Math Pro 數學補給站's Archiver

去喜歡身旁的每一個事物,
去愛身旁的每一個人,
不要等到失去了才知道如何去珍惜和擁有。

chu1976 發表於 2008-12-22 10:19

分解成平方和

從1~200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數之平方和的數共有幾個?

bugmens 發表於 2009-8-6 21:28

從1到200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數(即包含0)之平方和的數共有[u]  [/u]個。
(2008青少年數學國際城市邀請賽初賽)

[table][tr][td][/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]5[/td][td]6[/td][td]7[/td][td]8[/td][td]9[/td][td]10[/td][td]11[/td][td]12[/td][td]13[/td][td]14[/td][/tr]
[tr][td]0[/td][td]1[/td][td]4[/td][td]9[/td][td]16[/td][td]25[/td][td]36[/td][td]49[/td][td]64[/td][td]81[/td][td]100[/td][td]121[/td][td]144[/td][td]169[/td][td]196[/td][/tr]
[tr][td]1[/td][td][/td][td]5[/td][td]10[/td][td]17[/td][td]26[/td][td]37[/td][td]50[/td][td]65[/td][td]82[/td][td]101[/td][td]122[/td][td]145[/td][td]170[/td][td]197[/td][/tr]
[tr][td]2[/td][td][/td][td][/td][td]13[/td][td]20[/td][td]29[/td][td]40[/td][td]53[/td][td]68[/td][td]85[/td][td]104[/td][td]125[/td][td]148[/td][td]173[/td][td]200[/td][/tr]
[tr][td]3[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]25[/td][td]34[/td][td]45[/td][td]58[/td][td]73[/td][td]90[/td][td]109[/td][td]130[/td][td]153[/td][td]178[/td][td][color=blue]205[/color][/td][/tr]
[tr][td]4[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]41[/td][td]52[/td][td]65[/td][td]80[/td][td]97[/td][td]116[/td][td]137[/td][td]160[/td][td]185[/td][td][color=blue]212[/color][/td][/tr]
[tr][td]5[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]61[/td][td]74[/td][td]89[/td][td]106[/td][td]125[/td][td]146[/td][td]169[/td][td]194[/td][td][color=blue]221[/color][/td][/tr]
[tr][td]6[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]85[/td][td]100[/td][td]117[/td][td]136[/td][td]157[/td][td]180[/td][td][color=blue]205[/color][/td][td][color=blue]232[/color][/td][/tr]
[tr][td]7[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]113[/td][td]130[/td][td]149[/td][td]170[/td][td]193[/td][td][color=blue]218[/color][/td][td][color=blue]245[/color][/td][/tr]
[tr][td]8[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]145[/td][td]164[/td][td]185[/td][td][color=blue]208[/color][/td][td][color=blue]233[/color][/td][td][color=blue]260[/color][/td][/tr]
[tr][td]9[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td]181[/td][td][color=blue]202[/color][/td][td][color=blue]225[/color][/td][td][color=blue]250[/color][/td][td][color=blue]277[/color][/td][/tr]
[tr][td]10[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][color=blue]221[/color][/td][td][color=blue]244[/color][/td][td][color=blue]269[/color][/td][td][color=blue]296[/color][/td][/tr]
[tr][td]11[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][color=blue]265[/color][/td][td][color=blue]290[/color][/td][td][color=blue]317[/color][/td][/tr]
[tr][td]12[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][color=blue]313[/color][/td][td][color=blue]340[/color][/td][/tr]
[tr][td]13[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][color=blue]365[/color][/td][/tr][/table]

補充一題類似題
How many of the integers between 1 and 1000, inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?
(1997AIME,[url]http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=393578[/url])

bobo 發表於 2011-1-21 21:47

請問這題除了全部列出來以外,

65=1^2+8^2=4^2+7^2
85=2^2+9^2=6^2+7^2
25,100,125,130,145,169,170,185,
這些可以拆成兩種平方和

想請問一下前輩,有沒有其他的辦法直接找到呢?
感謝^^

armopen 發表於 2011-2-2 13:20

不難發現平方數必定符合題意。 其他的可能性就用到一個抽象代數上的定理: 一個奇質數可表為二個平方數之和,若且唯若

此數被 4 除餘 1. 在 1 ~ 200 間的平方數就有 1^2, 2^2, ..., 14^2. 至於被 4 除餘 1 的有 5, 9, 13, ..., 197 共 47 個,再扣掉這些數字中重覆與相同平方數構成的部分

即可. 一般的平方數可以利用整複數 (也就是高斯整數,複數平面上的整數對) 的絕對值概念來討論,即

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.