多項式的題目，巴貝奇定理的縮小版。
已知 \( f(x) ＝ ax^2 + bx +c \) 的圖形通過三個點 \( A(102, 205), B(103, 208), C(105, 213)\)，1. 證明 \(f(x+2) － 2f(x+1) + f(x)\) 恆為定值。
2. 求 1. 之定值。
解答：
1.
令 \( g(x) ＝ f(x+1) － f(x) \)，
因為 \(f(x)\) 多項式的次數至多為二次，
所以 \(g(x)\) 多項式的次數至多為一次，
⇒ \(g(x+1) － g(x)\) 為常數多項式，
亦即 \(g(x+1) － g(x) ＝ f(x+2) － 2f(x+1) + f(x)\) 為常數.
（補充：
如果繼續令 \(h(x) ＝ g(x+1) － g(x)\)，可得 \(h(x+1) － h(x) ＝ 0\)
亦即 \(f(x+3) － 3 f(x+2) + 3 f(x+1) － f(x) ＝ 0\) 恆成立。
推廣可得如下定理，龍騰版的教師手冊稱此為巴貝奇定理（refer to Charles Babbage）：
對任意 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)，設 \(d\) 為非零常數，則
\(C(n+1, 0) f(x+（n+1）d) － C(n+1, 1) f(x+nd) + C(n+1, 2) f(x+（n－1）d)\)
\(－‧‧‧+(－1)^{n+1} * C(n+1, n+1)f(x) ＝ 0\) 恆成立，
並且
\(C(n, 0) f(x+nd) － C(n, 1) f(x+（n－1）d) + C(n, 2) f(x+（n－2）d)\)
\(－‧‧‧+(－1)^{n} * C(n, n)f(x)＝ （n！）\)（\(f(x)\) 的首項係數）
）
2.
令 \(f(x+2) － 2f(x+1) + f(x) ＝ k\) 為定值，將 \(x\) 以 \(102, 103\) 帶入可得
\(f(104) － 2 f(103) + f(102) ＝ k\) 且 \(f(105) － 2 f(104) + f(103) ＝ k\)
⇒ \(f(104) － k ＝ 211\) 且 \(2 f(104) + k ＝ 421\)
解聯立方程式，可得 \(f(104) ＝ \frac{632}{3}，k ＝ － \frac{1}{3}.\) 補充,這裡也有類似的題目
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958#post211903 連結已失效
\( f(x)=ax^2+bx+c \)
且\( f(2007)=4015 \)，\( f(2008)=4018 \)，\( f(2010)=4023 \)
求\( f(x+2)-2f(x+1)+f(x)= \)？
105.4.24補充
\(f(x) \)是二次多項式，若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \)，求\(a+b+c\)。
(105台南女中，[url]https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html[/url]) 補充關於巴貝奇的文章
癮科學：查爾斯．巴貝奇的差分機與分析機
[url]https://tw.news.yahoo.com/chinese-2011-04-27-charles-babbages-difference-and-analytical-engines.html[/url]
回復 1# weiye 的帖子
（n！） （f(x) 的首項係數）這邊的展開是不是有問題?我算過應該是n!*a_n*d^n
因為上面的式子是有考慮到d的部分，展開後差分的地方應該是跟d^n有倍數關係
回復 4# jackyxul4 的帖子
看來我寫太快沒注意到~ 感謝您協助修正~ ^__^ 請問一下如果輸入值不成等差
只要除以間隔後，還是可以用
要怎麼證明呢?
例子如附圖，謝謝
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