√2009 = √x ＋ √y且0＜x＜y，求整數對（x, y）？
問題：已知 √2009 = √[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] ＋ √y 且 0＜[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]＜y，則滿足上式的整數對（[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size], y）共有幾組？
解答：
√2009 = √[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] ＋ √y
⇒ √y= √2009－√[size=4][font=Times New Roman][i]x
[/i][/font][/size] ⇒ y = 2009＋[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]－2√（2009[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]）
因為 2009 = (7^2)×41，所以 y = 2009 ＋ [size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] － 14√（41[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]）
因為 y 為整數，所以 41[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]為完全平方數，且因為 41 為質數，
所以可以令 [size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] = 41×\(a^2\) ，其中 a 為正整數，亦即 √[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] = a√41。
同理，可令 y = 41×\(b^2\) ，其中 b 為正整數，亦即 √y = b√41。
因為 0＜[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size]＜y，所以 0＜a＜b。
所以
√2009 = √[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size] ＋ √y
⇒ 7√41 = a√41 ＋ b√41
⇒ 7 = a ＋ b
且由 a, b 皆為正整數，0＜a＜b，可得
數對（a,b）=（1,6）、（2,5）或（3,4），
故，
數對（[size=4][font=Times New Roman][i]x[/i][/font][/size],y）=\(（41,41×6^2）、（41×2^2,41×5^2）或（41×3^2,41×4^2）\)
共三組。 補上出處92台南縣國中聯招
相關討論h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842 連結已失效
2010.3.2補充
已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)，且\( 0<x<y \)，求整數對\( (x,y) \)。
[書上解答]
原方程改寫為\( 7 \sqrt{41}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)，由此可見\( x \)必為\( 41t^2 \)的形式，\( y \)必為\( 41k^2 \)的形式，且\( t+k=7 \)(\( t \),\( k \)為正整數)。
∵\( 0<x<y \)， ∴\( t<k \)。
當\( t=1 \)，\( k=6 \)時，得\( (41,1476) \)；當\( t=2 \)，\( k=5 \)時，得\( (164,1025) \)；當\( t=3 \)，\( k=4 \)時，得\( (369,656) \)；
(初中數學競賽教程P32)
109.6.16補充
\(\sqrt{2499}=\sqrt{A}+\sqrt{B}\)，且\(A<B<1000\)，則\(B-A\)之值為[u] [/u]。
(109建功高中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html[/url])
111.6.11補充
試問有多少組整數數對\((a,b)\)滿足\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{180}\)？
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(111新北市國中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3653-1-1.html[/url])
頁:
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