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當你永遠都用自己的角度看事情時,
你是失焦的,永遠看不到真相。

ksjeng 發表於 2008-11-30 16:04

用複數表示「平行四邊形定理」

[size=3][color=black][font=Times New Roman]    我使用勾股定理(法一)證明平行四邊形定理 也用了向量(法二)與解析幾何之建立座標系並用距離公式(法三)的座標方法的方法來證明,[/font][/color][/size][font=Times New Roman][size=3][color=black]但複數的方法也嘗試過 但不完美 懇請賜教解法[/color][/size][/font]
[size=3][color=black][font=Times New Roman][/font][/color][/size]
[size=3][color=black][font=Times New Roman]             (1) [/font][/color][color=black][font=標楷體]試利用複數表示「平行四邊形定理」:在平行四邊形中,四邊平方和等於兩對角線平方和[/font][/color][/size]
[size=3]
[/size][font=標楷體][size=12pt]      (2)試證明(1)之「平行四邊形定理」複數表法。[/size][/font]

[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2008-11-30 04:19 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2008-11-30 19:50

對於任意平行四邊形 \(ABCD\),

不失一般性,可以將其平移到以 \(A\) 為原點 \(0+0i\),

設 \(B=a+bi\), \(D=c+di\),其中 \(a, b, c, d\) 為實數,

因為 \(ABCD\) 為平行四邊形,則 \(C=(a+c)+(b+d)i\),

求證 \(2(AB^2 + AD^2) = AC^2 + BD^2\).



證明:

左式\(= 2(AB^2 + AD^2)\)

  \(= 2\left(|(a+bi)-(0+0i)|^2 + |(c+di)-(0+0i)|^2\right)\)

  \(= 2\left((a^2+b^2) + (c^2+d^2)\right)\)


右式\(= AC^2 + BD^2 \)

  \(= |((a+c)+(b+d)i) - (0+0i)|^2 + |(a+bi)-(c+di)|^2\)

  \(= \left((a+c)^2+(b+d)^2\left) + \right((a-c)^2+(b-d)^2\right) \)

  \(=2a^2+2b^2 + 2c^2+2d^2\)

故,左式=右式,得證。

ksjeng 發表於 2008-12-2 08:49

哇 我懂了 您真的好棒
謝謝老師撥冗指導

[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2008-12-2 08:51 AM 編輯 [/i]]

eggsu1026 發表於 2012-1-11 23:47

我是用附件的方式處理複數表示平行四邊形定理這件事
關鍵在於 |z|^2 = z ×( z的共軛複數 )

頁: [1]

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