分解成平方和
從1~200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數之平方和的數共有幾個? 從1到200這些正整數中，可表示成二個不同的非負整數(即包含0)之平方和的數共有[u] [/u]個。(2008青少年數學國際城市邀請賽初賽)
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補充一題類似題
How many of the integers between 1 and 1000, inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?
(1997AIME，[url]http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=393578[/url]) 請問這題除了全部列出來以外,
65=1^2+8^2=4^2+7^2
85=2^2+9^2=6^2+7^2
25,100,125,130,145,169,170,185,
這些可以拆成兩種平方和
想請問一下前輩,有沒有其他的辦法直接找到呢?
感謝^^ 不難發現平方數必定符合題意。 其他的可能性就用到一個抽象代數上的定理： 一個奇質數可表為二個平方數之和，若且唯若
此數被 4 除餘 1. 在 1 ~ 200 間的平方數就有 1^2, 2^2, ..., 14^2. 至於被 4 除餘 1 的有 5, 9, 13, ..., 197 共 47 個，再扣掉這些數字中重覆與相同平方數構成的部分
即可. 一般的平方數可以利用整複數 (也就是高斯整數，複數平面上的整數對) 的絕對值概念來討論，即
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.
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