如何比較三角函數大小（同角度，不同三角函數）
(1)sin37度與tan37度(2)sin57度與tan57度
續問:
cos37與tan37比大小
cos57與tan57比大小
我畫同心圓但想不出來
懇請賜教 [attach]1986[/attach]
對任意銳角 θ，皆可畫如上圖的直角三角形，
1. x<r ⇒ 1/r < 1/x ⇒ y/r < y/x ⇒ sin θ < tan θ
所以 sin 37° < tan 37° 且 sin 57° < tan 57°
2. 在上圖中，若 x 不變，當角度 θ 變大時，顯然 y 也會跟著變大，亦即 tan θ＝y/x 也會變大，
因此 tan 33° < tan57°
且利用 cos57°＝sin33°，以及上面 1. 的結論 (sin33° < tan33°)，
可以得到 cos57°＝sin33° < tan 33° < tan57°，
故 cos57° < tan57°
3. 如果要一般化的話，我們來討論看看對於任意銳角 θ，何時 cos θ < tan θ 才會成立呢？
cos θ < tan θ
⇔ cos θ < (sin θ / cos θ)
⇔ (cos θ)^2 < sin θ
⇔ 1-(sinθ)^2 < sin θ
⇔ (sinθ)^2 + sin θ -1 > 0
⇔ sinθ > (-1 + √5)/2 或是 (-1 - √5)/2 > sinθ
因為 θ 為銳角，所以 sin θ > 0 恆成立，所以此時等價於 sinθ > (-1 + √5)/2
如果 α＝arcsin{ (-1 + √5)/2 } 的話，
α看起來不像是特殊角（如果可以用特殊角拼湊出來的話，歡迎告知，感激！）
因為當 θ＝36° 時，利用 cos 18°＝(-1 + √5)/4，
可以求得 sin 36° ＝{√(10 -2 √5)}/4 < (-1 + √5)/2
因為當 θ＝45° 時，利用 cos 18°＝(-1 + √5)/4，
可以求得 sin 45° ＝(√2)/2 > (-1 + √5)/2
所以，α應該是一個介在 36°～45°之間的角度。
若 θ>α，則 cos θ < tan θ，
若 θ<α，則 cos θ > tan θ。
（ 實際查表的結果是 α≒38.1727° ）。
^__^ 老師
謝謝你熱心的答覆
我研究至少三小時以上耶
這部分我蠻弱的
我發現
當角度大於45度且小於90度時
cos<sin<tan<sec
但角度小於45度時
卻只有 sin<cos,sin<tan<sec無法用不等式連起來
[[i] 本帖最後由 ksjeng 於 2008-11-2 09:23 PM 編輯 [/i]]
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