用複數表示「平行四邊形定理」
[size=3][color=black][font=Times New Roman] 我使用勾股定理(法一)證明平行四邊形定理 也用了向量(法二)與解析幾何之建立座標系並用距離公式(法三)的座標方法的方法來證明,[/font][/color][/size][font=Times New Roman][size=3][color=black]但複數的方法也嘗試過 但不完美 懇請賜教解法[/color][/size][/font][size=3][color=black][font=Times New Roman][/font][/color][/size]
[size=3][color=black][font=Times New Roman] (1) [/font][/color][color=black][font=標楷體]試利用複數表示「平行四邊形定理」：在平行四邊形中，四邊平方和等於兩對角線平方和[/font][/color][/size]
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[/size][font=標楷體][size=12pt] (2)試證明(1)之「平行四邊形定理」複數表法。[/size][/font]
[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2008-11-30 04:19 PM 編輯 [/i]] 對於任意平行四邊形 \(ABCD\)，
不失一般性，可以將其平移到以 \(A\) 為原點 \(0＋0ｉ\)，
設 \(B＝a＋bｉ\), \(D＝c＋dｉ\)，其中 \(a, b, c, d\) 為實數，
因為 \(ABCD\) 為平行四邊形，則 \(C＝（a＋c）＋（b＋d）ｉ\)，
求證 \(2（AB^2 ＋ AD^2） ＝ AC^2 ＋ BD^2\).
證明：
左式\(＝ 2（AB^2 ＋ AD^2）\)
\(＝ 2\left(｜（a＋bｉ）－（0＋0ｉ）｜^2 ＋ ｜（c＋dｉ）－（0＋0ｉ）｜^2\right)\)
\(＝ 2\left(（a^2＋b^2） ＋ （c^2＋d^2）\right)\)
右式\(＝ AC^2 ＋ BD^2 \)
\(＝ ｜（（a＋c）＋（b＋d）ｉ） － （0＋0ｉ）｜^2 ＋ ｜（a＋bｉ）－（c＋dｉ）｜^2\)
\(＝ \left(（a＋c）^2＋（b＋d）^2\left) ＋ \right(（a－c）^2＋（b－d）^2\right) \)
\(＝2a^2＋2b^2 ＋ 2c^2＋2d^2\)
故，左式＝右式，得證。 哇 我懂了 您真的好棒
謝謝老師撥冗指導
[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2008-12-2 08:51 AM 編輯 [/i]] 我是用附件的方式處理複數表示平行四邊形定理這件事
關鍵在於 |z|^2 = z ×( z的共軛複數 )
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