3\sqrt{5}r^3+32r^2-45)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=\sqrt{5}\),方程式\(4\sqrt{15}r^3+47r^2-60=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=\sqrt{6}\),方程式\(6(2^{3/2}r^3+9r^2-12)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=\sqrt{7}\),方程式\(4\sqrt{21}r^3+61r^2-84=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=2^{3/2}\),方程式\(4(2\sqrt{6}r^3+17r^2-24)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=3\),方程式\(3(4\sqrt{3}r^3+25r^2-36)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(2(2\sqrt{30}r^3+41r^2-60)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{5},z=\sqrt{6}\),方程式\(3(2\sqrt{10}r^3+21r^2-30)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{5},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{105}r^3+71r^2-105=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{5},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{30}r^3+79r^2-120=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{5},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{15}r^3+29r^2-45)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{5},z=\sqrt{10}\),方程式\(5(2\sqrt{6}r^3+19r^2-30)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{6},z=\sqrt{7}\),方程式\(3(2\sqrt{14}r^3+27r^2-42)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{6},z=2^{3/2}\),方程式\(6(4r^3+15r^2-24)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{6},z=3\),方程式\(9(2^{3/2}r^3+11r^2-18)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{6},z=\sqrt{10}\),方程式\(12(\sqrt{5}r^3+9r^2-15)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{42}r^3+101r^2-168=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{21}r^3+37r^2-63)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(2\sqrt{210}r^3+121r^2-210=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2^{3/2},z=3\),方程式\(3(4\sqrt{6}r^3+41r^2-72)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(2(4\sqrt{15}r^3+67r^2-120)=0\)
\(x=\sqrt{3},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(3(2\sqrt{30}r^3+49r^2-90)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{5},z=\sqrt{6}\),方程式\(2(2\sqrt{30}r^3+37r^2-60)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{5},z=\sqrt{7}\),方程式\(4\sqrt{35}r^3+83r^2-140=0\)
\(x=2,y=\sqrt{5},z=2^{3/2}\),方程式\(4(2\sqrt{10}r^3+23r^2-40)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{5},z=3\),方程式\(12\sqrt{5}r^3+101r^2-180=0\)
\(x=2,y=\sqrt{5},z=\sqrt{10}\),方程式\(10(2^{3/2}r^3+11r^2-20)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{6},z=\sqrt{7}\),方程式\(2(2\sqrt{42}r^3+47r^2-84)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{6},z=2^{3/2}\),方程式\(8(2\sqrt{3}r^3+13r^2-24)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{6},z=3\),方程式\(6(2\sqrt{6}r^3+19r^2-36)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{6},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(2\sqrt{15}r^3+31r^2-60)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(4(2\sqrt{14}r^3+29r^2-56)=0\)
\(x=2,y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(12\sqrt{7}r^3+127r^2-252=0\)
\(x=2,y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(2(2\sqrt{70}r^3+69r^2-140)=0\)
\(x=2,y=2^{3/2},z=3\),方程式\(4(32^{3/2}r^3+35r^2-72)=0\)
\(x=2,y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(8(2\sqrt{5}r^3+19r^2-40)=0\)
\(x=2,y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(2(6\sqrt{10}r^3+83r^2-180)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{6},z=\sqrt{7}\),方程式\(2\sqrt{210}r^3+107r^2-210=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{6},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{15}r^3+59r^2-120)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{6},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{30}r^3+43r^2-90)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{6},z=\sqrt{10}\),方程式\(20(\sqrt{3}r^3+7r^2-15)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(4\sqrt{70}r^3+131r^2-280=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(6\sqrt{35}r^3+143r^2-315=0\)
\(x=\sqrt{5},y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(5(2\sqrt{14}r^3+31r^2-70)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=2^{3/2},z=3\),方程式\(12\sqrt{10}r^3+157r^2-360=0\)
\(x=\sqrt{5},y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(10(4r^3+17r^2-40)=0\)
\(x=\sqrt{5},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(5(32^{3/2}r^3+37r^2-90)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=\sqrt{7},z=2^{3/2}\),方程式\(2(4\sqrt{21}r^3+73r^2-168)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=\sqrt{7},z=3\),方程式\(3(2\sqrt{42}r^3+53r^2-126)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=\sqrt{7},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(\sqrt{105}r^3+43r^2-105)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=2^{3/2},z=3\),方程式\(6(4\sqrt{3}r^3+29r^2-72)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(4(2\sqrt{30}r^3+47r^2-120)=0\)
\(x=\sqrt{6},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(12(\sqrt{15}r^3+17r^2-45)=0\)
\(x=\sqrt{7},y=2^{3/2},z=3\),方程式\(12\sqrt{14}r^3+191r^2-504=0\)
\(x=\sqrt{7},y=2^{3/2},z=\sqrt{10}\),方程式\(2(4\sqrt{35}r^3+103r^2-280)=0\)
\(x=\sqrt{7},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(6\sqrt{70}r^3+223r^2-630=0\)
\(x=2^{3/2},y=3 ,z=\sqrt{10}\),方程式\(2(12\sqrt{5}r^3+121r^2-360)=0\)
[color=red](%o4)[/color] [i]done[/i]